On définit une fonction g sur l'intervalle par .
Montrer que pour x appartenant à , .
Pour tout réel x de l'intervalle on a :
La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x de l'intervalle :
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier le signe de et en déduire le sens de variation de g sur .
Pour tout réel x de l'intervalle :
Nous pouvons en déduire le signe de sur l'intervalle :
x | 0,5 | 5 | |||
Signe de | + | − |
Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée.
x | 0,5 | 5 | |||
+ | − | ||||
En déduire pour quelle valeur , arrondie au centième, la fonction g atteint un maximum.
La fonction g atteint un maximum pour . Soit arrondie au centième, .
Montrer que l'équation admet deux solutions sur que l'on note et . En donner un encadrement d'amplitude 0,01.
La fonction g est dérivable donc continue, , et alors, sur chacun des deux intervalles où g est monotone le corollaire de la valeur intermédiaire nous permet d'affirmer que l'équation admet une solution unique et .
À l'aide de la calculatrice, on trouve et .
Résoudre .
À l'aide des variations de la fonction g et du résultat précédent, nous pouvons déduire que :
l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle .
Montrer que la fonction G définie sur par est une primitive de g sur .
Pour tout réel x de l'intervalle on a :
La fonction G est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x de l'intervalle :
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle , on a donc la fonction G définie sur par est une primitive de g sur .
Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle . On donnera la valeur arrondie au millième.
La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle est :
Arrondie au millième près, la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle est 4,405.
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