Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2015

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur $[0; 10]$ par $f (x) = x + e^{- x + 1}$ .

Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

1	f(x):=x+exp(-x+1)
	// interprète f // Succès lors de la compilation f
		x → x+exp(-x+1)
2	derive(f(x))
		-exp(-x+1)+1
3	solve(-exp(-x+1)+1>0)
		[x>1]
4	derive(-exp(-x+1)+1)
		exp(-x+1)

Étude des variations de la fonction f.

En s'appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation.

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $f' (x) = 1 - e^{- x + 1}$ .

Comme pour tout réel $x > 1$ on a $1 - e^{- x + 1} > 0$ , on peut en déduire le signe de $f' (x)$ ainsi que le tableau des variations de f sur $[0; 10]$ :

x	0		1		10
Signe de $f' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$f (x)$	e		2		$10 + e^{- 9}$

En déduire que la fonction f admet un minimum dont on précisera la valeur.
$f (1) = 1 + e^{0} = 2$
Le minimum de la fonction f est atteint pour $x = 1$ et est égal à 2.

Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle $[0; 10]$ .
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $f ″ (x) = e^{- x + 1}$ .
Comme pour tout réel x, $e^{- x + 1} > 0$ on en déduit que $f ″ (x) > 0$
La fonction f est convexe.

partie b

Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l'outil de production utilisé, à mille objets par semaine.
Le coût de revient est modélisé par la fonction f où x est le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines d'objets et $f (x)$ le coût de revient exprimé en milliers d'euros.

Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ?
D'après la partie A, le coût de revient minimum est obtenu en produisant une centaine d'objets.
Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12 €. On appelle marge brute pour x centaines d'objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient.
1. Justifier que le montant obtenu par la vente de x centaines d'objets est $1,2 x$ milliers d'euros.
  Le montant de la vente de x centaines d'objets est $12 x$ centaines d'euros soit $1,2 x$ milliers d'euros.
2. Montrer que la marge brute pour x centaines d'objets, notée $g (x)$ , en milliers d'euros, est donnée par : $g (x) = 0,2 x - e^{- x + 1}$ .
  $1,2 x - f (x) = 1,2 x - x - e^{- x + 1} = 0,2 x - e^{- x + 1}$
  Ainsi, la marge brute exprimée en milliers d'euros, pour x centaines d'objets est modélisée par $g (x) = 0,2 x - e^{- x + 1}$ .
3. Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $[0; 10]$ .
  Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ : $g' (x) = 0,2 - (- e^{- x + 1}) = 0,2 + e^{- x + 1}$
  Comme pour tout réel x, $e^{- x + 1} > 0$ on en déduit que $g' (x) > 0$
  La fonction g est strictement croissante.
1. Montrer que l'équation $g (x) = 0$ possède une unique solution α sur l'intervalle $[0; 10]$ .
  $g (0) = - e$ et $g (10) = 2 - e^{- 9} \approx 2$ . Sur l'intervalle $[0; 10]$ , la fonction g est dérivable donc continue et strictement croissante. En outre $g (0) < 0 < g (10)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
  l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [0; 10]$ .
2. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 0,01.
  Avec la calculatrice, on obtient $1,94 < α < 1,95$ .
En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets.
g est une fonction strictement croissante et $g (α) = 0$ . Donc pour tout réel x de l'intervalle $[α; 10]$ on a $g (x) ⩾ 0$
Cette entreprise réalise une marge brute positive en produisant 195 objets.

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