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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2016 \\ Série ES-L}}} %droit
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\lfoot{Polynésie 2016}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

On s'intéresse à l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes banques.

Une étude montre que 42\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Karl, 35\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette proportion est de 23\,\% pour la banque Miro.

Par ailleurs :

\begin{itemize}
\item 76\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont acceptées ;
\item 65\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont acceptées ;
\item 82\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont acceptées.
\end{itemize}

On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois banques.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $K$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl \fg{} ;
\item $L$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa \fg{} ;
\item $M$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro \fg{} ;
\item $A$ : \og la demande de prêt est acceptée \fg.
\end{itemize}


On rappelle que pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité et on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire.

\emph{Dans tout l'exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième des résultats.}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée.
\item Montrer que $P(A) \approx 0,735$.
\item La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque Miro.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans.
\item Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près du nombre réel $a$ tel que $P(X > a) = 0,1$.

Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 7 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2010 &2011 &2012\\ \hline
Nombre d'écrans 3D vendus& 0&\np{5000} &\np{11000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année $(2010 + n)$ est modélisé par une suite $\left(u_n\right)$, arithmético-géométrique, de premier terme $u_0 = 0$.

On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel $n$, une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = a \times u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En supposant que $u_1 = \np{5000}$, déterminer la valeur de $b$.
		\item En supposant de plus que $u_2 = \np{11000}$, montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,2 \times u_n + \np{5000}$.
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_3$ et $u_4$.
		\item En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement \np{18000} et \np{27000} écrans 3D.
		
La modélisation semble-t-elle pertinente ?		
	\end{enumerate}
	
\textbf{Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre
d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.}
		
\smallskip
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n + \np{25000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
		
Préciser la valeur de son premier terme $v_0$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{25000} \times 1,2^n - \np{25000}$.
	\end{enumerate}
\item On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D dépassera \np{180000} unités.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que résoudre l'inéquation $u_n > \np{180000}$ revient à résoudre l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit entier naturel $n$, solution de l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline		
\textsf{Variables :}		& $N$ est un entier naturel\\
							&$W$ est un nombre réel\\
\textsf{Initialisation :}	&$N$ prend la valeur 0\\
							&$W$ prend la valeur \ldots\\
\textsf{Traitement :}		&Tant que \ldots\\
							&\hspace{0,5cm} \begin{tabular}{|l}
							$W$ prend la valeur $W \times 1,2$\\
							\ldots
							\end{tabular}\\
							&Fin du Tant que\\
\textsf{Sortie :}			&Afficher \ldots\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Déterminer cet entier naturel $n$.
\item À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15\,\% par an du nombre de ses ventes d'écrans 3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\emph{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

On rappelle que $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.


\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = x \ln x - x + 1$.

\textsf{\textsc{affirmation A :}} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0 ; 1[$.

\textsf{\textsc{affirmation B :}} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

\textsf{\textsc{affirmation C :}} Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; + \infty[$, $f(x) \leqslant 50$.
\item On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$.

On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on rappelle que $g'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.

On a tracé en pointillé la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point $A$ de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 1pt,linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](\n,-1)(\n,8)}
\multido{\n=-1+1}{10}{\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 1pt,linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](-2,\n)(3,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1)(3,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-1.08,8)(-.9,2.5)(-.6,1.8)(0,2.7)(.3,3.15)(.45,3.1)(1,2)(1.5,1)(1.5,1.7)(3,2.9)
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{-1.5}{2.5}{4 x 2 mul  sub}
\psdots[linecolor=bleu](1,2)\uput[ur](1,2){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[u](2.8,2.8){\bleu $\mathcal{C}_g$}
\uput[ur](2.5,-1){\prune\footnotesize{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{affirmation D :}} $g'(1) = -2$.

