Dans une réserve naturelle, on étudie l'évolution de la population d'une race de singes en voie d'extinction à cause d'une maladie.
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année. Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.
À l'aide d'une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année. Pour tout entier naturel n, le terme de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l'année 2004 + n. On a ainsi .
Calculer l'effectif de cette population de singes :
au 1er janvier 2005 ;
Au 1er janvier 2005, la population était estimée à 21 250 singes.
au 1er janvier 2006, en arrondissant à l'entier.
Au 1er janvier 2006, la population était estimée à 18 063 singes.
Justifier que, pour tout entier naturel n, on a .
Pour tout entier naturel n,
Ainsi, la suite est une suite géométrique de raison 0,85.
est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme alors, pour tout entier naturel n, on a .
Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l'aide d'un algorithme, au bout de combien d'années après le 1er janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000.
Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l'algorithme ci-dessous.
L1 : Variables | u un réel, n un entier |
L2 : Initialisation | u prend la valeur 25 000 |
L3 : | n prend la valeur 0 |
L4 : Traitement | Tant que faire |
L5 : | u prend la valeur |
L6 : | n prend la valeur |
L7 : | Fin Tant que |
L8 : Sortie | Afficher n |
Montrer que la valeur n affichée après l'exécution de l'algorithme est 10.
L'algorithme donne le plus petit entier n tel que soit le plus petit entier n solution de l'inéquation :
Comme alors :
Le plus petit entier n tel que est .
Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l'ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances.
On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l'aide d'une nouvelle suite. Pour tout entier naturel n, le terme de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l'année 2014 + n. On a ainsi .
Calculer et .
Ainsi, et .
justifier que, pour tout entier naturel n, on a .
Chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances d'où pour tout entier naturel n, on a .
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par .
Montrer que est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de .
Pour tout entier n,
Pour tout entier n, donc est une suite géométrique de raison 0,75. En outre,
est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme
Pour tout entier naturel n, exprimer en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme donc :
Pour tout entier naturel n,
En déduire que pour tout entier naturel n, on a
Pour tout entier naturel n,
Par conséquent, pour tout entier naturel n, .
Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat.
donc d'où, . Soit .
La suite converge vers 1600. Par conséquent, à partir d'un certain nombre d'années, la population de cette race de singes, se stabilisera à 1600 individus.
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