Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuse plusieurs puits suffisamment profonds.
Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite définie pour tout entier naturel n non nul, par : où représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres.
On a ainsi et , c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2016 euros.
Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.
Calculer puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.
D'où un coût total de forage des 30 premiers mètres :
Le coût total de forage des 30 premiers mètres est de 6048,13 euros.
Pour tout entier naturel n non nul :
Exprimer en fonction de et préciser la nature de la suite .
Pour tout entier naturel n non nul :
Pour tout entier naturel n non nul, donc la suite est une suite géométrique de raison 1,008.
En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la (n + 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres.
donc le coût du forage de la (n + 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres a augmenté de 0,8 %.
On considère l'algorithme ci-dessous :
Initialisation u prend la valeur 2000 |
Traitement Saisir n Pour i allant de 2 à n |
Sortie Afficher S |
La valeur de n saisie est 5.
Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de n.
Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire).
Valeur de i | 2 | 3 | 4 | 5 | |
Valeur de u | 2000 | 2016 | 2032,13 | 2048,39 | 2064,77 |
Valeur de S | 2000 | 4016 | 6048,13 | 8096,51 | 10161,29 |
Quelle est la valeur de S affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
La valeur arrondie au centième près de S est 10161,29. Le coût total de forage des 50 premiers mètres est de 10161,29 euros.
On note la somme des n premiers termes de la suite , n étant un entier naturel non nul. On admet que : Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.
Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation, …).
On cherche le plus grand entier n solution de l'inéquation :
Comme alors le plus grand entier n est 50.
Avec un budget de 125 000 euros, la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer est de 500 mètres.
Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé.
Au choix :
algorithme 1
Initialisation u prend la valeur 2000 |
Traitement Tant que faire |
Sortie Afficher |
algorithme 2
Initialisation S prend la valeur 0 |
Traitement Tant que faire |
Sortie Afficher |
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