sujet : Centres Étrangers 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur $\left[0;8\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{20{\mathrm{e}}^{-x}+1}}+\mathrm{0,4}$.

1. Montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(20{\mathrm{e}}^{-x}+1\right)}^2}}$ où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;8\right]$ on pose $u\left(x\right)=20{\mathrm{e}}^{-x}+1$ d'où $u\prime \left(x\right)=-20{\mathrm{e}}^{-x}$.

   On en déduit que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;8\right]$ : $$f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\times \left(-20{\mathrm{e}}^{-x}\right)}{{\left(20{\mathrm{e}}^{-x}+1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{8{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(20{\mathrm{e}}^{-x}+1\right)}^2}}$$

   $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[0;8\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(20{\mathrm{e}}^{-x}+1\right)}^2}}$.

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2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

   1	$f\prime \left(x\right):=8*\mathrm{e}^\left(-x\right)/{\left(20*\mathrm{e}^\left(-x\right)+1\right)}^2$ $\to f\prime \left(x\right):={\displaystyle \frac{8{\mathrm{e}}^{-x}}{400{\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2+40{\mathrm{e}}^{-x}+1}}$
   2	$g\left(x\right):=$ Dérivée $\left[f\prime \left(x\right)\right]$ $\to g\left(x\right):={\displaystyle \frac{160{\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2-8{\mathrm{e}}^{-x}}{8000{\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^3+1200{\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2+60{\mathrm{e}}^{-x}+1}}$
   3	Factoriser $\left[g\left(x\right)\right]$ $\to 8{\mathrm{e}}^{-x}.{\displaystyle \frac{20{\mathrm{e}}^{-x}-1}{{\left(20{\mathrm{e}}^{-x}+1\right)}^3}}$

   En s'appuyant sur ces résultats, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur $\left[0;8\right]$ par $f″\left(x\right)=8{\mathrm{e}}^{-x}\times {\displaystyle \frac{20{\mathrm{e}}^{-x}-1}{{\left(20{\mathrm{e}}^{-x}+1\right)}^3}}$.

   Comme pour tout réel x on a $8{\mathrm{e}}^{-x}>0$ et $20{\mathrm{e}}^{-x}+1>0$ alors, le signe de $f″\left(x\right)$ se déduit du signe de $20{\mathrm{e}}^{-x}-1$ : $$\begin{array}{rcl}20{\mathrm{e}}^{-x}-1⩾0& \iff & {\mathrm{e}}^{-x}⩾{\displaystyle \frac{1}{20}}\\ & \iff & -x⩾-\ln 20\\ & \iff & x⩽\ln 20\end{array}$$

   La dérivée seconde de la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[0;\ln 20\right]$ donc la fonction f est convexe sur $\left[0;\ln 20\right]$.

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partie b

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

• Proposition 1 : L'altitude du village B est 0,6 km.

  $$f\left(8\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{20{\mathrm{e}}^{-8}+1}}+\mathrm{0,4}\approx \mathrm{0,797}$$

  La proposition 1 est fausse.

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• Proposition 2 : L'écart d'altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre.

  $$f\left(8\right)-f\left(0\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{20{\mathrm{e}}^{-8}+1}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{21}}\approx \mathrm{0,378}$$

  La proposition 2 est vraie.

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• Proposition 3 : La pente en A vaut environ 1,8 %.

  $$f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{8}{{21}^2}}\approx \mathrm{0,0181}$$

  La proposition 3 est vraie.

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• Proposition 4 : Le projet de route ne sera pas accepté.

  Les variations de la fonction dérivée $f\prime$ se déduisent du signe de $f″$ :

  x	0		$\ln 20$		8
  Signe de $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
  variations de $f\prime$

  Le maximum de la fonction $f\prime$ est atteint pour $x=\ln 20$ : $$f\prime \left(\ln 20\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{8}{20}}}{2^2}}\approx \mathrm{0,1}$$

  Avec une pente maximale de 10 % le projet de route sera accepté.

  La proposition 4 est fausse.

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