Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2015

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles.
La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle X.
On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $μ = 500$ et d'écart type $σ = 2$ .

partie a

On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

Déterminer $P (X ⩽ 496)$ . Donner le résultat arrondi à 10^-2 près.
Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $\begin{array}{rcl} P (X ⩽ 496) & = & P (X ⩽ 500) - P (496 ⩽ X ⩽ 500) \\ = & 0,5 - P (496 ⩽ X ⩽ 500) \approx 0,023 \end{array}$
$P (X ⩽ 496) \approx 0,02$ .
Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres. Donner le résultat arrondi à 10^-2 près.
Avec la calculatrice, on a : $P (496 ⩽ X ⩽ 500) \approx 0,43$
La probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres est 0,43.
Comment choisir la valeur de α afin que $P (500 - α ⩽ X ⩽ 500 + α)$ soit approximativement égale à 0,95 à 10^-2 près.
Au choix
- D'après le cours, si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors, $P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0,954$ .
  Il suffit de choisir $α = 4$ afin que $P (500 - α ⩽ X ⩽ 500 + α)$ soit approximativement égale à 0,95 à 10^-2 près.
- D'après le cours, si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors, $P (μ - 1,96 σ ⩽ X ⩽ μ + 1,96 σ) \approx 0,95$ .
  Il suffit de choisir $α = 1,96 \times 2 = 3,92$ afin que $P (500 - α ⩽ X ⩽ 500 + α)$ soit approximativement égale à 0,95 à 10^-2 près.

partie b

Une association de consommateurs a testé un lot de 200 bouteilles issues de cette chaine de production. Il a été constaté que 15 bouteilles contiennent moins de 500 ml de jus de fruit contrairement à ce qui est annoncé sur l'étiquetage.
L'entreprise qui assure le conditionnement de ce jus de fruit affirme que 97 % des bouteilles produites contiennent au moins 500 millilitres de jus de fruit.

Le test réalisé par l'association remet-il en cause l'affirmation de l'entreprise ?

Comme $n = 200$ , $n \times p = 200 \times 0,97 = 194$ et $n \times (1 - p) = 200 \times 0,03 = 6$ , les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de la fréquence des bouteilles produites qui contiennent au moins 500 millilitres de jus de fruit sur un échantillon de taille 200 est : $\begin{matrix} I = [0,97 - 1,96 \times \sqrt{\frac{0,97 \times 0,03}{200}}; 0,97 + 1,96 \times \sqrt{\frac{0,97 \times 0,03}{200}}] \end{matrix}$

Soit avec des valeurs approchées à $10^{- 3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des bouteilles produites qui contiennent au moins 500 millilitres de jus de fruit sur un échantillon de taille 200 est $I = [0,946; 0,994]$ .

La fréquence observée f des bouteilles produites qui contiennent au moins 500 millilitres de jus de fruit dans le lot de 200 bouteilles est : $f = \frac{200 - 15}{200} \approx 0,925$

La fréquence f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, par conséquent le test réalisé par l'association remet en cause l'affirmation de l'entreprise.

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