Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ainsi que plusieurs tangentes à :
On sait que la tangente est parallèle à l'axe des abscisses et que la tangente passe par le point D de coordonnées .
Déterminer et .
La tangente à la courbe au point A d'abscisse est parallèle à l'axe des abscisses donc .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente au point C de coordonnées passant par le point D de coordonnées . D'où :
Ainsi, et .
On admet que B est un point d'inflexion de la courbe . Quelle interprétation graphique peut-on faire ?
B est un point d'inflexion de la courbe donc la courbe traverse sa tangente au point B
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point C.
Une équation de la tangente à la courbe au point C de coordonnées est :
La tangente à la courbe au point C a pour équation .
On admet que la fonction f de la partie A est définie, pour tout réel x de l'intervalle , par : . On note la fonction dérivée de f.
Montrer que, pour tout x de l'intervalle , on a .
f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle : .
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier le signe de sur l'intervalle puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle.
Pour tout réel x, donc est du même signe que sur l'intervalle .
Comme pour tout réel x, , on en déduit le tableau établissant le signe de sur l'intervalle :
x | 4 | ||||
+ | − |
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 4 | ||||
+ | − | ||||
0 |
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
1 | factoriser(dériver ) | |
2 | intégrer | |
En utilisant ces résultats, répondre aux questions suivantes.
Déterminer un intervalle sur lequel la fonction f est convexe. justifier.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde .
D'après le résultat obtenu en ligne 1 du logiciel, est la fonction définie sur l'intervalle par .
Comme pour tout réel x, , on en déduit le tableau du signe de la dérivée seconde :
x | 0 | 4 | |||
− | + |
La fonction f est convexe sur l'intervalle .
Montrer que .
D'après le résultat obtenu en ligne 2 du logiciel, une primitive de la fonction f est la fonction F définie pour tout réel x de l'intervalle , par : .
.
En déduire la valeur moyenne arrondie au millième de la fonction f sur l'intervalle .
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est :
La valeur moyenne arrondie au millième de la fonction f sur l'intervalle est 5,362.
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