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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath}} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
%\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
%\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2017 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Pondichéry}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Pondichéry 2017}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte
ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; 10]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine $\mathrm{O}$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*ln(x)-x^2/4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(11,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(11,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.00001}{10}{\f}
\uput[u](4.5,2){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Le nombre de solutions sur l'intervalle $]0 ; 10]$ de l'équation $f' (x) = 0$ est égal à :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item 1 & \item  2 & \item  3
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Le nombre réel $f' (7)$ est :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item nul & \item  strictement positif & \item  strictement négatif
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item La fonction $f'$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item croissante sur $]0 ; 10]$ & \item  croissante sur $[4 ; 7]$ & \item  décroissante sur $[4 ; 7]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ; 10]$ on a : $f' (x) = \ln x -\dfrac{x}{2}+ 1$.

La courbe $\mathcal{C}$ admet sur cet intervalle un point d'inflexion :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item d'abscisse 2,1 & \item  d'abscisse 0,9 & \item  d'abscisse 2
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.

Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-3}$ près.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :
\begin{itemize}
\item 34 \% des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes ;
\item parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 \% ont plus de 60 ans ;
\item parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 \% ont moins de 60 ans.
\end{itemize}

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ : \og le coureur a terminé le marathon en moins de 234 minutes \fg{} ;
\item $B$ : \og le coureur a moins de 60 ans \fg{} ;
\end{itemize}

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $E$ est notée $P (E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F (E)$. De plus $\overline{E}$ désigne l'évènement contraire de $E$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l'exercice :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$A$}~}\naput{\bleu{0,34}}}
		{
\TR{\bleu{$B$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{\bleu{$\overline{B}$}}\nbput{\bleu \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{A}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$B$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{B}$}}\nbput{\bleu{ \ldots}}
 		}
}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans.
\item Vérifier que $P \left( \overline{B} \right) \approx 0,123$.
\item Calculer $P_{\overline{B}} (A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart-type $\sigma = 39$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P \left( 210 \leqslant T \leqslant 270\right)$.
\item Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.

Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de 240 minutes.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $P \left(T \leqslant 300\right)$.
\item Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $t$, arrondi à l'unité, vérifiant \mbox{$P \left(T \geqslant t\right) = 0, 9$}.
\item Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 150$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8 u_n + 45$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
%\item Voici deux propositions d'algorithmes :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|X|m{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
%\textsc{\textsf{Variables :}}
%
%$N$ est un entier naturel
%
%$U$ est un nombre réel
%&&\textsc{\textsf{Variables :}} 
%
%$N$ est un entier naturel
%
%$U$ est un nombre réel\\
%\textsc{\textsf{Initialisation:}}
%
%$U$ prend la valeur 150
%
%$N$ prend la valeur 0
%&&\textsc{\textsf{Initialisation:}}
%
%$U$ prend la valeur 150
%
%$N$ prend la valeur 0\\
%\textsc{\textsf{Traitement :}}
%
%Tant que $U \geqslant 220$
%
%$U$ prend la valeur $0,8 \times U + 45$
%
%$N$ prend la valeur $N + 1$
%
%Fin Tant que
%&&\textsc{\textsf{Traitement :}}
%
%Tant que $U < 220$
%
%$U$ prend la valeur $0,8 \times U + 45$
%
%$N$ prend la valeur $N + 1$
%
%Fin Tant que\\
%\textsc{\textsf{Sortie :}}
%
%Afficher $N$&&\textsc{\textsf{Sortie :}}
%
%Afficher $N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}
%\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 1}}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 2}}}
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 220$.
%		
%Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.
%		\item Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme choisi à la question précédente ?
%	\end{enumerate}
\item Voici deux propositions d'algorithmes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|X|m{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}

$U \leftarrow 150$

$N \leftarrow 0$
&&

$U \leftarrow 150$

$N \leftarrow 0$\\

Tant que $U \geqslant 220$

$U \leftarrow 0,8 \times U + 45$

$N \leftarrow N + 1$

Fin Tant que
&&

Tant que $U < 220$

$U \leftarrow 0,8 \times U + 45$

$N \leftarrow N + 1$

Fin Tant que\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 1}}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 2}}}
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 220$.
		
Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.
		\item Quelle est la valeur numérique de $n$ calculée par l'algorithme choisi à la question précédente ?
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n - 225$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 225 - 75 \times  0,8^n$.
	\end{enumerate}
\item Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150.
		
On fait l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

\begin{itemize}
\item 20 \,\% des participants ne reviennent pas l'année suivante ;
\item 45 nouveaux participants s'inscrivent à la course.
\end{itemize}

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250.

Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Alexis part en voyage dans l'Est des \'Etats-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :
\begin{center}
Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).\end{center}

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(12,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\rput(0,8.5){\circlenode{C}{C}}
\rput(12,9){\circlenode{B}{B}}
\rput(9.5,7){\circlenode{N}{N}}
\rput(7,5.5){\circlenode{W}{W}}
\rput(3,3.5){\circlenode{A}{A}}
\rput(4,0){\circlenode{M}{M}}
}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncarc[arcangle=50]{N}{M}\ncput*[nrot=:D]{250}\ncarc[arcangle=20]{M}{W}\ncput*[nrot=:U]{160}\ncarc[arcangle=-20]{W}{C}\ncput*[nrot=:D]{120}\ncarc[arcangle=20]{C}{B}\ncput*[nrot=:U]{130}\ncarc[arcangle=40]{B}{N}\ncput*[nrot=:D]{170}\ncarc[arcangle=-40]{N}{W}\ncput*[nrot=:D]{140}\ncarc[arcangle=-20]{W}{A}\ncput*[nrot=:D]{130}\ncarc[arcangle=-20]{A}{C}\ncput*[nrot=:D]{100}\ncarc[arcangle=-50]{C}{M}\ncput*[nrot=:U]{150}
}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles caractéristiques du graphe permettent d'affirmer qu'il existe un trajet qui permet à Alexis d'emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
		\item Donner un exemple d'un tel trajet.
	\end{enumerate}
\item Alexis veut relier Boston à Miami.
	
En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le coût de ce trajet.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice d'adjacence $P$ de ce graphe en classant les sommets par ordre
alphabétique.
		\item Alexis souhaite aller d'Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.
		
Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces
trajets.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.

Celui-ci présente dans un repère d'origine O la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 7]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation $f(x) = 10$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$.
\item Donner le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
\item La valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dd x$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item $[9 ; 17]$ & \item  $[18 ; 26]$ & \item  $[27 ; 35]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 7]$ d'expression :\[f(x) = 2x \e^{- x + 3}.\]

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 7]$, $f'(x) = (- 2x + 2)\e^{-x + 3}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
		\item Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l'intervalle $[0 ; 7]$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
		\item On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
		
Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0 ; 7]$ par :\[F(x) = (- 2x - 2)\e^{-x + 3}.\]	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation $x = 1$, $x = 3$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d'objets ($x$ compris entre 0 et 7).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets.
		\item L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à \np{10000} euros.
		
Déterminer le nombre d'objets possibles que l'entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.75cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*x*EXP(3-x)}
\rput(3.5,18){\textsf {\textbf{ANNEXE}}}
\rput(3.5,17.5){\textsf {\textbf{N'est pas à rendre avec la copie}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(8,16)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(8,16)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,16){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{7}{\f}
\uput[u](3.5,5){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
        
\end{document}