Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2017

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

Dans un jeu vidéo, une suite d'énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories: les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

la première énigme est facile ;
si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à 0,15 ;
si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à 0,1.

Pour $n ⩾ 1$ , on note :

$a_{n}$ la probabilité que l'énigme numéro n soit facile (de catégorie A) ;
$b_{n}$ la probabilité que l'énigme numéro n soit difficile (de catégorie B) ;
$P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ l'état probabiliste pour l'énigme numéro n.

Donner la matrice $P_{1}$ .
La première énigme est facile d'où $P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :
- Si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à 0,15 d'où $p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,15$ et $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,15 = 0,85$ .
- Si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à 0,1 d'où $p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,1$ et $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,1 = 0,9$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Écrire la matrice M associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne $P_{2}$ .
La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{array}{ll} 0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9 \end{array})$ .
M est la matrice de transition du graphe d'où $P_{2} = P_{1} \times M$ soit : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times (\begin{array}{ll} 0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9 \end{array}) \\ = & (\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, $M = (\begin{array}{ll} 0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9 \end{array})$ et $P_{2} = (\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \end{matrix})$ .
Sachant que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , on a : $a_{n} + b_{n} = 1$ , montrer que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , on a : $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,1$ .
M est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on a : $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Soit pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{array}{ll} 0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9 \end{array}) \\ = & (\begin{matrix} a_{n} \times 0,85 + b_{n} \times 0,1 & a_{n} \times 0,15 + b_{n} \times 0,9 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , $a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 0,1 b_{n}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ d'où $\begin{array}{rcl} a_{n + 1} & = & 0,85 a_{n} + 0,1 \times (1 - a_{n}) \\ = & 0,85 a_{n} + 0,1 - 0,1 a_{n} \\ = & 0,75 a_{n} + 0,1 \end{array}$
Pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on a $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,1$ .
Pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on pose $v_{n} = a_{n} - 0,4$ .
1. Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,4 \\ = & 0,75 a_{n} + 0,1 - 0,4 \\ = & 0,75 a_{n} - 0,3 \\ = & 0,75 \times (a_{n} - 0,4) \\ = & 0,75 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,75 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 dont le premier terme $v_{1} = 1 - 0,4 = 0,6$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n, puis montrer que pour tout entier $n ⩾ 1$ : $a_{n} = 0,8 \times {0,75}^{n} + 0,4$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $v_{1} = 0,6$ donc pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , $v_{n} = 0,6 \times {0,75}^{n - 1}$ .
  Comme pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , $v_{n} = a_{n} - 0,4 \Leftrightarrow a_{n} = v_{n} + 0,4$ on en déduit que : $\begin{array}{rcl} a_{n} & = & 0,6 \times {0,75}^{n - 1} + 0,4 \\ = & \frac{0,6}{0,75} \times {0,75}^{n} + 0,4 \\ = & 0,8 \times {0,75}^{n} + 0,4 \end{array}$
  pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on a $a_{n} = 0,8 \times {0,75}^{n} + 0,4$ .
3. Préciser la limite de la suite $(v_{n})$ .
  $0 < 0,75 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,75}^{n - 1} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 0,6 \times {0,75}^{n - 1} = 0$ .
  Soit $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ .
4. Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d'avoir à résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse ?
  - Pour tout entier $n ⩾ 1$ : $a_{n} = v_{n} + 0,4$ et $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ donc $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,4$ .
    La suite $(a_{n})$ converge vers 0,4 donc à partir d'un certain nombre d'énigmes, quelle que soit la difficulté de l'énigme, la probabilité pour le joueur d'avoir à résoudre une énigme facile est proche de à 0,4 et celle d'avoir à résoudre une énigme difficile est proche de 0,6.
  - Étudions le sens de variation de la suite $(b_{n})$ définie pour tout entier $n ⩾ 1$ par $b_{n} = 1 - a_{n}$
    Pour tout entier $n ⩾ 1$ : $\begin{array}{rcl} b_{n + 1} - b_{n} & = & (1 - a_{n + 1}) - (1 - a_{n}) \\ = & a_{n} - a_{n + 1} \\ = & 0,8 \times {0,75}^{n} + 0,4 - 0,8 \times {0,75}^{n + 1} - 0,4 \\ = & 0,8 \times {0,75}^{n} \times (1 - 0,75) \\ = & 0,2 \times {0,75}^{n} \end{array}$
    Comme pour tout entier naturel n, on a $0,2 \times {0,75}^{n} > 0$ on en déduit que pour tout entier $n ⩾ 1$ , $b_{n + 1} - b_{n} > 0$ donc la suite $(b_{n})$ est strictement croissante.
  Au début, plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d'avoir à résoudre des énigmes difficiles cependant à partir d'un certain nombre d'énigmes, la probabilité pour le joueur d'avoir à résoudre une énigme difficile est proche de 0,6.

partie b

Une des énigmes consiste à réaliser un parcours en un minimum de temps. Le graphe suivant schématise le parcours. L'étiquette de chaque arête indique le temps de parcours en minute entre les deux sommets qu'elle relie. Par exemple, le temps de parcours de C vers D, ou de D à C, est égal à quatre minutes.

Quel chemin le joueur doit-il prendre pour aller de A à G en minimisant son temps de parcours ? Expliquer la démarche utilisée.

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons la chaîne de poids minimal entre A et G.

A	B	C	D	E	F	G	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
	2 (A)	6 (A)	10 (A)	∞	∞	∞	B (2)
		6 (A) 5 (B)	10 (A)	∞	∞	17 (B)	C (5)
			10 (A) 9 (C)	14 (C)	∞	17 (B)	D (9)
				14 (C) 12 (D)	∞	17 (B)	E (12)
					13 (E)	17 (B) 16 (E)	F (13)
						16 (E)	G (16)

Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $G \leftarrow E \leftarrow D \leftarrow C \leftarrow B \leftarrow A$ .

Le chemin que le joueur doit prendre pour aller de A à G en minimisant son temps de parcours est A - B - C - D - E - G.

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