Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, la Réunion 2015

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuse plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul, par : un=2000×1,008n-1un représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres.
On a ainsi u1=2000 et u2=2016, c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2016 euros.

Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

  1. Calculer u3 puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.

    u3=2000×1,00822032,13 D'où un coût total de forage des 30 premiers mètres :S=2000+2016+2032,13=6048,13

    Le coût total de forage des 30 premiers mètres est de 6048,13 euros.


  2. Pour tout entier naturel n non nul :

    1. Exprimer un+1 en fonction de un et préciser la nature de la suite (un).

      Pour tout entier naturel n non nul :un+1=2000×1,008n=(2000×1,008n-1)×1,008=1,008×un

      Pour tout entier naturel n non nul, un+1=1,008×un donc la suite (un) est une suite géométrique de raison 1,008.


    2. En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la (n + 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres.

      un+1=1,008×un donc le coût du forage de la (n + 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres a augmenté de 0,8 %.


  3. On considère l'algorithme ci-dessous :

    Initialisation

    u prend la valeur 2000
    S prend la valeur 2000

    Traitement

    Saisir n

    Pour i allant de 2 à n
    u prend la valeur u × 1,008
    S prend la valeur S + u
    Fin Pour

    Sortie

    Afficher S

    La valeur de n saisie est 5.

    1. Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de n.
      Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire).

      Valeur de i2345
      Valeur de u200020162032,132048,392064,77
      Valeur de S200040166048,138096,5110161,29
    2. Quelle est la valeur de S affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.

      La valeur arrondie au centième près de S est 10161,29. Le coût total de forage des 50 premiers mètres est de 10161,29 euros.


  4. On note Sn=u1+u2++un la somme des n premiers termes de la suite (un), n étant un entier naturel non nul. On admet que : Sn=-250 000+250 000×1,008n Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.

    1. Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation, …).

      On cherche le plus grand entier n solution de l'inéquation : -250 000+250 000×1,008n125 0001,008n125 000+250 000250 000ln(1,008n)ln(1,5) La fonction  ln est strictement croissantenln1,008ln1,5Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnanln1,5ln1,008

      Comme ln1,5ln1,00850,9 alors le plus grand entier n est 50.

      Avec un budget de 125 000 euros, la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer est de 500 mètres.


    2. Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé.

      Au choix :

      • algorithme 1

        Initialisation

        u prend la valeur 2000
        S prend la valeur 2000
        n prend la valeur 1

        Traitement

        Tant que S125 000 faire
        u prend la valeur u × 1,008
        S prend la valeur S + u
        n prend la valeur n + 1
        Fin Tant que

        Sortie

        Afficher (n-1)×10

      • algorithme 2

        Initialisation

        S prend la valeur 0
        n prend la valeur 0

        Traitement

        Tant que S125 000 faire
        n prend la valeur n + 1
        S prend la valeur -250 000+250 000×1,008n
        Fin Tant que

        Sortie

        Afficher (n-1)×10


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.