Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.
Source : CREDOC, Enquêtes sur les « Conditions de vie et les aspirations », juin 2016.
On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.
On note D l'évènement « la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile ».
On note M l'évènement« la personne dispose d'une connexion internet en mobilité ».
On rappelle que si E et F sont deux évènements, désigne la probabilité de l'évènement E et désigne la probabilité de l'évènement E sachant que l'évènement F est réalisé. On note l'évènement contraire de E.
Traduisons les données du graphique à l'aide d'un tableau à double entrée :
D | |||
M | 0,57 | 0,03 | 0,60 |
0,28 | 0,12 | 0,40 | |
0,85 | 0,15 | 1 |
Donner sans justification , puis justifier que .
. Les évènements D et M sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile est égale à 0,85.
Calculer la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité.
La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité est égale à 0,95.
Calculer la probabilité de l'évènement « la personne dispose d'une connexion internet ».
L'évènement « la personne dispose d'une connexion internet » est l'évènement contraire de l'évènement « la personne n'a pas de connexion internet ». D'où
La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet est égale à 0,88.
Calculer .
La probabilité que la personne ne dispose pas d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle ne dispose pas d'une connexion internet en mobilité est égale à 0,3.
On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.
Soit X la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.
Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
La population française est suffisamment importante pour assimiler cette situation à un tirage avec remise donc X suit la loi binomiale de paramètres et .
Déterminer . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
À l'aide de la calculatrice, on a :
La probabilité que dans un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française il y a moins de 76 personnes ayant une connexion internet fixe au domicile est d'environ 0,006.
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100.
On a , et .
Les conditions , et d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :
Soit avec des valeurs approchées à près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100 est .
Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d'un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les 100 habitants de plus de 12 ans de ce village, 76 d'entre eux disposent d'une connexion internet fixe au domicile.
Que peut-on penser de l'équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?
La fréquence f des personnes qui disposent d'une connexion internet fixe au domicile dans l'échantillon est
La fréquence f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. On peut considérer, au risque de 5 %, que ce village est sous équipé en connexion internet fixe au domicile par rapport à l'ensemble de la population.
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