sujet : Polynésie 2015

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une compagnie aérienne propose à partir du premier janvier de l'année 2000 une nouvelle formule d'achat de billets, la formule Avantage qui s'ajoute à la formule Privilège déjà existante.
Une étude a permis de modéliser l'évolution du nombre de passagers transportés depuis l'année 2000 et la compagnie admet que ce modèle est valable sur la période allant de l'année 2000 à l'année 2016.
Le nombre de passagers choisissant la formule Privilège est modélisé par la fonction P définie sur l'intervalle $\left[0;16\right]$ et le nombre de passagers choisissant la formule Avantage est modélisé par la fonction A définie sur l'intervalle $\left[0;16\right]$. Le graphique donné ci-dessous représente les courbes représentatives $C_P$ et $C_A$ de ces deux fonctions.
Lorsque x représente le temps en année à partir de l'année 2000, $P\left(x\right)$ représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule Privilège et $A\left(x\right)$ représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule Avantage.

partie a

Dans cette partie, les estimations seront obtenues par lecture graphique.

1. Donner une estimation du nombre de passagers qui, au cours de l'année 2002, avaient choisi la formule Privilège.

   Au cours de l'année 2002, environ 50 000 passagers avaient choisi la formule Privilège.

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2. Donner une estimation de l'écart auquel la compagnie peut s'attendre en 2015 entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège.

   Soient M et N les points d'abscisse 15 situés respectivement sur les courbes $C_A$ et $C_P$. La distance MN mesure en dizaine de milliers de passagers, l'écart entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège.

   En 2015, la compagnie peut s'attendre à un écart d'environ 24 000 passagers entre les passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège

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3. Comment peut-on interpréter les coordonnées du point d'intersection des deux courbes au regard de la situation proposée ?

   En 2006, le nombre de passagers est d'environ 39 000 pour chacune des deux formules.

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4. Justifier que la compagnie aérienne peut, selon ce modèle, estimer que le nombre total de passagers ayant choisi la formule Privilège durant la période entre 2007 et 2015 sera compris entre 240 000 et 320 000.

   Le nombre total de passagers ayant choisi la formule Privilège durant la période entre 2007 et 2015 est modélisé par l'intégrale ${\displaystyle {\int }_7^{15}P\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Or cette intégrale est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_P$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=7$ et $x=15$.

   L'aire de ce domaine est comprise entre l'aire de deux rectangles de longueur 8 et de hauteurs respectives 3 et 4 d'où $$\begin{array}{ccc}8\times 3⩽{\displaystyle {\int }_7^{15}P\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽8\times 4& \text{soit}& 24⩽{\displaystyle {\int }_7^{15}P\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽32\end{array}$$

   Selon ce modèle, la compagnie aérienne peut estimer que le nombre total de passagers ayant choisi la formule Privilège durant la période entre 2007 et 2015 sera compris entre 240 000 et 320 000.

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partie b

On admet que la fonction A est définie sur l'intervalle $\left[0;16\right]$ par $A\left(x\right)=2\ln \left(x+1\right)$ et que la fonction P est définie sur l'intervalle $\left[0;16\right]$ par $P\left(x\right)=3+3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.
On s'intéresse à la différence en fonction du temps qu'il y a entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège. Pour cela, on considère la fonction E définie sur l'intervalle $\left[0;16\right]$ par $E\left(x\right)=A\left(x\right)-P\left(x\right)$.

1. On note $E\prime$ la fonction dérivée de E sur l'intervalle $\left[0;16\right]$.

   1. On admet que $E\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x+1}}+\mathrm{0,6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$. Justifier que $E\prime$ est strictement positive sur l'intervalle $\left[0;16\right]$.

      $E\prime$ est la somme de deux fonctions u et v définies sur l'intervalle $\left[0;16\right]$ par $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x+1}}$ et $v\left(x\right)=\mathrm{0,6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$

      • Pour tout réel $x>-1$, ${\displaystyle \frac{2}{x+1}}>0$. Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;16\right]$, ${\displaystyle \frac{2}{x+1}}>0$.

      • La fonction exponentielle est strictement positive sur $ℝ$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;16\right]$, $\mathrm{0,6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}>0$

      $E\prime$ est strictement positive sur l'intervalle $\left[0;16\right]$ comme somme de deux fonctions strictement positive sur cet intervalle.

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   2. Dresser le tableau de variation de la fonction E sur l'intervalle $\left[0;16\right]$.

      Comme $E\prime$ est strictement positive sur l'intervalle $\left[0;16\right]$ alors la fonction E est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;16\right]$

      x	0		16
      Signe de $E\prime \left(x\right)$		+
      Variations de E	$-6$		$2\ln \left(17\right)-3-3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,2}}$

      ---

2. 1. Montrer que l'équation $E\left(x\right)=0$ admet une unique solution, notée α, sur l'intervalle $\left[0;16\right]$. Donner la valeur de α en arrondissant au dixième.

      Sur l'intervalle $\left[0;16\right]$, la fonction E est dérivable donc continue et strictement croissante. En outre $E\left(5\right)<0<E\left(5\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      l'équation $E\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[0;16\right]$. Avec la calculatrice, on obtient $\alpha \approx \mathrm{6,0}$.

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   2. Dresser le tableau de signes de la fonction E sur l'intervalle $\left[0;16\right]$. Interpréter les résultats obtenus au regard des deux formules proposées par la compagnie aérienne.

      La fonction E est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;16\right]$ et $E\left(\alpha \right)=0$ d'où le tableau de signes de la fonction E :

      x	0		α		16
      Signe de $E\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      • De 2000 à 2006, le nombre de passagers choisissant la formule Privilège est supérieur au nombre de passagers choisissant la formule Avantage.
      • En 2006, le nombre de passagers est le même pour les deux formules.
      • À partir de 2006, le nombre de passagers choisissant la formule Privilège est inférieur au nombre de passagers choisissant la formule Avantage.

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