Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2016

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Le 31 décembre 2015 une forêt comportait 1500 arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5 % des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés.
On modélise le nombre d'arbres de cette forêt par une suite $(u_{n})$ où, pour tout entier naturel n, $u_{n}$ est le nombre d'arbres au 31 décembre de l'année $(2015 + n)$ .
Ainsi $u_{0} = 1500$ .

partie a

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
- $u_{1} = 1500 \times (1 - \frac{5}{100}) + 50 = 1475$
- $u_{2} = 1475 \times 0,95 + 50 = 1451,25$
Ainsi, $u_{1} = 1475$ et $u_{2} \approx 1451$ .
Justifier que pour tout entier naturel n, on a : $u_{n + 1} = 0,95 \times u_{n} + 50$ .
Chaque année, 5 % des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés d'où, pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} u_{n + 1} = u_{n} \times (1 - \frac{5}{100}) + 50 & Soit & u_{n + 1} = 0,95 \times u_{n} + 50 \end{matrix}$
Ainsi, $(u_{n})$ est la suite définie par $u_{0} = 1500$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,95 \times u_{n} + 50$ .
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n, par $v_{n} = u_{n} - 1000$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 1000 \\ = & 0,95 u_{n} + 50 - 1000 \\ = & 0,95 u_{n} - 950 \\ = & 0,95 \times (u_{n} - 1000) \\ = & 0,95 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,95 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont le premier terme $v_{0} = 1500 - 1000 = 500$ .
2. Montrer que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 1000 + 500 \times {0,95}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_{0} = 500$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = 500 \times {0,95}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 1000 \Leftrightarrow u_{n} = 1000 + v_{n}$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 1000 + 500 \times {0,95}^{n}$ .
3. En déduire le nombre d'arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030.
  $u_{15} = 1000 + 500 \times {0,95}^{15} \approx 1232$
  Selon ce modèle, au 31 décembre 2030 il y aura environ 1232 arbres dans la forêt.

partie b

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d'un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3 %.
Au bout de combien d'années le prix d'un stère de bois aura-t-il doublé ?

Soit $p_{0}$ le prix initial d'un stère de bois. Pour tout entier naturel n, notons $p_{n}$ le prix d'un stère de bois n années plus tard.

Comme le prix d'un stère de bois augmente chaque année de 3 %, on en déduit que pour tout entier naturel n, $p_{n} = {1,03}^{n} \times p_{0}$

Le prix d'un stère de bois aura doublé pour le plus petit entier n tel que $\begin{array}{rcl} {1,03}^{n} \times p_{0} ⩾ 2 \times p_{0} & \Leftrightarrow & {1,03}^{n} ⩾ 2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,03}^{n}) ⩾ \ln 2 \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,03 ⩾ \ln 2 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 2}{\ln 1,03} \end{array}$

Or $\frac{\ln 2}{\ln 1,03} \approx 23,4$ donc $n = 24$

Le prix d'un stère de bois aura doublé au bout de 24 ans.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.