Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2017

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les jeunes abonnés (c'est-à-dire de moins de 12 ans) inscrits à une médiathèque se voient proposer une formule d'emprunt mensuel unique: chaque mois, chacun de ces abonnés peut choisir d'emprunter exclusivement soit un livre, soit un film en DVD. On suppose d'une part que le nombre d'inscrits ne varie pas et d'autre part que tous les abonnés de moins de 12 ans respectent cette formule et réalisent un emprunt chaque mois.

Les statistiques réalisées lors des mois précédents sur les choix d'emprunt des jeunes abonnés permettent au responsable de la médiathèque de constater que l'on peut modéliser ainsi la situation :
d'un mois à l'autre,

89 % des jeunes abonnés ayant choisi d'emprunter un livre, optent encore pour un livre le mois suivant ;
parmi les jeunes abonnés ayant emprunté un film, 14 % changent le mois suivant en décidant de choisir un livre.

Lors du lancement de cette formule d'emprunt, en janvier 2016, 80 % des abonnés de moins de 12 ans empruntent un livre.
Chaque mois, on choisit au hasard un abonné de moins de 12 ans de cette médiathèque, et pour tout entier naturel n, on note :

$a_{n}$ la probabilité que cet abonné emprunte un livre le n-ième mois après janvier 2016 ;
$b_{n}$ la probabilité que cet abonné emprunte un film le n-ième mois après janvier 2016 ;
$P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le n-ième mois après janvier 2016.
Ainsi $P_{0} = (\begin{matrix} a_{0} & b_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \end{matrix})$ .

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où :
  - A est l'état « le jeune abonné choisit d'emprunter un livre » ;
  - B est l'état « le jeune abonné choisit d'emprunter un film ».
  D'un mois à l'autre :
  - 89 % des jeunes abonnés ayant choisi d'emprunter un livre, optent encore pour un livre le mois suivant d'où $P_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 0,89$ et $P_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,89 = 0,11$ .
  - Parmi les jeunes abonnés ayant emprunté un film, 14 % changent le mois suivant en décidant de choisir un livre d'où $P_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,14$ et $P_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,16 = 0,86$ .
  D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, en prenant les sommets A et B dans cet ordre.
  La matrice de transition M de ce graphe est $M = (\begin{matrix} 0,89 & 0,11 \\ 0,14 & 0,86 \end{matrix})$ .
3. Déterminer la répartition des jeunes abonnés selon leur choix d'emprunt, en février 2016 et en mars 2016.
  - L'état probabiliste en février 2016 est : $\begin{matrix} P_{1} = P_{0} \times M & soit & P_{1} = (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,89 & 0,11 \\ 0,14 & 0,84 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,74 & 0,26 \end{matrix}) \end{matrix}$
    En février 2016, 74 % des abonnés de moins de 12 ans empruntent un livre et 26 % des abonnés de moins de 12 ans empruntent un film.
  - L'état probabiliste en mars 2016 est : $\begin{matrix} P_{2} = P_{1} \times M & soit & P_{2} = (\begin{matrix} 0,74 & 0,26 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,89 & 0,11 \\ 0,14 & 0,84 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,695 & 0,305 \end{matrix}) \end{matrix}$
    En mars 2016, 69,5 % des abonnés de moins de 12 ans empruntent un livre et 30,5 % des abonnés de moins de 12 ans empruntent un film.
1. Montrer que pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,89 a_{n} + 0,14 b_{n}$ .
  M est la matrice de transition associée à ce graphe donc pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Soit pour tout entier naturel n : $\begin{matrix} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,89 & 0,11 \\ 0,14 & 0,86 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,89 a_{n} + 0,14 b_{n} & 0,11 a_{n} + 0,86 b_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,89 a_{n} + 0,14 b_{n}$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,14$ .
  Pour tout entier naturel n on a $a_{n + 1} = 0,89 a_{n} + 0,14 b_{n}$ avec pour tout entier naturel n, $a_{n} + b_{n} = 1$ . Donc pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,89 a_{n} + 0,14 \times (1 - a_{n}) = 0,75 a_{n} + 0,14$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,14$ .
3. Pour déterminer au bout de combien de mois le pourcentage de jeunes abonnés empruntant un livre deviendra pour la première fois strictement inférieur à 60 %, on décide de programmer un algorithme. Modifier l'algorithme ci-dessous pour qu'il permette d'afficher la réponse à cette question.
  Dans l'algorithme proposé, la valeur de n n'est pas incrémentée d'où la modification :
  initialisation
  a prend la valeur 0,8
  n prend la valeur 1
  traitement
  Tant que $a ⩾ 0,6$
  a prend la valeur $0,75 a + 0,14$
  n prend la valeur $n + 1$
  Fin Tant que
  sortie
  Afficher n
Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par : $u_{n} = a_{n} - 0,56$ .
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison 0,75 et préciser son terme initial.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,56 \\ = & 0,75 a_{n} + 0,14 - 0,56 \\ = & 0,75 a_{n} - 0,42 \\ = & 0,75 \times (a_{n} - 0,56) \\ = & 0,75 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 dont le premier terme $u_{0} = 0,8 - 0,56 = 0,24$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, $a_{n} = 0,24 \times {0,75}^{n} + 0,56$ .
  - $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $u_{0} = 0,24$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,24 \times {0,75}^{n}$ .
  - Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,56 \Leftrightarrow a_{n} = u_{n} + 0,56$ on en déduit que :
    pour tout entier naturel n, on a $a_{n} = 0,24 \times {0,75}^{n} + 0,56$ .
3. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $a_{n} < 0,6$ et interpréter le résultat dans le contexte.
  $\begin{array}{rcll} a_{n} < 0,6 & \Leftrightarrow & 0,24 \times {0,75}^{n} + 0,56 < 0,6 \\ \Leftrightarrow & 0,24 \times {0,75}^{n} < 0,04 \\ \Leftrightarrow & {0,75}^{n} < \frac{1}{6} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,75}^{n}) < \ln (\frac{1}{6}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,75 < - \ln 6 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > - \frac{\ln 6}{\ln 0,75} & \ln 0,75 < 0 \end{array}$
  Comme $- \frac{\ln 6}{\ln 0,75} \approx 6,2$ alors, l'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation $a_{n} < 0,6$ sont les entiers naturels $n ⩾ 7$ .
  À partir d'août 2016, la proportion des abonnés de moins de 12 ans qui empruntent un livre deviendra inférieure à 60 %.
4. À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'un jeune abonné choisisse d'emprunter un livre ?
  $0 < 0,75 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,75}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 0,24 \times {0,75}^{n} + 0,56 = 0,56$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,56$ .
  À partir d'un certain nombre de mois, d'un mois à l'autre, 56 % environ des abonnés de moins de 12 ans emprunteront un livre.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.

initialisation
	a prend la valeur 0,8 n prend la valeur 1
traitement
	Tant que $a ⩾ 0,6$ a prend la valeur $0,75 a + 0,14$ n prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que
sortie
	Afficher n