Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2015

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Dans une réserve naturelle, on étudie l'évolution de la population d'une race de singes en voie d'extinction à cause d'une maladie.

partie a

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année. Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.
À l'aide d'une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année. Pour tout entier naturel n, le terme un de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l'année 2004 + n. On a ainsi u0=25 000.

  1. Calculer l'effectif de cette population de singes :

    1. au 1er janvier 2005 ;

      u1=25 000×(1-15100)=25 000×0,85=21250

      Au 1er janvier 2005, la population était estimée à 21 250 singes.


    2. au 1er janvier 2006, en arrondissant à l'entier.

      u2=21250×(1-15100)=25 000×0,85=18062,5

      Au 1er janvier 2006, la population était estimée à 18 063 singes.


  2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un=25 000×0,85n.

    Pour tout entier naturel n, un+1=un×(1-15100)=un×0,85

    Ainsi, la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,85.

    (un) est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme u0=25 000 alors, pour tout entier naturel n, on a un=25 000×0,85n.


  3. Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l'aide d'un algorithme, au bout de combien d'années après le 1er janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000.
    Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l'algorithme ci-dessous.

    L1 : Variablesu un réel, n un entier
    L2 : Initialisationu prend la valeur 25 000
    L3 :n prend la valeur 0
    L4 : TraitementTant que u5000 faire
    L5 :u prend la valeur u×0,85
    L6 :n prend la valeur n+1
    L7 :Fin Tant que
    L8 : SortieAfficher n
  4. Montrer que la valeur n affichée après l'exécution de l'algorithme est 10.

    L'algorithme donne le plus petit entier n tel que un<5000 soit le plus petit entier n solution de l'inéquation : 25000×0,85n<50000,85n<500025000ln(0,85n)<ln(0,2)nln0,85<ln0,2n>ln0,2ln0,85ln0,85<0

    Comme ln0,2ln0,859,9 alors :

    Le plus petit entier n tel que un<5000 est n=10.


partie b

Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l'ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances.
On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l'aide d'une nouvelle suite. Pour tout entier naturel n, le terme vn de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l'année 2014 + n. On a ainsi v0=5 000.

    1. Calculer v1 et v2.

      v1=5000×(1-14)+400=5000×34+400=4150etv2=4150×34+400=3512,5

      Ainsi, v1=4150 et v2=3512,5.


    2. justifier que, pour tout entier naturel n, on a vn+1=0,75×vn+400.

      Chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances d'où pour tout entier naturel n, on a vn+1=0,75×vn+400.


  1. On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par wn=vn-1 600.

    1. Montrer que (wn) est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de w0.

      Pour tout entier n, wn+1=vn+1-1600=0,75vn+400-1600=0,75vn-1200=0,75×(vn-1600)=0,75wn

      Pour tout entier n, wn+1=0,75wn donc (wn) est une suite géométrique de raison 0,75. En outre, w0=v0-1600soitw0=5000-1600=3400


      (wn) est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme w0=3400


    2. Pour tout entier naturel n, exprimer wn en fonction de n.

      (wn) est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme w0=3400 donc :

      Pour tout entier naturel n, wn=3400×0,75n


    3. En déduire que pour tout entier naturel n, on a vn=1600+3400×0,75n

      Pour tout entier naturel n, wn=vn-1600vn=wn+1600

      Par conséquent, pour tout entier naturel n, vn=1600+3400×0,75n.


    4. Calculer la limite de la suite (vn) et interpréter ce résultat.

      0<0,75<1 donc limn+0,75n=0 d'où, limn+1600+3400×0,75n=1600. Soit limn+un=1600.

      La suite (un) converge vers 1600. Par conséquent, à partir d'un certain nombre d'années, la population de cette race de singes, se stabilisera à 1600 individus.



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