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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + 6x^2$ est convexe sur l'intervalle :


\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $]- \infty ; +\infty[$ & \item $[- 2 ; +\infty[$ & \item $]-\infty ; -2]$ & \item $[-6 ; +\infty[$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item  Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (x - 2)\e ^{x}$.
L'équation $g(x) = 0$ admet sur $\R$ :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item aucune solution &\item une seule solution \\ \item exactement deux solutions & \item plus de deux solutions
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item  On pose : $I = \displaystyle\int_0^1 - 2x\e ^{- x^2} \dd x$. La valeur de $I$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $1 - \e ^{-1}$ & \item $\e ^{-1} - 1$ & \item$- \e ^{-1} $ & \item $\e ^{-1}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item  La fonction $h$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ par $h(x) = (2x + 4) \ln x$. On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.

Pour tout nombre $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$, $h'(x)$ est égale à :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $\dfrac{2}{x}$ &\item $2\ln x + \dfrac{4}{x}$ & \item $\dfrac{2x + 4}{x}$ & \item $2\ln x + \dfrac{2x + 4}{x}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item  Le prix d'une action a augmenté chaque mois de 5\,\% et cela pendant 3 mois consécutifs.

Globalement, le prix de l'action a été multiplié par :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $1,05^3$ &\item  1,15 & \item  $3 \times 1,05$ & \item  1,45
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.

L'enquête révèle que 70\,\% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80\,\% pratiquent le tri sélectif.

Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10\,\% qui pratiquent le tri sélectif.

On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $S$ : L'élève interrogé est sensible au développement durable.
\item $T$ : L'élève interrogé pratique le tri sélectif.
\end{itemize}


\emph{Les résultats seront arrondis à } $10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
\item Montrer que la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$ est 0,59.
\item On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.

Peut-on affirmer que les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10\,\% ?
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement.

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés.

Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que $X$ suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		\item Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une municipalité vient de mettre en place le service \og vélo en liberté \fg. Il s'agit d'un service de location de vélos à la journée.

Les vélos sont disponibles sur deux sites $A$ et $B$ et doivent être ramenés en fin de journée indifféremment dans l'un des deux sites.

Après une étude statistique, on considère que :

\begin{itemize}
\item si un vélo est loué sur le site $A$, la probabilité d'être ramené en $A$ est 0,6 ;
\item si un vélo est loué sur le site $B$, la probabilité d'être ramené en $B$ est 0,7.
 \end{itemize}
 
Les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item En notant respectivement $A$ et $B$ les états \og le vélo est en $A$ \fg{} et \og le vélo est en $B$ \fg,
traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
\item  Donner $M$ la matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre $A$, $B$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ (respectivement $b_n$) la probabilité qu'un vélo quelconque soit, après $n$ jours, sur le site $A$ (respectivement sur le site $B$).

On note $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste après $n$ jours.

Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item On donne :

		\[M^2 = \begin{pmatrix} 0,48& 0,52\\0,39& 0,61\end{pmatrix}.\]
		
Calculer $P_2$ en donnant le détail des calculs matriciels.
		\item Calculer $P_4$ et interpréter le résultat dans le contexte du problème.
		\item Déterminer l'état stable du graphe, noté $\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$.
		\item Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de 70 vélos sur chaque site.
		
La municipalité envisage d'affecter un véhicule pouvant contenir  12 vélos.
		
Ce choix parait-il adapté à la situation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l'opérateur perd 10\,\% de ses clients, mais regagne dans le même temps \np{60000} nouveaux clients.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne l'algorithme ci-dessous. Expliquer ce que l'on obtient avec cet algorithme.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
\textsc{\textsf{variables :}}	& $k$, NbClients\\
\textsc{\textsf{traitement :}}	&Affecter à $k$ la valeur $0$\\
						&Affecter à NbClients la valeur \np{1000000}\\
						&Tant que $k < 8$\\
						&\hspace{1em}\begin{tabular}{|l}
								Affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\
								Affecter à NbClients la valeur $0,9 \times \text{NbClients} +\np{60000}$\\
							 	Afficher NbClients\\
								\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec toutes les valeurs affichées pour $k$ de
$0$ jusqu'à $5$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
NbClients	&	&	&	&	&	&\\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\item  En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par :\[\left\{\begin{array}{l c l}
U_0& =& \np{1000}\\
U_{n+1}& =& 0,9U_n + 60.
\end{array}\right.\]
Le terme $U_n$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année $2010 + n$.

Pour étudier la suite $\left(U_n\right)$, on considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - 600$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique de raison 0,9.
		\item  Déterminer l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = 400 \times  0,9^n + 600$.
		\item  Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte
de ce problème.
	\end{enumerate}
\item À la suite d'une campagne publicitaire conduite en 2013, l'opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients.
	
Chaque année à compter de l'année 2014, l'opérateur ne perd plus que 8\,\% de ses clients et regagne \np{100000} nouveaux clients.
	
On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à \np{860000}.
	
En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d'années nécessaire pour que l'opérateur retrouve au moins un million de clients.
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles.

La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle $X$.

On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X \leqslant 496)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\item  Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres.
Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\item  Comment choisir la valeur de $\alpha$ afin que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha)$ soit approximativement égale à 0,95 à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Une association de consommateurs a testé un lot de 200 bouteilles issues de cette chaine de production. Il a été constaté que  15  bouteilles contiennent moins de  500 ml de jus de fruit contrairement à ce qui est annoncé sur l'étiquetage.

L'entreprise qui assure le conditionnement de ce jus de fruit affirme que 97\,\% des bouteilles produites contiennent au moins  500 millilitres de jus de fruit.

Le test réalisé par l'association remet-il en cause l'affirmation de l'entreprise ?

       
\end{document}