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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2018 \\ Série ES-L}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Amérique du Sud}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Amérique du Sud 2018}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
$f$ est la fonction définie sur $[0 ; 12]$ par $f(x) = 2x\e^{-x}$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|X|}\hline
\multirow{2}*{1} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Dériver $\left(2*x*\mathrm{exp}(-x)\right)$\\
	& \multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{$-2*x*\mathrm{exp}(-x)+2*\exp(-x)$}\\ \hline
\multirow{2}*{2} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Factoriser $\left(-2*x*\mathrm{exp}(-x)+ 2*\mathrm{exp}(-x)\right)$\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{$2*(1-x)*\mathrm{exp}(-x)$}\\ \hline
	\multirow{2}*{3} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Dériver $\left(2*(1-x)*\mathrm{exp}(-x)\right)$\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{$2*x*\mathrm{exp}(- x) - 4*\mathrm{exp}(- x)$}\\ \hline
	\multirow{2}*{4} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Factoriser $\left(2 *x*\mathrm{exp}(-x) - 4*\mathrm{exp}(-x)\right)$\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{2em}}|}{$2 *(x - 2)*\mathrm{exp}(- x)$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Vérifier le résultat de la ligne 1 donné par le logiciel de calcul formel. 
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Dans la suite, on pourra utiliser les résultats donnés par le logiciel de calcul formel sans les justifier.}

\medskip 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 12]$ en le justifiant. 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet deux solutions dans $[0 ; 12]$. 

Donner à l'aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. 
	\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 12]$. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le taux d'alcoolémie d'une personne pendant les $12$ heures suivant la consommation d'une certaine quantité d'alcool est modélisé par la fonction $f$ : 


\begin{itemize}
\item $x$ représente le temps (exprimé en heure) écoulé depuis la consommation d'alcool; 
\item $f(x)$ représente le taux d'alcoolémie (exprimé en g/L) de cette personne. 
\end{itemize}


\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décrire les variations du taux d'alcoolémie de cette personne pendant les 12 heures suivant la consommation d'alcool. 
		\item À quel instant le taux d'alcoolémie de cette personne est-il maximal ? 

Quelle est alors sa valeur ? Arrondir au centième. 
	\end{enumerate}
\item  Le Code de la route interdit toute conduite d'un véhicule lorsque le taux d'alcoolémie est supérieur ou égal à 0,5 g/L. 

Une fois l'alcool consommé, au bout de combien de temps le taux d'alcoolémie de l'automobiliste reprend-il une valeur conforme à la législation ?
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.}

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une entreprise produit des valises de deux types: des valises à deux roues et des valises à quatre roues. Sur chacun des deux modèles, on effectue des tests afin d'évaluer leur solidité. 

On dispose des informations suivantes sur le stock de production de cette entreprise: 


\begin{itemize}
\item  le stock contient 30\:\% de valises à deux roues ; 
\item  98\:\% des valises à deux roues réussissent les tests ; 
\item  95\:\% des valises à quatre roues réussissent les tests.
\end{itemize}


On choisit au hasard une valise de ce stock. On considère les évènements suivants : 


\begin{itemize}
\item  $D$ : \og La valise a deux roues \fg{} ; 
\item  $R$ : \og La valise réussit les tests \fg. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous, illustrant cette situation. 

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$D$}~}\naput{\ldots}}
		{
\TR{\bleu{$R$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{\bleu{$\overline{R}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{D}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$R$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{~\bleu{$\overline{R}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
}
\end{center}

\item Démontrer que la probabilité que la valise choisie réussisse les tests est de 0,959. 
\item Sachant que la valise réussit les tests, quelle est la probabilité que ce soit une valise à quatre roues ? 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Parmi les tests de solidité effectués, l'un d'eux consiste à charger la valise et à la faire rouler sur une piste bosselée. On appelle \og durée de vie \fg{} de la valise, le nombre de kilomètres parcourus avant d'atteindre une certaine usure des roues. 


On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à deux roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 41$ et d'écart-type $\sigma = 6$. 


On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à quatre roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu' = 52$ et d'écart-type $\sigma' = 10$. 


\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à 52 kilomètres ? 
\item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les densités associées aux variables aléatoires $X$ et $Y$. 

