sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

   • À l'aller, le bateau est choisi dans 65 % des cas d'où $p\left(A\right)=\mathrm{0,65}$ et $p\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,65}=\mathrm{0,35}$

   • Lorsque le bateau est choisi à l'aller, il l'est également pour le retour 9 fois sur 10 d'où $p_A\left(R\right)=\mathrm{0,9}$ et $p_A\left(\overline{R}\right)=1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}$.

   • Lorsque le train a été choisi à l'aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70 % des cas d'où $p_{\stackrel{—}{A}}\left(R\right)=\mathrm{0,7}$ et $p_{\stackrel{—}{A}}\left(\overline{R}\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$.

   D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :

2. On choisit au hasard un client de l'agence.

   1. Calculer la probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau.

      $$\begin{array}{ll}& p\left(A\cap R\right)=p_A\left(R\right)\times p\left(A\right)\\ \text{Soit}& p\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,65}=\mathrm{0,585}\end{array}$$

      La probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau est égale à 0,585.

      ---

   2. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à 0,31.

      $$\begin{array}{llll}& p\left(A\cap \overline{R}\right)=p_A\left(\overline{R}\right)\times p\left(A\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap \overline{R}\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,65}=\mathrm{0,065}\\ \text{et}& p\left(\overline{A}\cap R\right)=p_{\overline{A}}\left(R\right)\times p\left(\overline{A}\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{A}\cap R\right)=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,35}=\mathrm{0,245}\end{array}$$ D'où $$p\left(A\cap \overline{R}\right)+p\left(\overline{A}\cap R\right)=\mathrm{0,245}+\mathrm{0,065}=\mathrm{0,31}$$.

      Ainsi, la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à 0,31.

      ---

3. On choisit au hasard 20 clients de cette agence. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
   On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale.

   1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

      La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\mathrm{0,31}$.

      ---

   2. Déterminer la probabilité qu'exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents.

      Avec la calculatrice, on trouve $p\left(X=12\right)\approx \mathrm{0,005}$

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents est 0,005.

      ---

   3. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.

      À l'aide de la calculatrice, $$p\left(X⩾2\right)=1-p\left(X⩽1\right)\approx \mathrm{0,994}$$

      Arrondie au millième près, a probabilité qu'il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents est 0,994.

      ---

4. Le coût d'un trajet aller ou d'un trajet retour est de 1560 € en bateau ; il est de 1200 € en train.
   On note Y la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.

   1. Déterminer la loi de probabilité de Y.

      Il y a trois possibilités :

      • le client fait l'aller-retour en bateau pour un coût de 3120 € avec une probabilité égale à 0,585 ;

      • le client utilise les deux moyens de transport pour un coût de 2760 € avec une probabilité égale à 0,31.

      • le client fait l'aller-retour en train pour un coût de 2400 € avec une probabilité $p=1-\left(\mathrm{0,585}+\mathrm{0,31}\right)=\mathrm{0,105}$.

      La loi de probabilité de Y est :

      $y_i$	2400	2760	3120
      $P\left(Y=y_i\right)$	0,105	0,31	0,585

   2. Calculer l'espérance mathématique de Y. Interpréter le résultat.

      L'espérance mathématique de cette loi est :$$\mathrm{E}\left(Y\right)=2400\times \mathrm{0,105}+2760\times \mathrm{0,31}+3120\times \mathrm{0,585}=\mathrm{2932,8}$$

      L'espérance mathématique de Y est égale à 2932,8. Sur l'ensemble des clients de l'agence le coût moyen d'un trajet aller-retour est de 2932,80 €

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