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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2017 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Asie}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Asie 2017}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$  par : $f(x) = 1 + \ln (x)$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 1.}}

On note $F$ la primitive sur $]0 ; +\infty[$ de la fonction $f$ qui vérifie $F(1) = 0$.

Pour tout réel $x$ strictement positif, $F(x) = x\ln (x)$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 2.}}

La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 3.}}

L'équation $f(x) = 2$ possède exactement une solution dans l'intervalle $[1 ; 10]$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 4.}}

Il existe au moins un point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe $\mathcal{C}$.


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.3)
\newrgbcolor{c1}{0.756 0.764 .576}
\newrgbcolor{c2}{0.656 0.704 .54}
\newrgbcolor{c3}{0.84 0.86 .84}
\newrgbcolor{c4}{0.645 0.51 .51}
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=darkgray,armA=.1,armB=0,angleA=180,angleB=0}
\pnode(0,0){a}
\rput[l](1.2,.2){\pnode{b}{\psframebox{\parbox{1.6cm}{\centering \tiny{ connexion internet fixe au domicile seulement : 28 \%}}}}}
\rput[l](.5,1.1){\pnode{c}{\psframebox{\parbox{1.6cm}{\centering \tiny{pas de connexion internet : 12 \%}}}}}
\rput[r](-1.2,-.2){\pnode(.74,0){d}{\psframebox{\parbox{1.6cm}{\centering \tiny{connexion internet fixe au domicile et en mobilité : 57 \%}}}}}
\rput[l](.8,-1){\pnode{e}{\psframebox{\parbox{1.6cm}{\centering \tiny{connexion internet en mobilité seulement: 3 \%}}}}}
\ncdiag{b}{a}\ncdiag{c}{a}\ncdiag[angleA=0]{d}{a}\ncdiag{e}{a}
\psset{linecolor=white,linewidth=1.25pt}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c1]{1}{-50.4}{50.4}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c2]{1}{50.4}{93.6}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c3]{1}{93.6}{298.8}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c4]{1}{298.8}{309.6}
\uput[l](2,-1.4){\scriptsize{\emph{Source : CREDOC, Enquêtes sur les \og Conditions de vie et les aspirations \fg, juin 2016.}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.

On note $D$ l'évènement \og la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile \fg.

On note $M$ l'évènement\og la personne dispose d'une connexion internet en mobilité \fg.

\medskip

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $p(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé. On note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner sans justification $p(D \cap M)$, puis justifier que $p(D) = 0,85$.
\item Calculer la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité.
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og la personne dispose d'une connexion internet \fg.
\item Calculer $p_{\overline{M}}\left(\overline{D}\right)$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.


\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
\item Déterminer $P(X \leqslant 75)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100.
\item Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d'un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les 100 habitants de plus de 12 ans de ce village, 76 d'entre eux disposent d'une connexion internet fixe au domicile.

Que peut-on penser de l'équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; 2]$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le point $A$ de coordonnées $(0 ; 3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.

$B$ est le point d'abscisse 1 appartenant à la courbe $\mathcal{C}_f$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(3,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\f{(-x^2+2.5*x-2)*EXP(x)+5}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=15](0,0)(-7,-3)(3,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-3)(3,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-3}{2}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-7,3.6409)(3,3.6409)\uput[u](-5.5,3.6409){\prune $\Delta'$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-7,-.5)(3,4.5)\uput[u](-5.5,.25){\prune $\Delta'$}
\psdots[linecolor=bleu](0,3)(1,3.64)\uput[ur](0,3.1){\bleu{\footnotesize  $A$}}\uput[u](1,3.64){\bleu{\footnotesize  $B$}}
\uput[dl](1.7,1.7){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

On dispose des informations suivantes :


\begin{itemize}
\item la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-3 ; -0,5]$ et $[1 ; 2]$ et elle est strictement croissante sur $[-0,5 ; 1]$ ;
\item la droite $\Delta$ d'équation $y = 0,5x + 3$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ ;
\item la tangente $\Delta'$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}


Chaque réponse devra être justifiée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'(1)$.
\item Quel est le signe de $f'(- 2)$ ?
\item Donner la valeur de $f'(0)$.
\item Le point $A$ est-il un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\item Déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de $\displaystyle\int_0^1 f(x) \dd x$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

On admet qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ pour lesquels la fonction $f$ représentée dans la partie A est définie, pour tout réel $x$ de $[-3; 2]$, par :\[f(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\e^x + 5.\]

\begin{enumerate}
\item En utilisant l'un des points du graphique, justifier que $c = - 2$.
\item On admet que la fonction dérivée $f'$ est donnée, pour tout réel $x$ de $[-3 ; 2]$, par : \[f'(x) = \left(ax^2 + (2a + b)x - 2 + b\right)\e^x.\]

En utilisant les résultats de la partie A, justifier que $b = 2,5$ puis que $a = - 1$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}
\end{center}

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[-3 ; 2]$ par $f(x) = \left(- x^2 + 2,5x - 2\right)\e^x + 5$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3 ; 2]$, $f'(x) = \left(-x^2 + 0,5x + 0,5\right)\e^x$.

\item  Étudier le signe de $f'$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-3 ; 2]$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1 ; 2]$.
		\item Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Pour l'année scolaire, un professeur de mathématiques propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement : \og Approfondissement\fg{} ou \og Ouverture culturelle \fg .

Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20\,\% des élèves de la classe ont choisi \og Approfondissement\fg{} et tous les autres ont choisi \og Ouverture culturelle \fg{}, On admet que


\begin{itemize}
\item 20\,\% des élèves ayant choisi \og Ouverture culturelle\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Approfondissement\fg{} la semaine suivante ;
\item 30\,\% des élèves ayant choisi \og Approfondissement\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Ouverture culturelle\fg{} la semaine suivante.
\end{itemize}



On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines. Chaque semaine, on interroge au hasard un élève de la classe.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $A_n$ l'évènement \og l'élève a choisi \og Approfondissement\fg{} la $n$-ième semaine \fg{} et $p_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$. On a alors $p_1 = 0,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$A_n$}~}\naput{\bleu $p_n$}}
		{
\TR{~\bleu{$A_{n+1}$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{A_{n+1}}$}}\nbput{\prune \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{A_n}$}~}\nbput{\bleu $1-p_n$}}
		{
\TR{~\bleu{$A_{n+1}$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{A_{n+1}}$}}\nbput{\prune \ldots}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,2$.
\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = p_n - 0,4$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de son premier terme $u_1$.
		\item En déduire pour tout entier naturel $n$ l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis l'expression de $p_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme suivant où $N$ est un entier :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|X|}\hline
%\textsf{\textsc{Variables}} & $I$ et $N$ sont des entiers naturels strictement supérieurs à 1\\
%&$P$ est un nombre réel\\ \hline
%\textsf{\textsc{Entrée}} &Saisir $N$\\ \hline
%\textsf{\textsc{Initialisation}}& $P$ prend la valeur 0,2\\ \hline
%\textsf{\textsc{Traitement}} &Pour $I$ allant de 2 à $N$ :\\
%&\hspace{1em} $P$ prend la valeur $0,5P + 0,2$\\
%&Fin Pour\\ \hline
%\textsf{\textsc{Sortie}}& Afficher $P$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $N = 5$.
%		\item Modifier l'algorithme afin qu'il affiche le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi \og Approfondissement \fg{} dépasse 39,9.	
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$P\leftarrow 0,2$

Pour $I$ allant de 2 à $N$

\hspace{2em} $P\leftarrow 0,5P + 0,2$

Fin Pour	

\end{minipage}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de la variable $P$ à la fin de l'exécution de cet algorithme lorsque $N = 5$.
		\item Modifier l'algorithme afin qu'il calcule le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi \og Approfondissement \fg{} dépasse 39,9.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{3}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Pour l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement: \og Approfondissement\fg{} ou \og Ouverture culturelle \fg .

Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20\,\% des élèves de la classe ont choisi \og Approfondissement\fg{} et tous les autres ont choisi \og Ouverture culturelle \fg . On admet que, chaque semaine,


\begin{itemize}
\item 20\,\% des élèves ayant choisi \og Ouverture culturelle\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Approfondissement\fg{} la semaine suivante ;
\item 30\,\% des élèves ayant choisi \og Approfondissement \fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Ouverture culturelle \fg{} la semaine suivante.
\end{itemize}


On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines.

On interroge au hasard un élève de la classe et on suit son choix d'option au fil des semaines.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $A$ l'état \og L'élève a choisi Approfondissement\fg{} et $B$ l'état \og L'élève a choisi Ouverture culturelle \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
		\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate}
\item On note $P_1$ la matrice traduisant l'état probabiliste de la première semaine. Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}0,2& 0,8\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M^2$ puis déterminer la probabilité que l'élève ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la troisième semaine.
		\item  À long terme, quelle est la probabilité qu'un élève choisisse \og Approfondissement\fg{} ?
 	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel non nul $n$ on note:
	

\begin{itemize}
\item  $a_n$ la probabilité que l'élève interrogé ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la $n$-ième semaine,
\item  $b_n$ la probabilité que l'élève interrogé ait choisi \og Ouverture culturelle\fg{} lors de la $n$-ième semaine.
\end{itemize}


Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :  $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,2$.

\item On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $a_n = 0,4 - 0,4 \times  0,5^n$.

Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation suivante :\[0,4 - 0,4 \times 0,5^n > 0,399.\]

\item
	\begin{enumerate}
%\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n > 0,399$.
%		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|X|}\hline		
%\textsf{\textsc{Variables}} &$N$ est un entier naturel\\
%&$A$ est un nombre réel\\ \hline
%\textsf{\textsc{Initialisation}}& Affecter à $N$ la valeur 1\\
%&Affecter à $A$ la valeur 0,2\\ \hline
%\textsf{\textsc{Traitement}} &\ldots\ldots\\	
%&\hspace{2em}\vrule\quad\begin{minipage}{\textwidth}
%Affecter à $A$ la valeur $0,5 \times  A + 0,2$
%
%\ldots\ldots
%\end{minipage} \\
%&\ldots \ldots\\ \hline
%\textsf{\textsc{Sortie}}& Afficher $N$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.	
	
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n > 0,399$.

\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$N\leftarrow 1$

$A\leftarrow 0,2$

\dotfill

\smallskip

\hspace{2em}{\begin{tabular}{|l}
$A\leftarrow 0,5 \times  A + 0,2$\\
\ldots\ldots\\
\end{tabular}
}

\smallskip

\dotfill
	
\end{minipage}
}
\end{center}

\item Quelle est la valeur de la variable $N$ à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
        
\end{document}