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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2016 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Liban}}}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Liban 2016}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni
n'enlève aucun point.}

\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d'abscisses $- 3$ et $0$.

 \begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(-58*x^3-957*x^2-5776*x-5481)/1600}
\def\g{5*x^3/27+x^2-1}
\def\h{-3*x^3/250+89*x^2/500-1}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-3}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{0}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\h}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-5,5)(3,-3)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-7,-1)(5,-1)
\uput[dr](-6,5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $f'(0) = - 1$ & \item $f'(-1) = 0$ & \item  $f'(-3) = - 1$ & \item  $f'(-3) = 3$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $g(x) = (x + 1)\ln (x)$.

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
 \item  $g'(x) = \dfrac{1}{x}$& \item  $g'(x) = 1 + \ln (x)$ &  \item  $g'(x) = - \dfrac{1}{x^2}$& \item  $g'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} + \ln (x)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  On considère la fonction $h$ définie sur $[0 ; 7]$ et représentée par la courbe ci-dessous :

 \begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{3*x^3/125-2*x^2/25-2*x+10}
\def\g{9*x^2/8-49*x/4+273/8}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,11)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(9,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{5}{7}{\g}
\uput[dl](1,10){\small{\bleu{$\mathcal{C}_h$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}}
 \item  $\displaystyle\int_0^5  h(x)\dd x = h(5) - h(0)$& \item $20 < \displaystyle\int_0^5  h(x)\dd x < 30$ \\  \item  $15 < \displaystyle\int_0^5  h(x)\dd x < 20$& \item $\displaystyle\int_0^5  h(x)\dd x = 20$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$
définie sur $[0 ; + \infty[$.


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-1.5)(3.25,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2*(x^2-4)/3}
\psgrid[griddots=15,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(3.25,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3}{\f}
\uput[ur](2,3){\small{\bleu{$\mathcal{C}_{k''}$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}}
 \item $k$ est concave sur l'intervalle $[1 ; 2]$.&  \item  $k$ est convexe sur l'intervalle $[0 ; 2]$.\\
 \item $k$ est convexe sur $[0 ; + \infty[$.& \item  $k$ est concave sur $[0 ; + \infty[$.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60\,\% de collégiens et 40\,\% de lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80\,\% des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70\,\% en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $C$ : \og le jeune choisi est un collégien \fg{} ;
\item $L$ : \og le jeune choisi est un lycéen \fg{} ;
\item $T$ : \og le jeune choisi possède un téléphone portable \fg.
\end{itemize}
 
\emph{Rappel des notations}
 
\medskip
 
Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_B(A)$ désigne la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On note aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités : $p(C)$, $p(L)$, $p(T)$, $p_C(T)$.
\item Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l'énoncé.
\item Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.
\item Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(T \cap L)$, en déduire $p_L(T)$.
		\item Compléter l'arbre construit dans la question 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip 

En 2012 en France, selon une étude publiée par l'Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ \np{2500} par mois. On admet qu'en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{2500}$ et d'écart-type $\sigma = 650$.


\emph{Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.}


\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un adolescent envoie entre \np{2000} et \np{3000} SMS par mois.
\item Calculer $p(X \geqslant \np{4000})$.
\item Sachant que $p(X \leqslant a) = 0,8$, déterminer la valeur de $a$. On arrondira le résultat à l'unité.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12\,\% de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.

En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année $2015+ n$. Ainsi, on a $u_0 = 75$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,12 u_n - 6$.
	\end{enumerate}
\item L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de $100$ contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
	
On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :
\begin{center}
	
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c l X|}\hline
L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
L3& 			&Traitement: Affecter à $n$ la valeur 0\\
L4& 			&Affecter à $U$ la valeur 75\\
L5& 			&Tant que $U \leqslant  100$ faire\\
L6& 			&\hspace{1em} $n$ prend la valeur $n + 1$\\
L7& 			&\hspace{1em} $U$ prend la valeur $1,12 U - 6$\\
L8& 			&Fin Tant que\\
L9& Sortie :	&Afficher \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter la ligne L9.
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X|m{3cm}|}\hline 
Valeur de $n$	&0	&	&\\ \hline
Valeur de $U$	&75	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,12u_n - 6$ et $u_0 = 75$.
	
