sujet : Antilles Guyane 2015

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   • 70 % des élèves sont sensibles au développement durable d'où $P\left(S\right)=\mathrm{0,7}$ et $P\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$
   • 80 % des élèves qui sont sensibles au développement durable, pratiquent le tri sélectif d'où $P_S\left(T\right)=\mathrm{0,8}$ et $P_S\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$.
   • 10 % des élèves qui ne sont pas sensibles au développement durable, pratiquent le tri sélectif d'où $P_{\overline{S}}\left(T\right)=\mathrm{0,1}$ et $P_{\overline{S}}\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.

   L'arbre pondéré qui illustre la situation est :

2. Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(S\cap T\right)=P_S\left(T\right)\times P\left(S\right)& \text{soit}& P\left(S\cap T\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,56}\end{array}$$

   La probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif est égale à 0,56.

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3. Montrer que la probabilité $P\left(T\right)$ de l'évènement T est 0,59.

   D'après la formule des probabilités totales : $P\left(T\right)=P\left(T\cap S\right)+P\left(T\cap \overline{S}\right)$. Or $P\left(T\cap \overline{S}\right)=P_{\overline{S}}\left(T\right)\times P\left(\overline{S}\right)$ d'où $$P\left(T\right)=\mathrm{0,56}+\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,59}$$

   La probabilité que l'élève interrogé pratique le tri sélectif est égale à 0,59.

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4. On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.
   Peut-on affirmer que les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10 % ?

   $$\begin{array}{ccc}{P}_{\overline{T}}\left(S\right)={\displaystyle \frac{P\left(S\cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)}}={\displaystyle \frac{P_S\left(\overline{T}\right)\times P\left(S\right)}{1-P\left(T\right)}}& \text{Soit}& P_{\overline{T}}\left(S\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,7}}{1-\mathrm{0,59}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}}{\mathrm{0,41}}}\approx \mathrm{0,34}\end{array}$$

   La probabilité qu'un élève qui ne pratique pas le tri sélectif se dise sensible au développement durable vaut environ 0,34, donc supérieure à 0,1.

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5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement.
   Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés.
   Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que X suit une loi binomiale.

   1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

      La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=\mathrm{0,59}$.

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   2. Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.

      $$P\left(X=0\right)={\left(1-\mathrm{0,59}\right)}^4\approx \mathrm{0,028}$$

      Arrondie à 10^-2 près, la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif vaut 0,03.

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   3. Calculer la probabilité qu'au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.

      À l'aide de la calculatrice, $$P\left(X⩾2\right)=1-P\left(X⩽1\right)\approx \mathrm{0,809}$$

      Arrondie à 10^-2 près, la probabilité qu'au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif vaut 0,81.

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