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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2017 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Centres Étrangers}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Centres Étrangers 2017}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}

\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. }

\emph{Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} 

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[1 ; 9]$, alors : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $p(1 < X < 9) = \dfrac{1}{8}$ & \item $p(5 < X < 9) = \dfrac{1}{2}$ & \item $p(1 < X < 3) = \dfrac{3}{8}$ & \item $p(1 < X < 2) = \dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip  

\item  Une enquête sanitaire a pour objectif d'estimer la proportion de personnes qui respectent le calendrier de vaccinations préconisé par le Haut Conseil de la Santé Publique. Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,01$ au niveau de confiance 0,95 de cette proportion, il faut interroger : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 200 personnes & \item 400 personnes & \item \np{10000} personnes & \item \np{40000} personnes 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip 

\item La solution de l'équation $x^{23} = 92$ est égale à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 4 & \item 1,2  & \item $\e^{\frac{\ln(92)}{23}}$ & \item $\e^{\frac{\ln(23)}{92}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip  

\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 10 ; 10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous : 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,2.6) \psline(2,0)(2,2.6) \psline(0,1.8)(16.5,1.8)
\rput(1,2.2){$x$}\rput(2.5,2.2){$- 10$} \rput(7,2.2){$-5$}\rput(11.5,2.2){$3$}\rput(16,2.2){$10$}
\rput(1,.9){$g(x)$} \rput(2.5,1.5){\rnode{A}{$7$}} \rput(7,.3){\rnode{B}{$2$}} \rput(11.5,1.5){\rnode{C}{{$4$}}} \rput(16,.3){\rnode{D}{$-6$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $I = \displaystyle\int_{-5}^3 g(x)\dd x$. On peut affirmer que : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $- 5 \leqslant I \leqslant 3$&\item $2 \leqslant I \leqslant 4$ &\item $16 \leqslant I \leqslant 32$ &\item $4\leqslant I \leqslant 8$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 20 ;  20]$ par $f(x) = (- 2x + 30)\e^{0,2x-3}$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f’ (x) = (- 0,4x + 4)\e^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[- 20 ;  20]$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 20; 20]$ . 

On précisera la valeur exacte du maximum de $f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle $[- 20 ;  20]$, l'équation $f(x) = - 2$ admet une unique solution $\alpha$. 
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$. 
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|Xr|}\hline     
 \rule[-1ex]{0pt}{4ex} 1	&Dériver $(- 10x + 200)\e^{0,2x-3}$&\\  
	& &$(- 2x + 30)\e^{0,2x-3}$\\ \hline   
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} 2 & Dériver $( 2x + 30)\e^{0,2x-3}$&\\  
	& &$(- 0,4x + 4)\e^{0,2x-3}$\\ \hline  
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} 3	& Dériver $(- 0,4x + 4)\e^{0,2x-3}$&\\
	& &$(- 0,08x + 0,4)\e^{0,2x-3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}   

Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:  

	\begin{enumerate}
			\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x) \dd x$. 
			\item Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l'abscisse du point d'inflexion.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l'intervalle $[0 ; 10]$. Le point $B$ représente le départ de la nouvelle piste et le point $A$ représente la station de ski où se trouve l'arrivée. 


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(11,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\f{(30-2*x)*EXP(.2*x-3)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.125pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f} \gsave
\psline(10,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(11,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,6){$f(x)$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\psdots[linecolor=prune](0,1.49361)(10,3.67879)
\uput[u](6.5,3){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[ur](0,1.5){\bleu $A$}\uput[ur](10,3.7){\bleu $B$}
\end{pspicture}
\end{center}

Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l'altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de 15\,\% en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle dénivelé d'une piste de ski, la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre. 
\item La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente. 


\begin{itemize}
\item La piste sera classée noire, c'est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à 40\,\%. 
\item La piste sera classée rouge, c'est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre 25\,\% et 40\,\% (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à 40\,\%). 
\item Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à 25\,\% alors la piste sera classée bleue, c'est-à-dire facile. 
\end{itemize}


Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse. 
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive. 

Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de $120\;\mathrm{m}^2$ au 1\up{er} janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de 10\,\% la superficie de terrain envahi l'année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d'une superficie de $4\;\mathrm{m}^2$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1\up{er} janvier 2018. 

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la superficie de terrain en $\mathrm{m}^2$ envahi par la Renouée du Japon au 1\up{er} janvier de l'année $2017 + n$. 

La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0 = 120$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n + 1} = 0,9u_n + 4$. 
\item  Le jardinier souhaite connaître l'année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1\up{er} janvier de l'année 2017. 

%Recopier et compléter les lignes L1, L3, L4 et L7 de l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée. 
%
%\emph{On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.}
%
%\begin{center}\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
%L1&$U$ prend la valeur \ldots\\
%L2 &$N$ prend la valeur 0 \\
%L3 &Tant que \dotfill\\ 
%L4 &\hspace{1em}$U$ prend la valeur\dotfill\\
%L5 &\hspace{1em}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
%L6 &Fin tant que \\
%L7 &Afficher \dotfill\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 
Recopier et compléter les lignes L1, L3 et L4 de l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée. 