On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 50$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a \[u_n = 25 \times  1,12^n + 50 .\]
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n > 100$.
		\item Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.

C'est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n'ont que deux choix possibles : soit ils s'occupent eux-mêmes de l'entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat avec l'entreprise PiscinePlus.

On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant.

Le patron de cette entreprise remarque que chaque année :

\begin{itemize}
\item 12\,\% des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l'entreprise PiscinePlus ;
\item 20\,\% de particuliers sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-mêmes leur piscine.
\end{itemize}
 
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $L$ où :

\begin{itemize}
\item  $C$ est l'évènement \og Le particulier est sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus \fg{} ;
\item $L$ est l'évènement \og Le particulier effectue lui-même l'entretien de sa piscine \fg.
\end{itemize}

Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on note pour tout entier naturel $n$ :


\begin{itemize}
\item $c_n$ la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus l'année $2015 + n$ ;
\item $l_n$ la probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l'année $2015 + n$.
\end{itemize}

On note $P_n = \begin{pmatrix} c_n& l_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'entreprise PiscinePlus atteindra l'objectif d'avoir au moins 35\,\% des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d'entretien.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition
associée au graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre $C$ et $L$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'état stable de ce graphe est $P = \begin{pmatrix}0,375& 0,625\end{pmatrix}$.
		\item Déterminer, en justifiant, si l'entreprise PiscinePlus peut espérer atteindre son objectif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip 

En 2015, on sait que 15\,\% des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus. On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}0,15& 0,85\end{pmatrix}$.


\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,68 c_n + 0,12$.
\item À l'aide d'un algorithme, on cherche à connaître au bout de combien d'années l'entreprise PiscinePlus atteindra son objectif :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c l X|}\hline
L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
L2& 			&$C$ est un nombre réel\\
L3& Traitement :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
L4& 			&Affecter à $C$ la valeur $0,15$\\
L5& 			&Tant que $C < 0,35$ faire\\
L6&				&\hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
L7&				&\hspace{1em} $C$ prend la valeur $0,68C + 0,12$\\
L8&				& Fin Tant que\\
L9& Sortie :	& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au millième.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X|m{3cm}|}\hline 
Valeur de $n$	&0	&	&\\ \hline
Valeur de $C$	&0,15	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} =  0,68c_n +  0,12$ et que $c_0 = 0,15$.
	
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n = c_n -  0,375$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
		\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_n = - 0,225 \times  0,68^n + 0,375$.
		
		Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $c_n \geqslant  0,35$.
		\item Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[3 ; 13]$ par : $f(x) = - 2x + 20 - \e^{-2x + 10}$.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a :}}} Étude de la fonction  $f$}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$, de la fonction $f$, définie pour tout $x$ de l'intervalle $[3 ; 13]$, a pour expression :

\[f'(x) = 2\left(- 1 + \e^{-2x+10}\right).\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'intervalle $[3 ; 13]$ l'inéquation : $f'(x) \geqslant 0$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[3 ; 13]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à $10^{-3}$.
			\end{enumerate}
			\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_3^{13} f(x) \dd x$. 
		
On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b :}}} Application}

\medskip

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et \np{1300}. On suppose que toute la production est commercialisée. 

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de toboggans est modélisé sur l'intervalle $[3 ; 13]$ par la fonction $f$.

En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.
\item Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et \np{1300} toboggans. Arrondir le résultat à l'euro.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c :}}} Rentabilité}

\medskip

Pour être rentable, l'usine doit avoir un bénéfice positif.

Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l'usine doit fabriquer en un mois pour qu'elle soit rentable. Justifier la réponse.

        
\end{document}