Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos. La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20 % des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter 30 vélos par an.
Le 1er janvier 2017, le parc contient 200 vélos utilisables.
On modélise l'évolution du nombre de vélos utilisables par une suite dans laquelle, pour tout entier naturel n, est le nombre de vélos le 1er janvier de l'année .
Ainsi et, pour tout entier naturel n, .
Justifier le coefficient 0,8 dans l'expression de en fonction de .
Chaque année, 20 % des vélos sont devenus inutilisables donc 80 % des vélos de l'année précédente sont utilisables.
Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1er janvier 2018 ?
Au 1er janvier 2018 il y aura 190 vélos dans le parc.
On définit la suite par pour tout entier naturel n.
Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
Pour tout entier n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 0,8 dont le premier terme .
Pour tout entier naturel n, exprimer en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, on a .
En déduire que pour tout entier naturel n, .
Comme pour tout entier naturel n, on en déduit que :
pour tout entier naturel n, .
La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à 160. En quelle année le service de location s'arrêtera-t-il ?
On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :
Comme alors le plus petit entier n solution de l'inéquation est .
Selon ce modèle, le service de location s'arrêtera en 2025.
Pour l'aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu'elle est versée pour chaque année le 1er janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
Cette subvention s'élève à 20 euros par vélo disponible à la location.
Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à 7800 euros.
Le nombre de vélos disponibles à la location pendant les deux premières années est
Le montant des subventions est
Ainsi, la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à 7800 euros.
Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025.
Selon la méthode utilisée, les résultats peuvent être légèrement différents.
méthode 1 :
On détermine le nombre de vélos disponibles en utilisant la somme de termes d'une suite géométrique.
Le nombre de vélos disponibles du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025 :
Soit une somme totale perçue de
La somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025 est d'environ 31320 euros.
méthode 2 :
On calcule le nombre de vélos disponibles chaque année en arrondissant les valeurs obtenues à l'entier.
Année | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 | 2025 | TOTAL |
Nombre de vélos | 200 | 190 | 182 | 176 | 170 | 166 | 163 | 160 | 158 | 1565 |
Soit une somme totale perçue de
La somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025 est d'environ 31300 euros.
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