Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Nord 2017

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Soit f la fonction définie sur 0+ par fx=xlnx-x. On note f sa fonction dérivée. On a alors :

    a. fx=0

    b. fx=lnx

    c. fx=1x-1

    d. fx=1x-x

  2. Les entiers naturels n vérifiant l'inéquation 6×0,95n-12 appartiennent à l'intervalle :

    a. -ln3ln5,7

    b. -ln0,50,95

    c. -ln0,5ln0,95

    d. ln0,5ln0,95+

  3. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur 2 m.
    Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre 1,98 m et 2,02 m.
    On prélève au hasard un échantillon de 1000 tubes, on observe que 954 tubes sont dans la norme.
    L'intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95 %, avec les bornes arrondies à 10- 3, est :

    a. 0,9220,986

    b. 0,9470,961

    c. 1,982,02

    d. 0,9530,955

  4. Pour un archer, la probabilité d'atteindre la cible est de 0,8. Les tirs sont supposés indépendants.
    Quelle est la probabilité qu'il touche 3 fois la cible sur une série de 6 tirs ?

    a. 0,512

    b. 2,4

    c. 0,262144

    d. 0,08192


exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septembre 2016.
Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants.

Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2016+n on a donc u0=27 500.

    1. Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017.

    2. Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un+1=1,04un-156.

  2. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.

    L1Variables :n est un nombre entier naturel
    L2U est un nombre réel
    L3Traitement :n prend la valeur 0
    L4U prend la valeur 27 500
    L5Tant que U faire
    L6n prend la valeur …
    L7U prend la valeur …
    L8Fin Tant que
    L9Sortie :Afficher …
    1. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
      Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de U à l'unité.

      InitialisationÉtape 1
      Valeur de n 0
      Valeur de U 27 500
    2. Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme.

  3. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.
    Pour cela, on note vn la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn=un-3 900.

    1. Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=23600×1,04n+3900.

    3. Déterminer la limite de la suite un et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

D'après l'AFDIAG (Association Française Des Intolérants au Gluten), la maladie cœliaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ 1 % de la population.
On estime que seulement 20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.
On considère que si une personne n'est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ 66,6 millions d'habitants au 1er janvier 2016.

On considère les évènements :

partie a

  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.

  3. Montrer que pT=0,002.

partie b

L'AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.
On note X la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l'apparition des premiers symptômes.
On admet que la loi de X peut être assimilée à la loi normale d'espérance μ=11 et d'écart-type σ=4.

  1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à 10-3.

  2. Calculer pX6. Arrondir le résultat à 10-3.

  3. Sachant que pXa=0,84, donner la valeur de a arrondie à l'unité.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

  4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d'espérance μ=11 et d'écart-type σ=4 ? Justifier le choix. On pourra s'aider des réponses aux questions précédentes.

    Loi normale courbes : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu'elle a sélectionnés.
Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes :

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
B : Le lagon bleu.H : Rocher Hvítserkur.M : Lac de Mývatn.
D : Chute d'eau de Dettifoss. J : Lagune glacière de Jökulsárlón.R : Capitale Reykjavik.
G : Geyser de Geysir.L : Massif du Landmannalaugar.V : Ville de Vík.
  1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.

    1. Déterminer l'ordre du graphe.

    2. Déterminer si le graphe est connexe.

    3. Déterminer si le graphe est complet.

  2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.

  3. On appelle M la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l'ordre alphabétique. On donne ci-dessous une partie de la matrice M ainsi que la matrice M4 : M=000000011000000100000001011000000110100000110001010101111001100000011100M4=1231681413152103556911631216524112321265208611101314931486111013149314149231328292983013112114293832154015626929324314342353815141521101220143040342149

    1. Il manque certains coefficients de la matrice M. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.

    2. Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 permettant d'aller de B à D.

  4. Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilomètre entre les différents lieux :

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Déterminer à l'aide de l'algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d'aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d'eau de Dettifoss).
    Préciser alors le trajet à emprunter.


EXERCICE 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'intervalle 0,76 ; on suppose que f est dérivable.

partie a : Étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A34 et A40. Déterminer f3.

  2. D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f sur l'intervalle 0,76.

partie b : Étude théorique

On admet que la fonction f est définie par fx=x2-2x+1e-2x+6.

  1. Montrer que fx=-2x2+6x-4e-2x+6, où f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

  2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle 0,76 et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle 0,76.
    On ne demande pas de calculer les ordonnées.

  3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

     L1 fx:=-2x˄2+6x-4*e˄-2x+6
    fx=-2x2+6x-4e-2x+6
     L2 gx:= Dérivée fx
    gx=-16xe-2x+6+4x2e-2x+6+14e-2x+6
     L3 Factoriser gx
    2e-2x+62x2-8x+7
     L4 Résoudre gx=0
    x=-2+42x=2+42
     L5 Fx:= Primitive fx
    Fx=14-2x2+2x-1e-2x+6
    1. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave.

    2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse.

    3. On pose I=35fxdx. Calculer la valeur exacte de I puis la valeur arrondie à 10-1.



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