sujet : Amérique du Nord 2015

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;18\right]$ ainsi que les tangentes au point A d'abscisse 0, au point B d'abscisse 5 et au point D d'abscisse 10.
On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées $\left(2;10\right)$ et que la tangente au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

1. Donner les valeurs de $f\prime \left(5\right)$ et de $f\prime \left(0\right)$.

   • La tangente au point B d'abscisse 5 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(5\right)=0$

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente au point A d'abscisse 0 donc $$f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{10-0}{2-0}}=5$$

   Ainsi, $f\prime \left(5\right)=0$ et de $f\prime \left(0\right)=2$.

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2. On admet que D est un point d'inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat.

   D est un point d'inflexion alors la courbe $C_f$ traverse sa tangente en ce point.

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partie b

Une entreprise s'apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction f dont la courbe représentative $C_f$ a été tracée ci-dessus.
En abscisses, x représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire. En ordonnées, $f\left(x\right)$ représente le nombre de milliers de jouets vendus le x-ième jour.
Ainsi, par exemple, le 10-ième jour après le début de la campagne publicitaire, l'entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.
On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;18\right]$ par $f\left(x\right)=5x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.

1. Montrer que $f\prime \left(x\right)=\left(5-x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$ où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[0;18\right]$.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;18\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=5x& \text{;}& u\prime \left(x\right)=5\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;18\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}+5x\times \left(-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\right)\\ & =& 5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}-x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\\ & =& \left(5-x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;18\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(5-x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.

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2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $\left[0;18\right]$ puis dresser le tableau de variations de f sur $\left[0;18\right]$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(5-x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;18\right]$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

   x	$-\infty$		5		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$			$25{\mathrm{e}}^{-1}$

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3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l'unité.

   $$f\left(5\right)=25{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{9,197}$$

   Le maximum de ventes par jour est atteint au 5-ième jour avec une vente de 9197 jouets.

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partie c

1. On admet que la fonction F définie sur $\left[0;18\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-25x-125\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$ est une primitive de la fonction f.

   1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(10\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(-250-125\right){\mathrm{e}}^{-2}-\left(-125\right){\mathrm{e}}^0\\ & =& 125-375{\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=125-375{\mathrm{e}}^{-2}$

      ---

   2. En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l'unité.

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ est $$I={\displaystyle \frac{1}{10}}{\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\mathrm{12,5}-\mathrm{37,5}{\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{7,425}$$

      Durant la période des 10 premiers jours, le nombre moyen de jouets vendus par jour est de 7425.

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2. Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :

   1	Dériver$\left[\left(5-x\right)*\exp \left(-0.2x\right)\right]$
   	$-\exp \left(-0.2x\right)-{\displaystyle \frac{1}{5}}*\exp \left(-0.2x\right)*\left(-x+5\right)$
   2	Factoriser$\left[-\exp \left(-0.2x\right)-{\displaystyle \frac{1}{5}}*\exp \left(-0.2x\right)*\left(-x+5\right)\right]$
   	${\displaystyle \frac{x-10}{5}}*\exp \left(-0.2x\right)$

   Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur l'intervalle $\left[0;18\right]$ par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-10}{5}}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$

   Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}>0$ alors $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(x-10\right)$ sur l'intervalle $\left[0;18\right]$.

   x	0		10		15
   Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Convexité de f		f est concave		f est convexe

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   La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[10;18\right]$.

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