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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2015 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Antilles Guyane}}\\(Deuxième session)}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Antilles Guyane 2015\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip 

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur $[1 ; 100]$ par $f(x) = 200 \ln x + 10x$, $f’(x)$ désigne la fonction dérivée de $f$. On a :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  $f'(x) = 200 + \dfrac{1}{x}$&\item  $f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10$ & \item   $f'(x) = 200 + 10x$ & \item $f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10x$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate} 

\item On note $L$ une primitive sur $]0 ; +\infty[$ de la fonction $\ln$. Cette fonction $L$ est :
 
\begin{enumerate}
\item  croissante puis décroissante 
\item  décroissante sur $]0 ; +\infty[$
\item croissante sur $]0 ; +\infty[$
\item décroissante puis croissante 
\end{enumerate}

\item La fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = x - \ln x$ est :
 
\begin{enumerate}
\item convexe sur  $]0 ; +\infty[$
\item  concave sur $]0 ; +\infty[$
\item ni convexe ni concave sur $]0 ; +\infty[$
\item change de convexité sur $]0 ; +\infty[$ 
\end{enumerate}

\item  On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ ainsi que sa tangente au point $A$ d'abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que : 


\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item  $h'(2) = 2$
\item $h'(2) = \dfrac{1}{2}$
\item $h'(2) = 0$
\item $h'(2) = 1$
\end{enumerate}
}\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{unit=.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(x/2)+1}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=8](-1,-2)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-2)(6,3)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.099}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-1,-.5)(6,3)
\uput[ul](2,1){\bleu $A$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}
\item La variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart type $\sigma$ inconnu mais on sait que $P( -10 < X < 10) = 0,8$. On peut en déduire: 

\begin{enumerate}
\item $P(X < 10) = 0,1$
\item $P(X < 10) = 0,2$
\item $P(X < 10) = 0,5$
\item $P(X < 10) = 0,9$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Un supermarché dispose d'un stock de pommes. On sait que 40\,\% des pommes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B. 

Il a été constaté que 85\,\% des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95\,\% pour le fournisseur B. 

Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og La pomme provient du fournisseur A \fg. 

$B$ : \og La pomme provient du fournisseur B \fg. 

$C$ : \og La pomme est commercialisable \fg. 

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. 
\item Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. 
\item La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}

Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième. 

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip  

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? 
\item Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip 

Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s'aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables. 

Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? 


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\parbox{0.6\linewidth}{Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables. 

Le graphe ci-contre schématise son plan ; les arêtes représentent les pistes cyclables et les distances sont en kilomètre. }
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{xunit=1.25cm,yunit=.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(0,5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(1.4,5){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(5,5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(5,1.5){\cnode*{2pt}{D}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(3.5,0){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(0,1.5){\cnode*{2pt}{F}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(1.4,1.5){\cnode*{2pt}{G}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu G}}}} 
\ncline{A}{B}\ncput*{\small{\textsf{\prune 15}}} \ncline{B}{C}\ncput*{\small{\textsf{\prune 21}}}\ncline{C}{D}\ncput*{\small{\textsf{\prune 20}}}\ncline{D}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}} \ncline{E}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 15}}}\ncline{G}{D}\ncput*{\small{\textsf{\prune 17}}} \ncline{D}{B}\ncput*{\small{\textsf{\prune 25}}} \ncline{B}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}}\ncline{G}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 20}}} \ncline{F}{A}\ncput*{\small{\textsf{\prune 30}}}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{flushright}}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

 Pour faire son parcours, le cycliste décide qu'il procèdera selon l'algorithme ci-dessous : 
 
 \begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|X|}\hline
ligne 1&Marquer sur le plan tous les villages comme non \og visités\fg \\ \hline
ligne 2& Choisir un village de départ \\ \hline
ligne 3&Visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ \hline
ligne 4&Rouler vers le village le plus proche\\ \hline
ligne 5& Tant que le village où il arrive n'est pas un village déjà visité \\ \hline
ligne 6&\hspace{1em}visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ 
ligne 7 &\hspace{1em}rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière\\ \hline
ligne 8& Fin Tant que\\ \hline
ligne 9&afficher la liste des villages visités \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle propriété du graphe permet à la ligne 4 d'être toujours exécutable ? 
\item En partant du village noté G, quelle sera la liste des villages visités ? 
\item Existe-t-il un village de départ qui permette, en suivant cet algorithme, de visiter tous les villages ? 
\item Le cycliste abandonne l'idée de suivre l'algorithme. Il souhaite maintenant, partant d'un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois. Cela sera-t-il possible ? 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip
                 
\begin{enumerate}
\item Écrire la matrice $M$ de transition de ce graphe (dans l'ordre $A, B, C, \ldots ,G$).   
\item  On donne la matrice $M^4$  :
  
\[M^4 =\bordermatrix{&A&   B&   C&   D&   E&   F&   G\cr
A&10	&5		&9	&11   &4   	&\textbf{1}   	&16\cr 
B&5 	&30   	&12  & 23 &18   &16  	&16\cr  
C&9 	&12   	&12  &14  &9   	&4   	&18\cr
D&11& 23  	& 14 &28  &14   &11   	&23\cr   
E&4  &18   	&9   &14   &12  	& 9   	&12\cr   
F&1  &16   	&4   &11   &9   	&10  	& 5\cr   
G&16 &16   	&18  &23   &12  & 5   	&30\cr
}\]

Interpréter le terme en gras, ligne A, colonne F (valant 1 ) dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Un couple fait un placement au taux annuel de 2\,\% dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de \np{18000}~euros. 

