Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2017

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.

Camembert : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Source : CREDOC, Enquêtes sur les « Conditions de vie et les aspirations », juin 2016.

On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.
On note D l'évènement « la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile ».
On note M l'évènement« la personne dispose d'une connexion internet en mobilité ».

On rappelle que si E et F sont deux évènements, p(E) désigne la probabilité de l'évènement E et pF(E) désigne la probabilité de l'évènement E sachant que l'évènement F est réalisé. On note E¯ l'évènement contraire de E.

partie a

Traduisons les données du graphique à l'aide d'un tableau à double entrée :

DD¯
M0,570,030,60
M¯0,280,120,40
0,850,151
  1. Donner sans justification p(DM), puis justifier que p(D)=0,85.

    p(DM)=0,57. Les évènements D et M sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(D)=p(DM)+p(DM¯)soitp(D)=0,57+0,28=0,85

    La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile est égale à 0,85.


  2. Calculer la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité.

    p(M)=p(MD)+p(MD¯)soitp(M)=0,57+0,03=0,60

    pM(D)=p(DM)p(M)SoitpM(D)=0,570,60=0,95

    La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité est égale à 0,95.


  3. Calculer la probabilité de l'évènement « la personne dispose d'une connexion internet ».

    L'évènement « la personne dispose d'une connexion internet » est l'évènement contraire de l'évènement « la personne n'a pas de connexion internet ». D'où p(DM)=1-0,12=0,88

    La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet est égale à 0,88.


  4. Calculer pM¯(D¯).

    pM¯(D¯)=p(D¯M¯)p(M¯)SoitpM¯(D¯)=0,121-0,60=0,3

    La probabilité que la personne ne dispose pas d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle ne dispose pas d'une connexion internet en mobilité est égale à 0,3.


partie b

On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.
Soit X la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.

  1. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

    La population française est suffisamment importante pour assimiler cette situation à un tirage avec remise donc X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,85.


  2. Déterminer P(X75). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    À l'aide de la calculatrice, on a : P(X75)0,006

    La probabilité que dans un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française il y a moins de 76 personnes ayant une connexion internet fixe au domicile est d'environ 0,006.


partie c

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100.

    On a n=100, n×p=100×0,85=85 et n×(1-p)=100×0,15=15.
    Les conditions n30, np>5 et n×(1-p)>5 d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : I=[0,85-1,96×0,85×0,15100;0,85+1,96×0,85×0,15100]

    Soit avec des valeurs approchées à 10-3 près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100 est I=[0,780;0,920].


  2. Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d'un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les 100 habitants de plus de 12 ans de ce village, 76 d'entre eux disposent d'une connexion internet fixe au domicile.
    Que peut-on penser de l'équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?

    La fréquence f des personnes qui disposent d'une connexion internet fixe au domicile dans l'échantillon est f=761000,76

    La fréquence f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. On peut considérer, au risque de 5 %, que ce village est sous équipé en connexion internet fixe au domicile par rapport à l'ensemble de la population.



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