Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Candidats ayant repassé l'épreuve en juin 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative 𝒞f d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-2;4] ainsi que plusieurs tangentes à 𝒞f :

  • T1 est la tangente au point A de coordonnées (-1;e2),
  • T2 est la tangente au point B de coordonnées (0;2e),
  • T3 est la tangente au point C de coordonnées (1;3).

On sait que la tangente T1 est parallèle à l'axe des abscisses et que la tangente T3 passe par le point D de coordonnées (2;1).

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer f(-1) et f(1).

    • La tangente T1 à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse (-1) est parallèle à l'axe des abscisses donc f(-1)=0.

    • Le nombre dérivé f(1) est égal au coefficient directeur de la tangente T3 au point C de coordonnées (1;3) passant par le point D de coordonnées (2;1). D'où :f(1)=yD-yCxD-xCsoitf(1)=1-32-1=-2

    Ainsi, f(-1)=0 et f(1)=-2.


  2. On admet que B est un point d'inflexion de la courbe 𝒞f. Quelle interprétation graphique peut-on faire ?

    B est un point d'inflexion de la courbe donc la courbe 𝒞f traverse sa tangente T2 au point B


  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞f au point C.

    Une équation de la tangente à la courbe 𝒞f au point C de coordonnées (1;3) est : y=f(1)×(x-1)+3soity=-2×(x-1)+3y=-2x+5

    La tangente à la courbe 𝒞f au point C a pour équation y=-2x+5.


partie b

On admet que la fonction f de la partie A est définie, pour tout réel x de l'intervalle [-2;4], par : f(x)=(x+2)e-x+1. On note f la fonction dérivée de f.

  1. Montrer que, pour tout x de l'intervalle [-2;4], on a f(x)=-(x+1)e-x+1.

    f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [-2;4] : {u(x)=x+2;u(x)=1v(x)=e-x+1;v(x)=-e-x+1.

    Soit pour tout réel x de l'intervalle [-2;4], f(x)=e-x+1-(x+2)e-x+1=(1-x-2)e-x+1=(-x-1)e-x-1

    Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [-2;4] par f(x)=-(x+1)e-x+1.


  2. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [-2;4] puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle.

    Pour tout réel x, e-x+1>0 donc f(x) est du même signe que -(x+1) sur l'intervalle [-2;4].

    Comme pour tout réel x, -x-10x-1, on en déduit le tableau établissant le signe de f sur l'intervalle [-2;4] :

    x-2-14
    f(x)+0||

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

    x-2-14
    f(x)+0||
    f(x)

    0

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    e2

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    6e-3


partie c

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

1

factoriser(dériver [-(x+1)*exp(-x+1)])
x*exp(-x+1)

2

intégrer ((x+2)*exp(-x+1))
-(x+3)*exp(-x+1)

En utilisant ces résultats, répondre aux questions suivantes.

  1. Déterminer un intervalle sur lequel la fonction f est convexe. justifier.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f.

    D'après le résultat obtenu en ligne 1 du logiciel, f est la fonction définie sur l'intervalle [-2;4] par f(x)=xe-x+1.

    Comme pour tout réel x, e-x+1>0, on en déduit le tableau du signe de la dérivée seconde :

    x-204
    f(x)0||+

    La fonction f est convexe sur l'intervalle [0;4].


    1. Montrer que -21f(x)dx=-4+e3.

      D'après le résultat obtenu en ligne 2 du logiciel, une primitive de la fonction f est la fonction F définie pour tout réel x de l'intervalle [-2;4], par : F(x)=-(x+3)e-x+1.

      -21f(x)dx=F(1)-F(-2)=-4e0-(-e3)=-4+e3

      -21f(x)dx=-4+e3.


    2. En déduire la valeur moyenne arrondie au millième de la fonction f sur l'intervalle [-2;1].

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [-2;1] est :m=11-(-2)×-21f(x)dx=-4+e33

      La valeur moyenne arrondie au millième de la fonction f sur l'intervalle [-2;1] est 5,362.



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