sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel pour ses spectacles.
L'évolution du nombre d'abonnés d'une année à la suivante est modélisée par le directeur de l'opéra qui prévoit que 75 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année 300 nouveaux abonnés.
Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_n$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $2014+n$.
Pour l'année 2014, il y a 500 abonnés, autrement dit $u_0=500$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'entier.

   $$\begin{array}{cc}& u_1=500\times \mathrm{0,75}+300=675\\ \text{et}& u_2=675\times \mathrm{0,75}+300\approx 806\end{array}$$

2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,75}{u}_n+300$.

   Le directeur de l'opéra prévoit que 75 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année 300 nouveaux abonnés. Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,75}{u}_n+300$.

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3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-1200$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,75 et préciser $v_0$.

      $v_0=u_0-1200$. Soit $v_0=500-1200=-700$. D'autre part, pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-1200\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{u}_n+300-1200\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{u}_n-900\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}\times \left(u_n-1200\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,75}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Le premier terme de cette suite est $v_0=-700$.

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   2. En déduire alors que pour tout entier naturel n, $u_n=-700\times {\mathrm{0,75}}^n+1200$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $v_0=-700$ donc pour tout entier naturel n, $v_n=-700\times {\mathrm{0,75}}^n$.

      D'autre part, pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-1200\iff u_n=v_n+1200$ donc :

      Pour tout entier naturel n, $u_n=-700\times {\mathrm{0,75}}^n+1200$.

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   3. Calculer $u_{10}$ (arrondir à l'entier). Donner une interprétation concrète de la valeur trouvée.

      $$u_{10}=-700\times {\mathrm{0,75}}^{10}+1200\approx 1161$$

      Selon ce modèle, en 2024 il devrait y avoir 1161 abonnés.

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4. On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnements sera supérieur à 1190.
   On propose trois algorithmes :
   Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

   algorithme 1 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 500 Tant que $U⩽1190$ Affecter à n la valeur $n+1$ Affecter à U la valeur $-700\times {\mathrm{0,75}}^n+1200$ Fin Tant que Affecter à n la valeur $n+2014$ Afficher n

   algorithme 2 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 500 Tant que $U⩽1190$ Affecter à U la valeur $-700\times {\mathrm{0,75}}^n+1200$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que Affecter à n la valeur $n+2014$ Afficher n

   algorithme 3 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 500 Tant que $U⩽1190$ Affecter à n la valeur $n+1$ Affecter à U la valeur $-700\times {\mathrm{0,75}}^n+1200$ Affecter à n la valeur $n+2014$ Fin Tant que Afficher n

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   L'algorithme 1 convient

   • L'algorithme 2 ne convient pas car on incrémente n après le calcul de U :

     Au premier passage dans la boucle Tant que, U prend la valeur $-700\times {\mathrm{0,75}}^0+1200=500$ et n prend la valeur 1.

   • L'algorithme 3 ne convient pas car on affecte à n l'année au sein de la boucle Tant que :

     Au deuxième passage dans la boucle Tant que, U prend la valeur $-700\times {\mathrm{0,75}}^{2016}+1200\approx 1200$, on sort de la boucle et cet algoritme affiche $2016+2014=4030$.

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