Le couple a placé le montant de \np{1000}~euros à l'ouverture le 1\up{er} janvier 2010 puis, tous les ans à chaque 1\up{er} janvier, verse \np{2400}~euros. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le capital présent sur le compte le 1\up{er} janvier 2011 après le versement annuel. 
\item  On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d'années. 

On donne ci-dessous trois algorithmes :

\medskip

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&& \textbf{Variables :} &&\textbf{Variables :} \\
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}\\
Affecter \np{1000} à $U$

Pour $i$ de 1 à $N$ faire
\begin{itemize}
\item[] Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
\end{itemize}

Fin pour

Afficher $U$
&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire
\begin{itemize}
\item[]Affecter \np{1000} à $U$
\item[] Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
\end{itemize}

Fin pour

Afficher $U$
&&Affecter \np{1000} à $U$

Pour $i$ de 1 à $N$ faire
\begin{itemize}
\item[] Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
\item[] Affecter $N+1$ à $N$
\end{itemize}

Fin pour

Afficher $U$\\ 
\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}} &\multicolumn{1}{c}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}}

	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur 5 de $N$ saisie dans l'algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|p{2cm}}\hline
valeur de $i$&     xxx&   1&   \ldots \\ \hline  
valeur de   $U$ & \np{1000}&&\ldots  \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center} 
		\item  Pour la valeur 5 de $N$ saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? 

Comment s'interprète cet affichage ? 
		\item  En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue ? 
	\end{enumerate}
\item À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2\,\%. 

Au premier janvier de quelle année l'objectif de \np{18000}~euros est-il atteint ? 

\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
L'évolution de la population d'une station balnéaire pour l'été 2015 a été modélisée par une fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2+.2*x*EXP(1-.025*x)}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(8,6)
\psset{xunit=1mm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(80,12)
\uput[ul](80,0){\footnotesize{nombre de jours}}
\uput[dr](0,12){\footnotesize{milliers d'habitants}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{70}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $f(x)$ désigne la population en milliers d'habitants. 

Ainsi $x = 30$ correspond au 31 juillet et $f(30)$ représente la population qu'il est prévu d'accueillir le 31 juillet.
 
On estime qu'un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d'eau par jour.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l'été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. 
		\item La commune est en capacité de fournir \np{600000}~litres d'eau par jour, est-ce suffisant ? 
	\end{enumerate}
\item Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80\,\% du nombre maximal prévu. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$ par $f(x) = 2 + 0,2\,x\,\e^{-0,025x+1}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(9)$ puis vérifier que la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de \np{324890}~litres. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f’(x) = (0,2 - 0,005 x)\e^{-0,025x+1}$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$. 
		\item Étudier le signe de $f’(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 70]$. 
		\item En déduire la date de la consommation d'eau maximale. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip 

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$ par $g(x) = 55 f(x) = 110 + 11\,x\,\e^{-0,025x+1}$.

Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $g(x)$ représente alors la consommation maximale d'eau prévue ce jour là et exprimée en $\mathrm{m}^3$. 

Soit la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$ par $G(x) = 110x - (440x + \np{17600})\e^{-0,025x+1}$.

On admet que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$. 

La somme $S = g(10) + g(11) + g(12) + \cdots + g(20)$ représente la consommation maximale d'eau du 10\up{e} au 20\up{e} jour exprimée en $\mathrm{m}^3$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item En l'illustrant sur la courbe $\mathcal{C}_g$ de l'annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d'aires de la somme $S$. 
\item En déduire une valeur approximative de cette quantité d'eau consommée du 10\up{e} au 20\up{e} jour. 
\end{enumerate} 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.8,-.5)(25,12)
\rput(12.1,11.5){ \textsf{\textbf{Annexe à l'exercice 4 à rendre avec la copie}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{110+11*x*EXP(1-.025*x)}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(25,11)
\psset{xunit=.6cm,yunit=.2mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=50]{->}(0,0)(-.8,-25)(25,550)
\uput[ul](25,0){\footnotesize{nombre de jours}}
\uput[dr](0,550){\footnotesize{consommation $\left(\mathrm{m}^3\right)$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{25}{\f}
\uput[dl](25,550){\footnotesize{\bleu $\mathcal{C}_g$}}
\end{pspicture}
\end{center}

        
\end{document}