sujet : Pondichéry 2015

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

L'entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables et des clés USB.

partie a

Considérons les évènements suivants :

• B : « un ordinateur vendu a un défaut de batterie » ;
• D : « un ordinateur vendu a un défaut de disque dur ».

• Parmi les ordinateurs vendus, 5 % ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, 2 % ont aussi un disque dur défectueux donc : $$\begin{array}{ccccccc}P\left(B\right)=\mathrm{0,05}& \text{;}& P\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}& \text{;}& P_B\left(D\right)=\mathrm{0,02}& \text{;}& P_B\left(\overline{D}\right)=1-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,98}\end{array}$$

• Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5 % ont un disque dur défectueux donc : $$\begin{array}{ccc}{P}_{\overline{B}}\left(D\right)=\mathrm{0,05}& \text{;}& P_{\overline{B}}\left(\overline{D}\right)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}\end{array}$$

D'où l'arbre pondéré traduisant cette situation :

• Proposition 1
  La probabilité que l'ordinateur acheté n'ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,08 à 0,01 près.

  $$\begin{array}{cccc}& P\left(\overline{B}\cap \overline{D}\right)=P_{\overline{B}}\left(\overline{D}\right)\times P\left(\overline{D}\right)& \text{Soit}& P\left(\overline{B}\cap \overline{D}\right)=\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,95}=\mathrm{0,9025}\hfill \end{array}$$

  La proposition 1 est fausse.

  ---

• Proposition 2
  La probabilité que l'ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,0485.

  Les évènements B et D sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(D\right)=P\left(B\cap D\right)+P\left(\overline{B}\cap D\right)$$

  Or $$\begin{array}{cccc}& P\left(B\cap D\right)=P_B\left(D\right)\times P\left(B\right)& \text{Soit}& P\left(B\cap D\right)=\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,05}=\mathrm{0,001}\hfill \\ \text{et}& P\left(\overline{B}\cap D\right)=P_{\overline{B}}\left(D\right)\times P\left(\overline{B}\right)& \text{Soit}& P\left(\overline{B}\cap D\right)=\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,95}=\mathrm{0,0475}\hfill \end{array}$$

  On obtient alors $$P\left(D\right)=\mathrm{0,001}+\mathrm{0,0475}=\mathrm{0,0485}$$

  La proposition 2 est vraie.

  ---

• Proposition 3
  Sachant que l'ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02.

  $$\begin{array}{ccc}{P}_D\left(B\right)={\displaystyle \frac{P\left(B\cap D\right)}{P\left(D\right)}}& \text{Soit}& P_D\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,001}}{\mathrm{0,0485}}}\approx \mathrm{0,021}\end{array}$$

  La proposition 3 est fausse.

  ---

partie b

L'autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO, exprimée en heure, suit une loi normale d'espérance $\mu =8$ et d'écart-type $\sigma =2$.

• Proposition 4
  La probabilité que l'ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10 h est inférieure à 0,2.

  Notons X la variable aléatoire associant à chaque ordinateur l'autonomie de la batterie exprimée en heure.

  • méthode 1

    Lorsque X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors $P\left(X\in \left[\mu -\sigma ;\mu +\sigma \right]\right)\approx \mathrm{0,683}$

    X suit la loi normale d'espérance $\mu =8$ et d'écart-type $\sigma =2$ d'où : $$P\left(X⩾10\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(1-P\left(6⩽X⩽10\right)\right)\approx {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(1-\mathrm{0,683}\right)\approx \mathrm{0,1585}$$

  • méthode 2

    La calculatrice permet d'obtenir la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ.

    D'où $$P\left(X⩾10\right)=P\left(X⩾8\right)-P\left(8⩽X⩽10\right)=\mathrm{0,5}-P\left(8⩽X⩽10\right)\approx \mathrm{0,1587}$$

  La proposition 4 est vraie.

  ---

partie c

L'entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant que 98 % des clés commercialisées fonctionnent correctement.
Sur 1000 clés prélevées dans le stock, 50 clés se révèlent défectueuses.

• Proposition 5
  Ce test, réalisé sur ces 1000 clés, ne remet pas en cause la communication de l'entreprise.

  Soit $p=\mathrm{0,02}$ la proportion de clés USB défectueuses. Comme $n=1000$, $n\times p=1000\times \mathrm{0,02}=20$ et $n\times \left(1-p\right)=1000\times \mathrm{0,98}=980$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,02}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,98}}{1000}}};\mathrm{0,02}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,98}}{1000}}}\right]\end{array}$$

  Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des clés USB défectueuses sur un échantillon de taille 1000 est $I=\left[\mathrm{0,011};\mathrm{0,029}\right]$.

  La fréquence des clés USB défectueuses observée sur l'échantillon est $$f={\displaystyle \frac{50}{1000}}=\mathrm{0,05}$$La fréquence observée n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% on remet en cause la communication de l'entreprise.

  La proposition 5 est fausse.

  ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.