sujet : Polynésie 2016

corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

partie a

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

2. Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(K\cap A\right)=P_K\left(A\right)\times P\left(K\right)& \text{soit}& P\left(K\cap A\right)=\mathrm{0,76}\times \mathrm{0,42}=\mathrm{0,3192}\end{array}$$

   La probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée est égale à 0,3192.

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3. Montrer que $P\left(A\right)\approx \mathrm{0,735}$.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(A\right)=P\left(K\cap A\right)+P\left(L\cap A\right)+P\left(M\cap A\right)$$

   Avec $$\begin{array}{rclcrcl}P\left(L\cap A\right)& =& P_L\left(A\right)\times P\left(L\right)& \text{et}& P\left(M\cap A\right)& =& P_M\left(A\right)\times P\left(M\right)\\ & =& \mathrm{0,35}\times \mathrm{0,65}=\mathrm{0,2275}& & & =& \mathrm{0,23}\times \mathrm{0,82}=\mathrm{0,1886}\end{array}$$

   D'où $$P\left(A\right)=\mathrm{0,3192}+\mathrm{0,2275}+\mathrm{0,1886}=\mathrm{0,7353}$$

   Ainsi, la probabilité que la demande de prêt soit acceptée est $P\left(A\right)\approx \mathrm{0,735}$.

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4. La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque Miro.

   $$\begin{array}{rcl}{P}_A\left(M\right)& =& {\displaystyle \frac{P\left(M\cap A\right)}{P\left(A\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,1886}}{\mathrm{0,7353}}}\approx \mathrm{0,256}\end{array}$$

   La probabilité qu'une demande de prêt acceptée ait été déposée à la banque Miro est 0,256.

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partie b

Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $\mu =20$ et d'écart-type $\sigma =7$.

1. Calculer la probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans.

   D'après le cours ou à l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(13⩽X⩽27\right)\approx \mathrm{0,683}$.

   La probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans est 0,683 (arrondie au millième près).

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2. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près du nombre réel a tel que $P\left(X>a\right)=\mathrm{0,1}$.
   Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

   $$\begin{array}{rcl}P\left(X>a\right)=\mathrm{0,1}& \iff & 1-P\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,1}\\ & \iff & P\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,9}\end{array}$$

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,9}$ pour $a\approx \mathrm{28,97}$.

   Ainsi, $P\left(X>a\right)=\mathrm{0,1}$ pour $a\approx \mathrm{28,97}$. 10 % des prêts immobiliers ont une durée supérieure à 29 ans.

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