Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2015

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans un grand collège, 20,3 % des élèves sont inscrits à l'association sportive.
Une enquête a montré que 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs.
De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l'association sportive.

On choisit au hasard un élève de ce collège. On note :

  • S l'événement « l'élève choisi est inscrit à l'association sportive » ;
  • F l'événement « l'élève choisi est fumeur ».

rappel des notations

Si A et B sont deux événements, p(A) désigne la probabilité de l'événement A et pB(A) désigne la probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé.
On note A¯ l'événement contraire de A.

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

partie a

  1. D'après les données de l'énoncé, préciser les valeurs des probabilités p(S) et pF¯(S)

    • 20,3 % des élèves sont inscrits à l'association sportive d'où p(S)=0,203.
    • Parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l'association sportive d'où pF¯(S)=0,225.
  2. Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.

    • 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs d'où p(F)=0,178 et p(F¯)=1-p(F)=1-0,178=0,822.
    • pF¯(S)=0,225 d'où pF¯(S¯)=1-pF¯(S)=1-0,225=0,775.

    L'arbre pondéré qui illustre la situation est :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Calculer la probabilité de l'événement F¯S et interpréter ce résultat.

    p(F¯S)=pF¯(S)×p(F¯)soitp(F¯S)=0,225×0,8220,185

    18,5 % des élèves du collège sont non fumeurs et sont inscrits à l'association sportive.


  4. On choisit au hasard un élève parmi ceux inscrits à l'association sportive. Calculer la probabilité que cet élève soit non fumeur.

    pS(F¯)=p(F¯S)p(S)soitpS(F¯)=0,1850,2030,911

    La probabilité qu'un élève inscrit à l'association sportive soit non fumeur est 0,911.


  5. On choisit au hasard un élève pami les élèves fumeurs. Montrer que la probabilité que cet élève soit inscrit à l'association sportive est 0,101.

    D'après la formule des probabilités totales : p(S)=p(FS)+p(F¯S) d'où, p(FS)=p(S)-p(F¯S) soit p(FS)=0,203-0,185=0,018

    pF(S)=p(FS)p(F)soitpF(S)=0,0180,1780,101

    La probabilité qu'un élève fumeur soit inscrit à l'association sportive est 0,101.


partie b

Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d'élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.
On rappelle que 20,3 % de l'ensemble des élèves sont inscrits à l'association sportive.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l'association sportive.

La loterie peut être assimilée à la répétition de manière indépendante de quatre épreuves de Bernoulli identiques dont la probabilité du succès est 0,203.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre d'élèves inscrits à l'association sportive qui ont gagné un lot est une loi binomiale de paramètres n=4 et p=0,203

P(X1)=1-P(X=0)soitP(X1)=1-(1-0,203)4=1-0,79740,597

La probabilité que parmi les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l'association sportive est 0,597.



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