Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane septembre 2016

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées: Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).
D'une semaine sur l'autre les abonnés peuvent changer d'activité.
Au 1er septembre 2015, il y a 10 % des abonnés inscrits en Pilates, 85 % en Step et 5 % en Zumba.

D'après l'analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d'une semaine sur l'autre :

  • Si l'abonné était en Pilates, la semaine suivante il conserve Pilates dans 30 % des cas, sinon il choisit Step dans 10 % des cas et Zumba dans 60 % des cas.
  • Si l'abonné était en Step, la semaine suivante il conserve Step dans 30 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 50 % des cas et Zumba dans 20 % des cas.
  • Si l'abonné était en Zumba, la semaine suivante il conserve Zumba dans 20 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 20 % des cas et Step dans 60 % des cas.

On considère qu'il n'y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l'année.

Soit En=(pnsnzn), la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et Z, n semaines après le 1er septembre 2015.

  1. Donner, sans justification, la matrice E0.

    Au 1er septembre 2015, il y a 10 % des abonnés inscrits en Pilates, 85 % en Step et 5 % en Zumba donc E0=(0,10,850,05).


  2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z.

    Le graphe probabiliste de sommets P, S et Z modélisant la situation est :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. On donne M la matrice carrée 3×3 de transition respectant l'ordre P, S et Z. M=(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2).

    1. Préciser la signification du coefficient 0,5 dans la matrice M.

      Si l'abonné était en Step, la semaine suivante il choisit Pilates dans 50 % des cas donc :

      la probabilité conditionnelle qu'un abonné chosisse Pilates une semaine sachant qu'il était en Step la semaine précédente est égale à 0,5.


    2. Calculer E1.

      E1=E0×M soit : E1=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)=(0,4650,2950,24)

      E1=(0,4650,2950,24).


    3. Déterminer la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines.

      E3=E0×M3 soit : E3=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)3=(0,31720,34880,334)

      Au bout de trois semaines, il y a 31,72 % des abonnés inscrits en Pilates, 34,88 % en Step et 33,4 % en Zumba.


  4. Peut-on affirmer, à 10-2 près, qu'au bout de 6 semaines environ 1/3 des abonnés se répartissent dans chaque activité.

    E6=E0×M6 soit : E3=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)6(0,33270,33340,3339)

    Au bout de six semaines, environ un tiers des abonnés se répartissent dans chaque activité.


  5. Au 1er septembre 2015 on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Combien peut-on prévoir d'abonnés dans chaque activité, 8 semaines après cette date ?

    E8=E0×M6 soit : E3=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)8(0,33340,33330,3333)

    Au bout de huit semaines, environ un tiers des abonnés se répartissent dans chaque activité soit 40 abonnés dans chaque activité.


    1. Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne E correspondant à l'état probabiliste stable.

      D'après les résultats des deux questions précédentes, il semblerait qu'à partir de la sixième semaine, environ un tiers des abonnés se répartissent dans chaque activité.

      On peut conjecturer que l'état stable est E=(131313).


    2. Vérifier cette conjecture.

      (131313)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)=(131313)

      Ainsi, E×M=E donc l'état stable est E=(131313).



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