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%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath} ,\vec k} \right)$}
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2015 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Nouvelle Calédonie}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Nouvelle Calédonie 2015}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 1 ; 3]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$.

La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A(1 ; 0)$ est tracée, elle passe par le point de coordonnées $(0 ; 3)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(4,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x^2-2*x-2)}
\def\g{-3*x+3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(4,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4,0){$x$}\uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1}{3}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-.333}{2}{\g}
\uput[ur](1,0){\bleu $A$ } \uput[l](4,1.5){\bleu $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calcul de $f'(1)$

\medskip

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $f'(1) = 3$ &\item $f'(1) = - 3$ & \item $f'(1) = - \dfrac{1}{3}$ & \item $f'(1) = 0$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item La fonction $f$ est :

\medskip

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  concave sur $[-1 ;  1]$ & \item convexe sur $[-1 ;  1]$ & \item  concave sur $[0 ; 2]$ &\item  convexe sur $[0 ; 2]$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item On pose $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de $I$ est :

\medskip

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  $0 \leqslant I \leqslant 1$ & \item  $1 \leqslant I \leqslant 2$ & \item  $2 \leqslant I \leqslant 3$ & \item   $3 \leqslant I \leqslant 4$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item La fonction $F$ est :

\medskip

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  croissante sur $[0 ; 1]$ & \item  décroissante sur $[0 ; 1]$ & \item  croissante sur $[-1 ; 0]$ & \item  croissante sur $[- 1 ;  1]$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Dans une ville, un service périscolaire comptabilise 150 élèves inscrits en septembre 2014. 

On admet que, chaque année, 80\,\% des élèves inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 40 nouveaux élèves inscrits. La capacité d'accueil du périscolaire est de 190 élèves maximum.

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année $2014 + n$, avec $n$ un nombre entier naturel.

On a donc $u_0 = 150$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre 2015.
\item Pour tout entier naturel $n$, justifier que $u_{n+1} = 0,8u_n + 40$.
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textsc{\textsf{Initialisation}}\\
Affecter à $n$ la valeur $0$\\
Affecter à $U$ la valeur $150$\\
\textsc{\textsf{Traitement}}\\
Tant que $U \leqslant 190$\\
\hspace{0.5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\hspace{0.5cm}$U$ prend la valeur $0,8U + 40$\\
Fin tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie}}

Afficher le nombre $2014 + n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les
résultats au centième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $n$				&0 		&1 	&2	&\\ \hline
Valeur de $U$ 				&150	&	&	&\\ \hline
Condition $U \leqslant 190$	& vraie	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 200$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Pour tout entier naturel $n$, démontrer que $u_n = 200 - 50 \times 0,8^n$.
		\item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que : \[200 - 50 \times 0,8^n > 190.\]		
		\item À partir de quelle année la directrice du périscolaire sera-t-elle obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
L'été un centre de loisirs propose aux adolescents la pratique du canoë-kayak ou de la planche à rame.

Tous les matins, chaque adolescent doit choisir un et un seul sport parmi les deux proposés.

On admet que :

\begin{itemize}
\item si un adolescent choisit le canoë-kayak un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse la planche à rame le jour suivant est égale à 0,4 ;
\item si un adolescent choisit la planche à rame un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse le canoë-kayak le jour suivant est égale à 0,2 ;
\item le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le  canoë-kayak est égale à 0,85.
\end{itemize}

On note :

\begin{itemize}
\item $K$ l'état : \og l'adolescent choisit le canoë-kayak \fg{} ;
\item $\overline{K}$ l'état : \og l'adolescent choisit la planche à rame \fg.
\end{itemize}

On note, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\begin{itemize}
\item $p_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse le canoë-kayak lors du $n$-ième jour ;
\item $q_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse la planche à rame le $n$-ième jour ;
\item $P_n = \begin{pmatrix}p_n&q_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors du $n$-ième jour.
\end{itemize}

\begin{center}
\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $K$ et $\overline{K}$.
\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, les sommets $K$ et $\overline{K}$ étant classés dans cet ordre.
\item Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}0,85& 0,15\end{pmatrix}$.
\item Avec la calculatrice, déterminer l'état probabiliste lors du 3\up{e} jour.
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, montrer que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$.
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textsc{\textsf{Initialisation}}\\
Choisir un nombre entier naturel $N \geqslant 2$\\
$p$ prend la valeur $0,85$\\

\textsc{\textsf{Traitement}}\\
Pour $i$ allant de $2$ à $N$ 

\hspace{0.5cm}$p$ prend la valeur $0,4p +0,2$\\
Fin pour\\

\textsc{\textsf{Sortie}} 

Afficher $p$\\ \hline

\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur $N = 5$ saisie, recopier et compléter le tableau suivant par
autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de
l'algorithme. Arrondir les résultats au millième.

\begin{center}

\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $i$	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&2	&	&\\ \hline
Valeur de $p$	&0,85	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $N$ saisie est $5$.
		\item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le
nombre obtenu en sortie de cet algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

D'après la partie A, on sait que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

On admet que $p_n = \dfrac{31}{60} \times 0,4^{n - 1} + \dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
\item Interpréter le résultat.
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Pierre a des pommiers dans son verger. Il décide de faire du jus de pomme avec ses fruits.

Dans sa récolte :

\begin{itemize}
\item il dispose de 80\,\% de pommes de variété A et de 20\,\% de pommes de variété B.
\item 15\,\% des pommes de variété A et 8\,\% des pommes de variété B sont avariées et devront être jetées.
\end{itemize}

On prend une pomme au hasard dans la récolte et on note :

\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og la pomme est de variété A\fg{} ;
\item $B$ l'évènement \og la pomme est de variété B \fg{} ;
\item $J$ l'évènement \og la pomme est jetée\fg{} ;
\item $\overline{J}$ l'évènement contraire de l'évènement $J$.
\end{itemize}

On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.


\begin{center}
\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que la pomme soit de variété A et soit jetée.
\item Montrer que la probabilité qu'une pomme soit jetée est égale à 0,136.
\item Calculer la probabilité qu'une pomme soit de variété A sachant qu'elle a été jetée.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une pomme pèse en moyenne 150 g.

On modélise le poids d'une pomme en grammes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart type $\sigma = 10$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la pomme ait un poids inférieur à 150 g.
\item Déterminer $p\left( 120 \leqslant X \leqslant 170\right))$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Pierre a pris rendez-vous dans une fabrique de jus de pomme artisanale. Il arrive au hasard entre 8 heures et 9 heures 30 minutes. 

Son heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[8 ; 9,5]$.

Déterminer la probabilité que Pierre arrive entre 8 h 30 et 8 h 45.


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par $f(x) = (2x - 5)\e^{- x + 4} + 20$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ; 10]$, $f'(x) = (- 2x + 7)\e^{- x + 4}$.
\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$. 

Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0 ; 10]$ et déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de $\alpha$.
\item On admet que la fonction $F$ définie sur $[0 ; 10]$ par $F(x) = (- 2x + 3)\e^{- x + 4} + 20x$ est une primitive de $f$ sur $[0 ; 10]$.

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$. Arrondir le résultat au millième.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une entreprise fabrique entre 0 et \np{1000} objets par semaine.

Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise cette entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0 ; 10]$ par  $f(x) = (2x - 5)\e^{- x + 4} + 20$.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l'unité.

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum ?

Quel est ce bénéfice maximal en euros ?
\item À partir de combien d'objets fabriqués et vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ?
\item Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.
\end{enumerate}

        
\end{document}