\emph{On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.}

\begin{center}\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
L1&$U\leftarrow \ldots$\\
L2 &$N\leftarrow 0$ \\
L3 &Tant que \dotfill\\ 
L4 &\hspace{1em}$U\leftarrow \ldots$\\
L5 &\hspace{1em}$N\leftarrow N+1$\\ 
L6 &Fin tant que \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 40$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et préciser le premier terme. 
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. 
		\item Justifier que $u_n = 80 \times  0,9^n + 40$ pour tout entier naturel $n$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $80 \times  0,9^n + 40 \leqslant  60$. 
		\item En déduire l'année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1\up{er} janvier de l'année 2017. 
	\end{enumerate}
\item Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat à l'élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter à cette élection et ils ont le choix entre  deux candidats A et B. 

Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d'avis. 

Un institut de sondage consulte chaque mois le même échantillon d'adhérents et recueille leurs intentions de vote. 

Il observe que l'évolution de l'état de l'opinion peut être modélisée de la façon suivante. 

Chaque mois : 

\begin{itemize}
\item   5\,\% des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d'avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B. 
\item   3\,\% des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A. 
\end{itemize}

Au début de la campagne électorale, 65\,\% des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B où : 

\begin{itemize}
\item   $A$ est l'évènement : \og l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A\fg{} ; 
\item   $B$ est l'évènement :  \og l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B \fg. 
\end{itemize}

Dans la suite de l'exercice, on note : 

\begin{itemize}
\item   $a_n$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A, le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $a_0 = 0,65$ . 
\item   $b_n$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B, le $n$-ième mois après le début de la campagne. 
\end{itemize}


On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant aux intentions de vote le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$. 


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B. 
		\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $P_l = \begin{pmatrix}0,628& 0,372\end{pmatrix}$. 

\item On note $P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ l'état stable associé à ce graphe.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{l l}
0,05a - 0,03b& = 0\\
a +b&=1
\end{array}\right.$.
 
\item Résoudre le système précédent. 
\item Interpréter dans le contexte de l'exercice la solution obtenue à la question 3. b). 
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+ 1} = 0,92a_n + 0,03$. 
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n - 0,375$. 

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et préciser le premier terme. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que : $a_n = 0,275 \times  0,92^n + 0,375$. 
	\end{enumerate}
\item La campagne électorale dure 11 mois. Si la modélisation de l'institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une base nautique propose la location de différentes embarcations pour visiter les gorges du Verdon. Les touristes peuvent louer des kayaks, des pédalos ou des bateaux électriques, pour une durée de 1 heure ou 2 heures. 

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes} 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip  

Une étude statistique met en évidence que : 


\begin{itemize}
\item   40\,\% des embarcations louées sont des pédalos ; 
\item   35\,\% des embarcations louées sont des kayaks ; 
\item   les autres embarcations louées sont des bateaux électriques ; 
\item   60\,\% des pédalos sont loués pour une durée de 1 heure ; 
\item   70\,\% des kayaks sont loués pour une durée de 1 heure ; 
\item   la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de 1 heure. 
\end{itemize}


On interroge au hasard un touriste qui vient pour louer une embarcation. On note $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ les évènements suivants : 


\begin{itemize}
\item   $A$ : \og l'embarcation louée est un pédalo\fg{} ; 
\item   $B$ : \og l'embarcation louée est un kayak\fg{} ; 
\item   $C$ :\og l'embarcation louée est un bateau électrique\fg{} ; 
\item   $D$ :\og l'embarcation est louée pour une durée de 1 heure\fg{} ; 
\item   $E$ : \og l'embarcation est louée pour une durée de 2 heures \fg. 
\end{itemize}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré. 
\item Calculer la probabilité $p(A \cap E)$. 
\item Montrer que la probabilité que l'embarcation soit louée pour une durée de 2 heures est égale à $0,39$. 
\item Sachant que l'embarcation a été louée pendant 2 heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième. 
\item La base nautique pratique les tarifs suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
							&1 heure   	&2 heures   \\ \hline   
Pédalo   				&15 \euro  	&25 \euro\\ \hline     
Kayak   				&10 \euro  	&16\euro \\ \hline    
Bateau électrique	&35 \euro	&   60\euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
     
 En moyenne, 200 embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

\emph{Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième}

\medskip 

Les bateaux électriques sont équipés d'une batterie d'une autonomie moyenne de 500 minutes.

 Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d'utilisation. 

On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d'un bateau, exprimée en minutes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 10$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, calculer $p(490 < X < 520)$. 
\item Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de 8 heures sans être rechargés. 

Déterminer la probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée. 
\item Déterminer l'entier $a$ tel que $p(X < a) \approx 0,01$.

 Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}

        
\end{document}