Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

partie a

À une sortie d'autoroute, la gare de péage comporte trois voies. Une étude statistique a montré que :

  • 28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés ; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes;
  • 52 % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75 % franchissent le péage en moins de 10 secondes ;
  • les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets).

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évènements suivants :

  • G : « l'automobiliste emprunte la voie de gauche » ;
  • C : « l'automobiliste emprunte la voie du centre » ;
  • D : « l'automobiliste emprunte la voie de droite » ;
  • T : « l'automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes ».

On note T¯ l'évènement contraire de l'évènement T.

  1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
    Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

    • 28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés ; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes. D'où p(G)=0,28 et pG(T)=1
    • 52 % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75 % franchissent le péage en moins de 10 secondes. D'où p(C)=0,52 et pC(T)=0,75
    • les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement d'où p(D)=1-0,28-0,52=0,2.

    L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité p(CT).

    p(CT)=pC(T)×p(C)soitp(CT)=0,52×0,75=0,39

    La probabilité qu'un automobiliste emprunte la voie du centre et passe le péage en moins de 10 secondes est égale à 0,39.


  3. L'étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes.

    1. Justifier que p(DT)=0,03.

      D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(T)=p(GT)+p(CT)+p(DT)p(DT)=p(T)-p(GT)-p(CT)soitp(DT)=0,7-1×0,28-0,39=0,03

      La probabilité qu'un automobiliste emprunte la voie de droite et passe le péage en moins de 10 secondes est égale à 0,03.


    2. Calculer la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes.

      pD(T)=p(DT)p(D)=0,030,2=0,15

      La probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est égale à 0,15.


Nous pouvons compléter l'arbre pondéré :

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partie b

Quelques kilomètres avant la sortie de l'autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire V qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h-1. On admet que V suit la loi normale d'espérance μ=120 et d'écart-type σ=7,5.

  1. Déterminer la probabilité p(120<V<130). On arrondira le résultat au millième.

    À l'aide de la calculatrice, on trouve p(120<V<130)0,409.


  2. Une contravention est envoyée à l'automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h-1.
    Déterminer la probabilité qu'un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.

    p(V138)=p(V120)-p(120V<138)=0,5-p(120V<138)0,008

    La probabilité, arrondie au millième près, qu'un automobiliste soit sanctionné est 0,008.



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