sujet : Pondichéry 2017

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l'exercice :

   • 34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes d'où $P\left(A\right)=\mathrm{0,34}$ et $P\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,34}=\mathrm{0,66}$.
   • Parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans d'où $P_A\left(\overline{B}\right)=\mathrm{0,05}$ et $P_A\left(B\right)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$.
   • Parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 % ont moins de 60 ans d'où $P_{\overline{A}}\left(B\right)=\mathrm{0,84}$ et $P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,84}=\mathrm{0,16}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. 1. Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(A\cap \overline{B}\right)=P_A\left(\overline{B}\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,34}=\mathrm{0,017}\end{array}$$

      La probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans est égale à 0,017.

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   2. Vérifier que $P\left(\overline{B}\right)\approx \mathrm{0,123}$.

      Les évènements A et B sont relatifs à la même épreuve. D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(\overline{B}\right)=P\left(\overline{B}\cap A\right)+P\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)$$

      Or $$\begin{array}{ll}& P\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)=P_{\stackrel{—}{A}}\left(\overline{B}\right)\times P\left(\overline{A}\right)\\ \text{Soit}& P\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)=\mathrm{0,16}\times \mathrm{0,66}=\mathrm{0,1056}\end{array}$$

      D'où, $$\begin{array}{lll}P\left(\overline{B}\right)& =& P\left(\overline{B}\cap A\right)+P\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)\\ & =& \mathrm{0,017}+\mathrm{0,1056}\\ & =& \mathrm{0,1226}\end{array}$$

      Ainsi, arrondie au millième près, la probabilité que la personne choisie soit âgée de plus de 60 ans est 0,123.

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   3. Calculer $P_{\overline{B}}\left(A\right)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.

      $$\begin{array}{lll}{P}_{\overline{B}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(\overline{B}\cap A\right)}{P\left(\overline{B}\right)}}& \text{Soit}& P_{\overline{B}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,017}}{\mathrm{0,1226}}}\approx \mathrm{0,139}\end{array}$$

      Remarque : Si on prend $P\left(\overline{B}\right)\approx \mathrm{0,123}$ alors, $P_{\overline{B}}\left(A\right)\approx \mathrm{0,138}$.

      $P_{\overline{B}}\left(A\right)\approx \mathrm{0,139}$ soit environ 13,9 % des coureurs de plus de 60 ans ont terminé la course en moins de 234 minutes.

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partie b

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d'espérance $\mu =250$ et d'écart-type $\sigma =39$.

1. Calculer $P\left(210⩽T⩽270\right)$.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(210⩽T⩽270\right)\approx \mathrm{0,543}$.

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2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.
   Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de 240 minutes.

   Il s'agit de déterminer la probabilité conditionnelle que le coureur termine la course en moins de 240 minutes sachant qu'il a mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon :$$P_{\left(210⩽T⩽270\right)}\left(T⩽240\right)={\displaystyle \frac{P\left(\left(T⩽240\right)\cap \left(210⩽T⩽270\right)\right)}{P\left(210⩽T⩽270\right)}}={\displaystyle \frac{P\left(210⩽T⩽240\right)}{P\left(210⩽T⩽270\right)}}\approx \mathrm{0,453}$$

   La probabilité qu'un coureur qui a mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon termine la course en moins de 240 minutes est 0,453.

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3. 1. Calculer $P\left(T⩽300\right)$.

      Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(T⩽300\right)& =& P\left(T⩽250\right)+P\left(250⩽T⩽300\right)\\ & =& \mathrm{0,5}+P\left(250⩽T⩽300\right)\approx \mathrm{0,9}\end{array}$$

      La probabilité qu'un coureur termine la course en moins de 300 minutes est $P\left(T⩽300\right)\approx \mathrm{0,9}$.

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   2. Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel t, arrondi à l'unité, vérifiant $P\left(T⩾t\right)=\mathrm{0,9}$.

      • méthode 1

        Par symétrie de la courbe par rapport à la droite d'équation $x=250$ on a :$$P\left(T>300\right)=P\left(T<200\right)=1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}$$

        On en déduit que $$P\left(T⩾200\right)=1-P\left(T<200\right)=\mathrm{0,9}$$

        Ainsi, $P\left(T⩾t\right)=\mathrm{0,9}$ pour $t=200$.

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      • méthode 2

        $$\begin{array}{rcl}P\left(T⩾t\right)=\mathrm{0,9}& \iff & 1-P\left(T<t\right)=\mathrm{0,9}\\ & \iff & P\left(T<t\right)=\mathrm{0,1}\end{array}$$

        À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(T<t\right)=\mathrm{0,1}$ pour $t\approx 200$.

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   3. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.

      90 % des coureurs terminent la course en plus de 200 minutes.

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