\textsf{\textsc{affirmation E :}} $\displaystyle\int_0^1 g(x) \dd x < 3$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.} 

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\emph{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne le graphe probabiliste suivant :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-1)(4.5,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu,arrowsize=2pt 3}
\def \boucle#1#2{\psbezier{->}(.2,.2)(1,1.2)(-1,1.2)(-.2,.2)\rput{#1}(0,1.2){\footnotesize{\textsf{\prune{#2}}}}}
\newcommand{\Sg}[1]{\small{\textsf{\bleu{#1}}}}% Mise en forme sommets
\cnodeput(-3,0){S1}{\Sg{A}}\cnodeput(3,0){S2}{\Sg{B}}
\rput{90}(-3,0){\boucle{-90}{0,4\hspace{1em}}}\rput{-90}(3,0){\boucle{90}{\hspace{1em}0,7}}
\psset{arcangle=20}
\ncarc{->}{S1}{S2}\naput{\footnotesize{\textsf{\prune{0,6}}}}
\ncarc{->}{S2}{S1}\naput{\footnotesize{\textsf{\prune{0,3}}}}
\end{pspicture}
\end{center}


\textsf{\textsc{affirmation A :}} L'état stable associé à ce graphe est $\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.

\item On donne le graphe pondéré $G$ suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.25,-.5)(4.25,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,dotstyle=Bo,dotsize=5pt}
\dotnode(0,1){A} \dotnode(1,2){B}  \dotnode(3,2){C} \dotnode(4,1){D} \dotnode(3,0){E} \dotnode(1,0){F} 
\textsf{
\ncline{E}{B}\ncput*[npos=.25]{\footnotesize{\prune{2}}} \ncline{B}{F}\ncput*{\footnotesize{\prune{2}}}\ncline{F}{A}\ncput*{\footnotesize{\prune{1}}}\ncline{A}{B}\ncput*{\footnotesize{\prune{2}}}\ncline{B}{C}\ncput*{\footnotesize{\prune{3}}} \ncline{C}{F}\ncput*[npos=.75]{\footnotesize{\prune{4}}}\ncline{F}{E}\ncput*{\footnotesize{\prune{4}}} \ncline{E}{D}\ncput*{\footnotesize{\prune{1}}}\ncline{D}{C}\ncput*{\footnotesize{\prune{1}}}\uput[l](0,1){\small {\bleu {A}}} \uput[u](1,2){\small {\bleu {B}}}  \uput[u](3,2){\small {\bleu {C}}} \uput[r](4,1){\small {\bleu {D}}} \uput[d](3,0){\small {\bleu {E}}}  \uput[d](1,0){\small {\bleu {F}}} }
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{affirmation B :}} Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe.

\textsf{\textsc{affirmation C :}} La plus courte chaîne entre les sommets $A$ et $D$ est une chaîne de poids 5.

\item On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

On suppose que $M$ est la matrice d'adjacence d'un graphe à quatre sommets $A, B, C, D$ dans cet ordre.

\textsf{\textsc{affirmation D :}} Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommet $B$ au sommet $D$.

\item On considère les matrices $A = \begin{pmatrix} a & 0\\0 & a \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} - 1 & 0\\0 & a\end{pmatrix}$.

\textsf{\textsc{affirmation E :}} Il existe un nombre réel $a$ pour lequel $B$ est l'inverse de $A$.
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par :\[f(x) = 4\e^{-0,4x}.\]

Cette courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.5)(12,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{4*EXP(-.4*x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(11,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[ul](12,0){\footnotesize{$x$ (en mètres)}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$ (en mètres)}}
\psframe[linecolor=prune, linewidth=1pt,fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.5pt](1.5,2.195)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-1.5,4)(0,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[u](6,0.4){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\footnotesize{
\uput[ul](0,0){\bleu $A$}\uput[ul](0,2.2){\bleu $D$}\uput[ur](1.5,2.2){\bleu $C$}\uput[ur](1.5,0){\bleu $B$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle $ABCD$ représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point $A$ est situé à l'origine du repère, le point $B$ est sur l'axe des abscisses, le point $D$ est sur l'axe des ordonnées et le point $C$ est sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$.


\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le point $B$ a pour abscisse $x = 2$.

Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est $3,6\,\mathrm{m}^2$.
\item Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ?

On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près.
\end{enumerate}
        
\end{document}