sujet : Liban 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

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1. La représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d'abscisses $-3$ et 0.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(a\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a.

   • La tangente au point d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses d'où $f\prime \left(0\right)=0$.

   • La tangente au point d'abscisse $-3$ a pour équation $y=-x$ d'où $f\prime \left(-3\right)=-1$.

   a. $f\prime \left(0\right)=-1$

   b. $f\prime \left(-1\right)=0$

   c. $f\prime \left(-3\right)=-1$

   d. $f\prime \left(-3\right)=3$

2. On note g la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par : $g\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln \left(x\right)$.

   La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :
   $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel $x\in \left]0;+\infty \right[$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+1\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}g\prime \left(x\right)& =& \ln \left(x\right)+\left(x+1\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & =& \ln \left(x\right)+1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

   a. $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

   b. $g\prime \left(x\right)=1+\ln \left(x\right)$

   c. $g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

   d. $g\prime \left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{1}{x}}+\ln \left(x\right)$

3. On considère la fonction h définie sur $\left[0;7\right]$ et représentée par la courbe ci-dessous :

   L'aire du domaine hachuré compris entre la courbe, les axes du repère et la droite d'équation $y=5$ peut être encadrée par l'aire d'un triangle et d'un trapèze. Soit $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{10\times 4}{2}}<{\displaystyle {\int }_0^{5}h\left(x\right)\mathrm{d}x}<{\displaystyle \frac{\left(10+1\right)\times 5}{2}}& \iff & 20<{\displaystyle {\int }_0^{5}h\left(x\right)\mathrm{d}x}<\mathrm{27,5}\end{array}$$

   a. ${\displaystyle {\int }_0^{5}h\left(x\right)\mathrm{d}x}=h\left(5\right)-h\left(0\right)$

   b. $20<{\displaystyle {\int }_0^{5}h\left(x\right)\mathrm{d}x}<30$

   c. $15<{\displaystyle {\int }_0^{5}h\left(x\right)\mathrm{d}x}<20$

   d. ${\displaystyle {\int }_0^{5}h\left(x\right)\mathrm{d}x}=20$

4. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k″$ d'une fonction k définie sur $\left[0;+\infty \right[$.

   La convexité de la fonction k se déduit du signe de sa dérivée seconde $k″$

   x	0		2		$+\infty$
   $k″$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Convexité de k		k est concave		k est convexe

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   a. k est concave sur l'intervalle $\left[1;2\right]$

   b. k est convexe sur l'intervalle $\left[0;2\right]$

   c. k est convexe sur $\left[0;+\infty \right[$

   d. k est concave sur $\left[0;+\infty \right[$

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