Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La directrice d'une association sportive décide de proposer à ses adhérents une randonnée pédestre, longue de 12 km, sur des sentiers de montagne.
Afin que les membres de son association puissent décider de participer ou non à cette randonnée en fonction de leur niveau et de leur condition physique, elle leur envoie le graphique ci-dessous avant de procéder aux inscriptions.

Dans un repère orthogonal, cette courbe représente la fonction f définie sur $[0; 12]$ donnant l'altitude du parcours en fonction du nombre de kilomètres effectués depuis le départ.
Ainsi x est la distance parcourue, en kilomètres, depuis le point de départ de la randonnée :
$x \in [0; 12]$ et $f (x)$ est l'altitude en mètres, à laquelle se situe le chemin de randonnée au bout de x km parcourus.

partie a

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

À quelle altitude se situent les randonneurs après avoir parcouru 2 kilomètres ?
Après avoir parcouru 2 kilomètres les randonneurs ont atteint une altitude de 580 m.
Dans la partie descendante de cette randonnée, l'organisatrice a prévu de faire une pause avec les participants, dans un refuge situé à 600 mètres d'altitude.
Quelle distance auront-ils alors parcourue depuis le départ ?
Les randonneurs atteignent le refuge après un parcours de 8,5 km.
À la fin du chemin de randonnée, les randonneurs seront-ils revenus à leur point de départ ? Justifier la réponse.
L'arrivée est à une altitude de 400 m alors que l'altitude du départ est de 300 m. Par conséquent, les randonneurs ne sont pas revenus à leur point de départ.

partie b

Dans toute cette partie, les réponses devront être justifiées.
Aucune lecture graphique ne sera considérée comme une justification valable.

Une modélisation du parcours proposé permet d'affirmer que la fonction f est définie sur $[0; 12]$ par : $f (x) = 150 x e^{- 0,02 x^{2}} + 300$ .

On note $f'$ la dérivée de la fonction f et on admet que : pour tout $x \in [0; 12]$ , $f' (x) = (150 - 6 x^{2}) e^{- 0,02 x^{2}}$ .
Déterminer le signe de $f' (x)$ et le tableau de variation de f sur $[0; 12]$ .

Comme pour tout réel x, on a $e^{- 0,02 x^{2}} > 0$ on en déduit que $f' (x)$ est du même signe que le polynôme du second degré $(150 - 6 x^{2})$ sur l'intervalle $[0; 12]$ .

Or pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} 150 - 6 x^{2} & = & - 6 (x^{2} - 25) \\ = & - 6 (x + 5) (x - 5) \end{array}$

Les racines du polynôme sont 5 et $- 5$ . Par conséquent, sur l'intervalle $[0; 12]$ , $f' (x) ⩽ 0 \Leftrightarrow x \in [5; 12]$ .

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de f :

x	0		5		12
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$	300		$\approx 755$		$\approx 401$

Quelle sera, au mètre près, l'altitude maximale atteinte par les randonneurs ?
Au bout de quelle distance parcourue depuis le départ ?
Le maximum de la fonction f est atteint pour $x = 5$ et $f (5) = 750 e^{- 0,5} + 300 \approx 755$
L'altitude maximale atteinte par les randonneurs est de 755 mètres au bout de 5 kilomètres.
L'un des participants de cette randonnée affirme: « Dans ce parcours, nous n'atteindrons qu'une seule fois une altitude de 350 m ».
Démontrer que cette affirmation est vraie, et donner une valeur approchée, arrondie au mètre près, de la distance qu'auront parcourue les randonneurs depuis le départ pour parvenir à cette altitude.
- Sur l'intervalle $[0; 5]$ , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f (0) < 350 < f (5)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $f (x) = 350$ admet une unique solution $α \in [0; 5]$ .
- Sur l'intervalle $[5; 12]$ , la fonction f est strictement décroissante et $g (12) > 401$ . Donc pour tout réel x appartenant à $[5; 12]$ , on a $f (x) > 350$ .
Ainsi, l'équation $f (x) = 350$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[0; 5]$ avec $α \approx 0,334$ . La distance parcourue par les randonneurs pour parvenir l'altitude de 350 m est de 334 m.
Soit F la fonction définie sur $[0; 12]$ par : $F (x) = 300 x - 3750 e^{- 0,02 x^{2}}$ .
Montrer que F est une primitive de f.
Dire que F est une primitive de la fonction f sur $[0; 12]$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ on a $F' (x) = f (x)$ .
La fonction F est dérivable comme somme de fonctions dérivables. $F = u + v$ d'où $F' = u' + v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ : ${\begin{array}{l} u (x) = 300 x & ; & u' (x) = 300 \\ v (x) = - 3750 e^{- 0,02 x^{2}} & ; & v' (x) = - 3750 \times (- 0,04 x) e^{- 0,02 x^{2}} \end{array}$
Soit pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ , $F' (x) = 300 + 150 x e^{- 0,02 x^{2}}$
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ on a $F' (x) = f (x)$ donc la fonction F définie sur l'intervalle $[0; 12]$ par $F (x) = 300 x - 3750 e^{- 0,02 x^{2}}$ est une primitive de f.
Quelle est la valeur de l'altitude moyenne de la phase d'ascension de cette randonnée ? (Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie au mètre près).
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[0; 5]$ est : $\begin{array}{rcl} \frac{1}{5 - 0} \times \int_{0}^{5} f (x) d x & = & \frac{1}{5} \times [F (5) - F (0)] \\ = & \frac{1}{5} \times [(1500 - 3750 e^{- 0,5}) - (- 3750)] \\ = & 1050 - 750 e^{- 0,5} \approx 595 \end{array}$
L'altitude moyenne de la phase d'ascension de cette randonnée est d'environ 595 m.

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