Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2017

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Mathieu dispose d'un capital de 20 000 euros qu'il veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux contrats d'épargne.

Contrat A : Le capital augmente chaque année de 4 %.
Contrat B : Le capital augmente chaque année de 2,5 % et une prime annuelle fixe de 330 euros est versée à la fin de chaque année et s'ajoute au capital.

On note $a_{n}$ le capital, en euro, acquis au bout de n années si Mathieu choisit le contrat A. $b_{n}$ le capital, en euro, acquis au bout de n années si Mathieu choisit le contrat B.

On a donc $a_{0} = b_{0} = 20 000$ et, pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} a_{n + 1} = 1,04 a_{n} & et & b_{n + 1} = 1,025 b_{n} + 330 \end{matrix}$

Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat A.
1. Calculer la valeur, arrondie à l'euro, du capital disponible au bout de 10 ans.
  La suite $(a_{n})$ définie par $a_{0} = 20 000$ et, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 1,04 a_{n}$ est une géométrique de raison 1,04 et de premier terme 20 000.
  Donc pour tout entier naturel n, $a_{n} = 20000 \times {1,04}^{n}$ . D'où $a_{10} = 20000 \times {1,04}^{10} \approx 29605$
  Au bout de 10 ans le capital disponible est de 29 605 euros.
2. Déterminer le pourcentage d'augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de 10 ans. Arrondir le résultat à 1 %.
  ${1,04}^{10} \approx 1,48$
  Au bout de 10 ans, le capital obtenu a augmenté d'environ 48 %.
Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat B.
On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = 13200 + b_{n}$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison 1,025 et calculer son premier terme $u_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} & = & 13200 + b_{n + 1} \\ = & 13200 + 1,025 b_{n} + 330 \\ = & 13530 + 1,025 b_{n} \\ = & 1,025 \times (13200 + b_{n}) \\ = & 1,025 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 1,025 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,025 dont le premier terme $u_{0} = 13200 + 20000 = 33200$ .
2. Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de n.
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme $u_{0} = 33200$ donc :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 33200 \times {1,025}^{n}$ .
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $b_{n} = 33200 \times {1,025}^{n} - 13200$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = 13200 + b_{n} \Leftrightarrow b_{n} = u_{n} - 13200$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $b_{n} = 33200 \times {1,025}^{n} - 13200$ .
4. Déterminer au bout de combien d'années le capital disponible devient supérieur à 40 000 euros.
  Le capital disponible devient supérieur à 40 000 euros au bout d'un nombre d'années n, plus petit entier solution de l'inéquation $b_{n} > 40000$ . Soit : $\begin{array}{rcll} 33200 \times {1,025}^{n} - 13200 > 40000 & \Leftrightarrow & 33200 \times {1,025}^{n} > 53200 \\ \Leftrightarrow & {1,025}^{n} > \frac{532}{332} \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,025}^{n}) > \ln \frac{133}{83} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,025 > \ln \frac{133}{83} & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln \frac{133}{83}}{\ln 1,025} \end{array}$
  Comme $\frac{\ln \frac{133}{83}}{\ln 1,025} \approx 19,1$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $b_{n} > 40000$ est $n = 20$ .
  Le capital disponible devient supérieur à 40 000 euros au bout de 20 ans.
On considère l'algorithme suivant :
$A \leftarrow 20 000$
$B \leftarrow 20 000$
$N \leftarrow 0$
Tant que $A ⩽ B$
$A \leftarrow 1,04 \times A$
$B \leftarrow 1,025 \times B + 330$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
1. Le tableau ci-dessous traduit l'exécution pas à pas de l'algorithme.
  Recopier et compléter ce tableau en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de A et de B seront arrondies à l'unité.
  Valeur de A 20000 20800 21632 22497 23397 24333 25306
  Valeur de B 20000 20830 21681 22553 23447 24363 25302
  Valeur de B 0 1 2 3 4 5 6
  Condition $A ⩽ B$ vraie vraie vraie vraie vraie vraie FAUSSE
2. Donner la valeur de N calculée par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
  $N = 6$ . Le contrat A est plus avantageux pour un placement d'une durée supérieure ou égale à six ans.

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Valeur de A	20000	20800	21632	22497	23397	24333	25306
Valeur de B	20000	20830	21681	22553	23447	24363	25302
Valeur de B	0	1	2	3	4	5	6
Condition $A ⩽ B$	vraie	vraie	vraie	vraie	vraie	vraie	FAUSSE