Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos. La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20 % des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter 30 vélos par an.
Le 1er janvier 2017, le parc contient 200 vélos utilisables.
On modélise l'évolution du nombre de vélos utilisables par une suite (un) dans laquelle, pour tout entier naturel n, un est le nombre de vélos le 1er janvier de l'année 2017+n.
Ainsi u0=200 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,8×un+30.

    1. Justifier le coefficient 0,8 dans l'expression de un+1 en fonction de un.

      Chaque année, 20 % des vélos sont devenus inutilisables donc 80 % des vélos de l'année précédente sont utilisables.


    2. Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1er janvier 2018 ?

      u1=0,8×200+30=190

      Au 1er janvier 2018 il y aura 190 vélos dans le parc.


  1. On définit la suite (vn) par vn=un-150 pour tout entier naturel n.

    1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v0.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-150=0,8un+30-150=0,8un-120=0,8×(un-150)=0,8vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,8vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 dont le premier terme v0=200-150=50.


    2. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v0=50 donc pour tout entier naturel n, on a vn=50×0,8n.


    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=50×0,8n+150.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-150un=vn+150 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=50×0,8n+150.


    4. La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à 160. En quelle année le service de location s'arrêtera-t-il ?

      On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :50×0,8n+150<16050×0,8n<100,8n<0,2ln(0,8n)<ln0,2 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,8<ln0,2Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln0,2ln0,8ln0,8<0

      Comme ln0,2ln0,87,2 alors le plus petit entier n solution de l'inéquation 50×0,8n+150<160 est n=8.

      Selon ce modèle, le service de location s'arrêtera en 2025.


  2. Pour l'aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu'elle est versée pour chaque année le 1er janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
    Cette subvention s'élève à 20 euros par vélo disponible à la location.

    1. Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à 7800 euros.

      Le nombre de vélos disponibles à la location pendant les deux premières années est u0+u1=200+190=390

      Le montant des subventions est 20×390=7800

      Ainsi, la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à 7800 euros.


    2. Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025.

      Selon la méthode utilisée, les résultats peuvent être légèrement différents.

      • méthode 1 :

        On détermine le nombre de vélos disponibles en utilisant la somme de termes d'une suite géométrique.

        Le nombre de vélos disponibles du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025 :N=u0+u1++u8=v0+150+v1+150++v8+150=(v0+v1++v8)termes d'une suite géométrique+9×150=50×1-0,891-0,8+9×1501566

        Soit une somme totale perçue de S=20×1566=31320

        La somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025 est d'environ 31320 euros.


      • méthode 2 :

        On calcule le nombre de vélos disponibles chaque année en arrondissant les valeurs obtenues à l'entier.

        Année201720182019202020212022202320242025TOTAL
        Nombre de vélos2001901821761701661631601581565

        Soit une somme totale perçue de S=20×1565=31300

        La somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025 est d'environ 31300 euros.



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