sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On définit une fonction g sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par $g\left(x\right)=5x-3x\ln x$.

1. Montrer que pour x appartenant à $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $g\prime \left(x\right)=2-3\ln x$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ on a :$$g\left(x\right)=5x-3x\ln x=x\left(5-3\ln x\right)$$

   La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
   $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)=5-3\ln x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{x}}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ : $$\begin{array}{rcl}g\prime \left(x\right)& =& \left(5-3\ln x\right)+x\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{x}}\right)\\ & =& 5-3\ln x-3\\ & =& 2-3\ln x\end{array}$$

   Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par $g\prime \left(x\right)=2-3\ln x$.

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2. Étudier le signe de $g\prime \left(x\right)$ et en déduire le sens de variation de g sur $\left[\mathrm{0,5};5\right]$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ : $$\begin{array}{rcl}2-3\ln x⩽0& \iff & -3\ln \left(x\right)⩽-2\\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & \iff & x⩾{\mathrm{e}}^{\frac{2}{3}}\end{array}$$

   Nous pouvons en déduire le signe de $g\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ :

   x	0,5		${\mathrm{e}}^{\frac{2}{3}}$		5
   Signe de $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée.

   x	0,5		${\mathrm{e}}^{\frac{2}{3}}$		5
   $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $g\left(x\right)$	$\mathrm{2,5}-\mathrm{1,5}\ln \mathrm{0,5}$		$3{\mathrm{e}}^{\frac{2}{3}}$		$25-15\ln 5$

3. En déduire pour quelle valeur $x_0$, arrondie au centième, la fonction g atteint un maximum.

   La fonction g atteint un maximum pour $x_0={\mathrm{e}}^{\frac{2}{3}}$. Soit arrondie au centième, $x_0\approx \mathrm{1,95}$.

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4. Montrer que l'équation $g\left(x\right)=4$ admet deux solutions sur $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ que l'on note ${\alpha }_1$ et ${\alpha }_2$. En donner un encadrement d'amplitude 0,01.

   La fonction g est dérivable donc continue, $g\left(\mathrm{0,5}\right)\approx \mathrm{3,54}$, $g\left({\mathrm{e}}^{\frac{2}{3}}\right)\approx \mathrm{5,84}$ et $g\left(5\right)\approx \mathrm{0,86}$ alors, sur chacun des deux intervalles où g est monotone le corollaire de la valeur intermédiaire nous permet d'affirmer que l'équation $g\left(x\right)=4$ admet une solution unique ${\alpha }_1\in \left[\mathrm{0,5};{\mathrm{e}}^{\frac{2}{3}}\right]$ et ${\alpha }_2\in \left[{\mathrm{e}}^{\frac{2}{3}};5\right]$.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve ${\alpha }_1\in \left[\mathrm{0,62};\mathrm{0,63}\right]$ et ${\alpha }_2\in \left[\mathrm{3,68};\mathrm{3,69}\right]$.

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5. Résoudre $g\left(x\right)⩾4$.

   À l'aide des variations de la fonction g et du résultat précédent, nous pouvons déduire que :

   l'ensemble des solutions de l'inéquation $g\left(x\right)⩾4$ est l'intervalle $\left[{\alpha }_1;{\alpha }_2\right]$.

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6. Montrer que la fonction G définie sur $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2\ln x+{\displaystyle \frac{13}{4}}{x}^2$ est une primitive de g sur $\left[\mathrm{0,5};5\right]$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ on a :$$G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2\ln x+{\displaystyle \frac{13}{4}}{x}^2=x^2\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\ln x+{\displaystyle \frac{13}{4}}\right)$$

   La fonction G est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
   $G=uv$ d'où $G\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x\hfill \\ v\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\ln x+{\displaystyle \frac{13}{4}}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2x}}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ : $$\begin{array}{rcl}G\prime \left(x\right)& =& 2x\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\ln x+{\displaystyle \frac{13}{4}}\right)+x^2\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2x}}\right)\\ & =& -3x\ln x+{\displaystyle \frac{13x}{2}}-{\displaystyle \frac{3x}{2}}\\ & =& -3x\ln x+5x\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, on a $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ donc la fonction G définie sur $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2\ln x+{\displaystyle \frac{13}{4}}{x}^2$ est une primitive de g sur $\left[\mathrm{0,5};5\right]$.

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7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$. On donnera la valeur arrondie au millième.

   La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{5-\mathrm{0,5}}}\times {\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^{5}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,5}}}\times \left[G\left(5\right)-G\left(\mathrm{0,5}\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{9}}\times \left[\left(-{\displaystyle \frac{75}{2}}\ln 5+{\displaystyle \frac{325}{4}}\right)-\left(-{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+{\displaystyle \frac{13}{16}}\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{9}}\times \left(-{\displaystyle \frac{75}{2}}\ln 5+{\displaystyle \frac{325}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln 2-{\displaystyle \frac{13}{16}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{143}{8}}-{\displaystyle \frac{25\ln 5}{3}}-{\displaystyle \frac{\ln 2}{12}}\approx \mathrm{4,405}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ est 4,405.

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