Baccalauréat septembre 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie session septembre 2015

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère une fonction P définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 60]$ .
On donne, ci-dessous, la courbe représentative C de la fonction P.

partie a

À partir d'une lecture graphique répondre aux questions qui suivent :

En argumentant la réponse, donner le signe de $P' (54)$ , où $P'$ est la fonction dérivée de P.
Sur l'intervalle $[50; 60]$ la fonction P est décroissante donc $P' (54) ⩽ 0$ .
Donner un intervalle sur lequel la fonction P est convexe.
La courbe C traverse sa tangente au point d'abscisse 40, elle admet ce point comme point d'inflexion. Cela signifie que la fonction P change de convexité en ce point.
La fonction P est convexe sur l'intervalle $[0; 40]$ .
Donner, à l'unité près, les solutions de l'équation $P (x) = 10$ .
La droite D d'équation $y = 10$ coupe la courbe C en deux points par conséquent, l'équation $P (x) = 10$ admet deux solutions..
Avec la précision permise par le graphique, les solutions à l'unité près, de l'équation $P (x) = 10$ sont $x_{1} \approx 30$ et $x_{2} \approx 58$ .
On note A le nombre $\int_{0}^{10} P (x) d x$ ; choisir l'encadrement qui convient pour A.
La courbe C est située au dessus de l'axe des abscisses, donc l'intégrale $\int_{0}^{10} P (x) d x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe C, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 10$ . Or cette aire peut être encadrée par l'aire de deux rectangles de même longueur 10 et de largeurs respectives 6 et 7. D'où $6 \times 10 < \int_{0}^{10} P (x) d x < 7 \times 10$
$0 < A < 60$
$60 < A < 70$
$6 < A < 7$ $10 < A < 11$

partie b

La fonction P est définie sur l'intervalle $[0; 60]$ par : $P (x) = 6 + (60 - x) e^{0,1 x - 5}$ .
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants :

Actions	Résultats
définir(P(x)=6+(60-x)exp(0.1x-5))	x ↦ 6+(60-x)exp(0.1x-5)
dériver(P(x),x)	(-0.1x+5)exp(0.1x-5)
dériver(dériver(P(x),x),x)	(-0.01x+0.4)exp(0.1*x-5)

Étudier le signe de $P' (x)$ sur l'intervalle $[0; 60]$ où $P'$ est la fonction dérivée de P.
D'après le résultat donné par le logiciel de calcul formel, $P'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 60]$ par $P' (x) = (- 0,1 x + 5) e^{0,1 x - 5}$ .
Comme pour tout réel x, $e^{0,1 x - 5} > 0$ alors, $P' (x)$ est du même signe que $(- 0,1 x + 5)$ sur l'intervalle $[0; 60]$ . Or $\begin{matrix} - 0,1 x + 5 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ 50 \end{matrix}$ D'où le tableau du signe de $P' (x)$ :
x 0 50 60
Signe de $P' (x)$ + $0_{|}^{|}$ −

En déduire les variations de la fonction P sur l'intervalle $[0; 60]$ et vérifier que la fonction P admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.

Les variations de la fonction P se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

x	0		50		60
$P' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$P (x)$			16

Calcul du maximum : $P (50) = 6 + (60 - 50) e^{0,1 \times 50 - 5} = 16$

Montrer que l'équation $P (x) = 10$ a une solution unique $x_{0}$ sur l'intervalle $[0; 40]$ .
Donner une valeur approchée de $x_{0}$ à 0,1 près.
On a : $P (0) = 6 + 60 e^{- 5} \approx 6,4$ et $P (40) = 6 + 20 e^{- 1} \approx 13,4$ .
Sur l'intervalle $[0; 40]$ , la fonction P est dérivable donc continue et strictement croissante. En outre $P (0) < 10 < P (40)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
L'équation $P (x) = 10$ a une solution unique $x_{0}$ sur l'intervalle $[0; 40]$ . Avec la calculatrice, on trouve $x_{0} \approx 29,8$ (valeur arrondie à 0,1 près)
En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction P.
D'après le résultat donné par le logiciel de calcul formel, $P ″$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 60]$ par $P ″ (x) = (- 0,01 x + 0,4) e^{0,1 x - 5}$ .
La convexité de la fonction P se déduit du signe de sa dérivée seconde. Comme pour tout réel x, $e^{0,1 x - 5} > 0$ alors, $P ″ (x)$ est du même signe que $(- 0,01 x + 0,4)$ sur l'intervalle $[0; 60]$ . Or $\begin{matrix} - 0,01 x + 0,4 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ 40 \end{matrix}$ D'où le tableau :
x 0 40 60
Signe de $P ″ (x)$ + $0_{|}^{|}$ −
Convexité de P
P est convexe

P est concave

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x	0		40		60
Signe de $P ″ (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
Convexité de P		P est convexe		P est concave