sujet : Polynésie session septembre 2017

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

   • 80 % des étuis achetés par l'entreprise proviennent du fournisseur A le reste provenant du fournisseur B d'où $p\left(A\right)=\mathrm{0,8}$ et $p\left(B\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$.
   • Le fournisseur A garantit 99 % d'étuis non défectueux d'où $p_A\left(\overline{D}\right)=\mathrm{0,99}$ et $p_A\left(D\right)=1-\mathrm{0,99}=\mathrm{0,01}$.
   • Le fournisseur B garantit 94 % d'étuis non défectueux d'où $p_B\left(\overline{D}\right)=\mathrm{0,94}$ et $p_A\left(D\right)=1-\mathrm{0,94}=\mathrm{0,06}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Calculer la probabilité qu'un étui soit défectueux.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(D\right)=p\left(A\cap D\right)+p\left(B\cap D\right)$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(A\cap D\right)=p_A\left(D\right)\times p\left(A\right)& \text{soit}& p\left(A\cap D\right)=\mathrm{0,01}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,008}\\ \text{et}& p\left(B\cap D\right)=p_B\left(D\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap D\right)=\mathrm{0,06}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,012}\end{array}$$

   On obtient alors $$p\left(D\right)=\mathrm{0,008}+\mathrm{0,012}=\mathrm{0,02}$$

   La probabilité qu'un étui soit défectueux est égale à 0,02.

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3. On choisit un étui au hasard et on constate qu'il est défectueux. Montrer que la probabilité qu'il provienne du fournisseur B est égale à 0,6.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_D\left(B\right)={\displaystyle \frac{p\left(B\cap D\right)}{p\left(D\right)}}& \text{Soit}& p_D\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,012}}{\mathrm{0,02}}}=\mathrm{0,6}\end{array}$$

   La probabilité qu'un étui défectueux provienne du fournisseur B est égale à 0,6.

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partie b

On rappelle que le fournisseur B garantit 94 % d'étuis non défectueux.
Un employé de l'entreprise prélève un échantillon de 400 étuis qui proviennent du fournisseur B. Il constate que 350 de ces étuis ne sont pas défectueux.

1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de 400 étuis provenant du fournisseur B.
   On donnera des valeurs approchées au millième des bornes de cet intervalle.

   La proportion d'étuis défecteux est $p=\mathrm{0,06}$. Comme $n=400$, $n\times p=400\times \mathrm{0,06}=24$ et $n\times \left(1-p\right)=400\times \mathrm{0,94}=376$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,06}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,06}\times \mathrm{0,94}}{400}}};\mathrm{0,06}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,06}\times \mathrm{0,94}}{400}}}\right]\end{array}$$

   Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de 400 étuis est $I=\left[\mathrm{0,036};\mathrm{0,084}\right]$.

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2. Faut-il informer le fournisseur B d'un problème ?

   La fréquence f des étuis qui ne sont pas défectueux dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{350}{400}}=\mathrm{0,875}$$

   Le fournisseur B garantit 94 % d'étuis non défectueux donc on l'informe d'un problème.

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   remarque

   Une autre réponse induite par l'énoncé est acceptable :

   La fréquence des étuis défectueux dans l'échantillon est $f_D={\displaystyle \frac{50}{400}}=\mathrm{0,125}$.

   La fréquence des étuis défectueux dans l'échantillon n'appartient pas à l'intervalle de fluctation par conséquent, on rejette l'hypothèse de 6 % d'étuis défectueux et on signale le problème au fournisseur.

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partie c

Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre 19,8 mm et 20,2 mm.
Le fournisseur B souhaite qu'au moins 95 % des étuis produits soient conformes. Pour cela, il veut vérifier les réglages des machines de production.
On choisit un étui au hasard dans la production du fournisseur B.
On note X la variable aléatoire associée à l'épaisseur (en mm) de l'étui. On admet que X suit une loi normale d'espérance 20 mm.

1. En observant les réglages des machines de production, le fournisseur B constate que l'écart-type de X est égal à 0,2.
   Justifier qu'il faut revoir les réglages des machines.

   Au moins 95 % des étuis produits sont conformes signifie que $P\left(\mathrm{19,8}⩽X⩽\mathrm{20,2}\right)⩾\mathrm{0,95}$.

   Or si X suit la loi normale d'espérance $\mu =20$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{0,2}$ alors, $P\left(\mathrm{19,8}⩽X⩽\mathrm{20,2}\right)\approx \mathrm{0,683}$.

   Par conséquent, il faut revoir les réglages des machines.

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2. Déterminer une valeur de l'écart-type de X pour laquelle la probabilité qu'un étui soit conforme est environ égale à 0,95.

   Si X suit la loi normale d'espérance $\mu =20$ et d'écart-type σ alors, $P\left(20-\mathrm{1,96}\sigma ⩽X⩽20+\mathrm{1,96}\sigma \right)\approx \mathrm{0,95}$ d'où $P\left(\mathrm{19,8}⩽X⩽\mathrm{20,2}\right)\approx \mathrm{0,95}$ pour $$\begin{array}{ccc}\mathrm{1,96}\sigma =\mathrm{0,2}& \iff & \sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{1,96}}}\approx \mathrm{0,102}\end{array}$$

   La probabilité qu'un étui soit conforme est environ égale à 0,95 pour un écart-type $\sigma =\mathrm{0,102}$.

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