À l'aide de ce graphique, déterminer pour quel type de valise (à deux roues ou à quatre roues) la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à 50 kilomètres est la plus grande. Expliquer. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=90cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-10,-0.005)(105,0.075)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=0.01](0,0)(0,0)(100,0.075)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,mue=41,sigma=6]{10}{72}\uput[r](46,0.05){\bleu courbe 1}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=prune,mue=52,sigma=10]{10}{94}\uput[r](57,0.035){\prune courbe 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip 

L'entreprise souhaite commercialiser un nouveau modèle de valises. Afin de mieux connaître les attentes des consommateurs, elle réalise un sondage auprès de \np{2000} personnes. Parmi elles, 872 déclarent que la solidité est le principal critère pris en compte lors de l'achat (devant la légèreté, le prix, la couleur \ldots ). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer par un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\:\% la proportion de consommateurs pour lesquels la solidité est le principal critère de choix. 
\item Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à $0,04$ ? 
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit. 

Deux sociétés d'ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché. En 2017, la société $A$ entretient 30\:\% de ces ascenseurs. 

On estime que, chaque année: 


\begin{itemize}
\item  3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante; 
\item  5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante; 
\item  les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante. 
\end{itemize}


On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$. 

On note $a_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $A$ pendant l'année $(2017 + n)$. De même, on note $b_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $B$ lors de l'année $(2017 + n)$. 

On a donc $a_0 = 0,3$ et $b_0 = 0,7$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_1$. Interpréter le résultat. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :  $a_{n+1} = 0,97a_n + 0,05b_n$ puis en déduire que \mbox{$a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05$}. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à 62,5\:\%. 

Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\:\%. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.05cm}|X|p{0.05cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
Algorithme 1				&& Algorithme 2&& Algorithme 3\\\cline{1-1} \cline{3-3}\cline{5-5}
$A \gets 0,3$				&&$A \gets 0,3$&&$A \gets 0,3$\\
$N \gets 0$					&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $A \leqslant 0,5$&&Tant que $A > 0,5$&&Tant que $A \leqslant 0,5$\\
\hspace{0.5cm}$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$&&$N\gets N+1$&&Fin Tant que\\
Fin Tant que&&Fin Tant que&&$N\gets N+1$\\
Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Exécuter l'algorithme qui détermine l'année en question. 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - 0,625$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_n = - 0,325 \times 0,92^n + 0,625$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat. 
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'expression donnée dans la question  3. b), résoudre l'inéquation $a_n \geqslant 0,5$. 

Quel résultat antérieur retrouve-t-on ? 
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d'ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché.

En 2017, la société $A$ entretient 30\:\% de ces ascenseurs. 

On estime que, chaque année :


\begin{itemize}
\item 3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante ;
\item 5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante ;
\item les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
\end{itemize}


On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$.

Pour un ascenseur choisi au hasard, et pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ lors de l'année $(2017 + n)$ ;
\item $b_n$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $B$ lors de l'année $(2017 + n)$ ;
\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n &b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste de l'année $(2017 + n)$.
\end{itemize}


On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,3 &0,7\end{pmatrix}$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
		\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ en 2018.
\item Montrer que $P = \begin{pmatrix}0,625& 0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice et interpréter le résultat.
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à 62,5\:\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\:\%. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.05cm}|X|p{0.05cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
Algorithme 1				&& Algorithme 2&& Algorithme 3\\\cline{1-1} \cline{3-3}\cline{5-5}
$A \gets 0,3$				&&$A \gets 0,3$&&$A \gets 0,3$\\
$N \gets 0$					&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $A \leqslant 0,5$&&Tant que $A > 0,5$&&Tant que $A \leqslant 0,5$\\
\hspace{0.5cm}$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$&&$N\gets N+1$&&Fin Tant que\\
Fin Tant que		&&Fin Tant que&&$N\gets N+1$\\
Afficher $2017 + N$	&&Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Exécuter l'algorithme qui détermine l'année en question.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - 0,625$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_n = - 0,325 \times 0,92n + 0,625$.
		
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'expression donnée dans la question  2. b), résoudre l'inéquation $a_n \geqslant 0,5$.
	
Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.

Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus. 

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 1 :}} Au seuil de 95\:\%, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère. 

\emph{Rappel : Lorsque la proportion $p$ d'un caractère dans la population est connue, l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% d'une fréquence de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par:}\[I = \left[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} ; p + 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 

\item Dans une gare, le temps d'attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1 ;  7]$. 

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 2 :}} Le temps d'attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes. 
\item La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. 

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 3 :}} La valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle $[- 2 ; 2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$. 
\item  $x$ désigne un nombre réel négatif. 

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 4 :}} $\ln \left(\e^{x + 1}\right) - \ln \left(\e^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.
\end{enumerate}

       
\end{document}