Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

En 2012, un village ne comptait qu'un seul médecin, Albert. Début 2013, un nouveau médecin, Brigitte, s'installe dans ce village.
À l'arrivée de Brigitte, 90 % des habitants du village choisirent Albert comme médecin, les autres choisirent Brigitte. On suppose que chaque habitant du village est patient du même médecin, Albert ou Brigitte, tout au long d'une année.
On observe, à partir de 2013, que chaque année :

  • 13 % des patients d'Albert changent de médecin et deviennent des patients de Brigitte ;
  • 8 % des patients de Brigitte deviennent des patients d'Albert.

On choisit au hasard un habitant de ce village. Pour tout entier naturel n,

  • an est la probabilité que cet habitant soit un patient d'Albert pour l'année (2013+n),
  • bn est la probabilité que cet habitant soit un patient de Brigitte pour l'année (2013+n),
  • Pn=(anbn) est la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année (2013+n).
  1. Déterminer la matrice ligne P0 de l'état probabiliste initial.

    À l'arrivée de Brigitte, 90 % des habitants du village choisirent Albert comme médecin, les autres choisirent Brigitte d'où P0=(0,90,1).


  2. Représenter la situation par un graphe probabiliste.

    Chaque année :

    • 13 % des patients d'Albert changent de médecin et deviennent des patients de Brigitte d'où pAn(Bn+1)=0,13 et pAn(An+1)=1-0,13=0,87.

    • 8 % des patients de Brigitte deviennent des patients d'Albert d'où pBn(An+1)=0,08 et pBn(Bn+1)=1-0,08=0,92.

    D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

    Graphe probabikiste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.

    La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, Pn+1=Pn×M est : M=(0,870,130,080,92).


  4. Montrer que P1=(0,7910,209).

    P1=P0×MsoitP1=(0,90,1)×(0,870,130,080,92)=(0,7910,209)

    Ainsi, P1=(0,7910,209).

  5. En déduire la matrice ligne P4 et interpréter le résultat. Les résultats seront arrondis au millième.

    P4=P1×M3soitP4=(0,7910,209)×(0,870,130,080,92)3(0,5830,417)

    Quatre ans après l'arrivée de Brigitte, 58,3 % des habitants du village choisissent Albert comme médecin et 41,7 % des habitants choisissent Brigitte.


  6. Déterminer l'état stable (ab) de la répartition des patients des médecins Albert et Brigitte. En donner une interprétation.

    Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état Pn converge vers un état stable P=(ab) avec a+b=1 et vérifiant : (ab)=(ab)×(0,870,130,080,92)=(0,87a+0,08b0,13a+0,92b) Soit {a=0,87a+0,08bb=0,13a+0,92b{0,13a-0,08b=0-0,13a+0,08b=0

    D'où a et b vérifient la relation 0,13a-0,08b=0. Comme d'autre part, a+b=1 on en déduit que a et b sont solutions du système :{0,13a-0,08b=0a+b=1{0,21a=0,08a+b=1{a=8210,381b=13210,619

    L'état stable du système est P=(8211321). À partir d'un certain nombre d'années, chaque année, environ 38,1 % des habitants du village choisiront Albert comme médecin et les autres choisiront Brigitte.


partie b

Le médecin Albert, qui officie dans le village A, doit rendre visite à un patient d'un village voisin G. Il a construit le graphe ci-dessous où les sommets représentent les villages alentours. Sur les arêtes sont indiquées les distances en kilomètres.
Déterminer le plus court chemin pour aller du village A au village G.

Déterminons le plus court chemin pour aller du village A au village G à l'aide de l'algorithme de Dijkstra :

Graphe algorithme de Dijkstra : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
ABCDEFGSommet sélectionné
0

A (0)

8(A) 18 (A)13 (A)

B (8)

31 (B)18 (A)
17 (B)
13 (A)

E (13)

31 (B) 17 (B) 26 (E)

D (17)

31 (B)
27 (D)
26 (E)
24 (D)

F (24)

27 (D)33 (F)

C (157)

33 (F)
30 (C)

G (30)


Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. GCDBA.

Le trajet le plus court pour aller du village A au village G est A - B - D - C - G.



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