Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2018

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Franck joue en ligne sur internet.

partie a

Après plusieurs semaines, des statistiques données par le logiciel lui permettent de dire que :

quand il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à 0,65 ;
quand il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à 0,42.

On note G l'état : « Franck gagne la partie » et P l'état : « Franck perd la partie ».

Sur une période donnée, on note, pour tout entier naturel n non nul :

$g_{n}$ la probabilité que Franck gagne la n-ième partie ;
$p_{n}$ la probabilité que Franck perde la n-ième partie.

Dans cette période, Franck a gagné la première partie.

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets notés G et P.
Franck a pu établir que :
- quand il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à 0,65 d'où $p_{G_{n}} (G_{n + 1}) = 0,65$ et $p_{G_{n}} (P_{n + 1}) = 1 - 0,65 = 0,35$ .
- quand il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à 0,42 d'où $p_{P_{n}} (G_{n + 1}) = 0,42$ et $p_{P_{n}} (P_{n + 1}) = 1 - 0,42 = 0,58$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
1. Écrire la matrice de transition M dans l'ordre G-P.
  La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,65 & 0,35 \\ 0,42 & 0,58 \end{matrix})$ .
2. Calculer la probabilité que Franck gagne la troisième partie.
  Dans cette période, Franck a gagné la première partie d'où la matrice traduisant l'état probabiliste de la première partie $P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .
  La matrice traduisant l'état probabiliste de la troisième partie est $P_{3} = P_{1} \times M^{2}$ soit : $\begin{matrix} P_{3} & = & (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,65 & 0,35 \\ 0,42 & 0,58 \end{matrix})}^{2} & = & (\begin{matrix} 0,5695 & 0,4305 \end{matrix}) \end{matrix}$
  La probabilité que Franck gagne la troisième partie est égale à 0,5695.
Déterminer l'état stable du système et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} g & p \end{matrix})$ avec $g + p = 1$ et vérifiant : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} g & p \end{matrix}) = (\begin{matrix} g & p \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,65 & 0,35 \\ 0,42 & 0,58 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} g & p \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,65 g + 0,42 p & 0,35 g + 0,58 p \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} g = 0,65 g + 0,42 p \\ p = 0,35 g + 0,58 p \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,35 g - 0,42 p = 0 \\ - 0,35 g + 0,42 p = 0 \end{matrix} \end{array}$
D'où g et p vérifient la relation $0,35 g - 0,42 p = 0$ . Comme d'autre part, $g + p = 1$ on en déduit que g et p sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{rcl} 0,35 g - 0,42 p & = & 0 \\ g + p & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,77 g & = & 0,42 \\ g + p & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} g = \frac{6}{11} \\ p = \frac{5}{11} \end{matrix} \end{array}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} \frac{6}{11} & \frac{5}{11} \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre de parties, la probabilité que Franck gagne une partie sera toujours proche de $\frac{6}{11}$ .

partie b

Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu'il doit combattre.

On a représenté ci-contre le graphe modélisant ces catacombes.
Les sommets représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs.
Les étiquettes du graphe correspondent au nombre de monstres présents dans chaque couloir.

1. Justifier qu'il est possible, au départ d'une salle quelconque, d'y revenir après avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
  - La chaîne A - B - C - D - E - F - G contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.
  Le graphe admet un cycle eulérien par conséquent, il est possible, au départ d'une salle quelconque, d'y revenir après avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
2. Donner un tel chemin.
  Un parcours possible est : A - C - E - F - G - E - D - F - B - D - C - B - A.
Franck débute le jeu dans la salle A et doit atteindre l'adversaire final en salle G.
Existe-t-il un chemin permettant de se rendre de la salle A à la salle G en passant une et une seule fois par tous les couloirs ?
Un tel parcours n'est pas possible. Pour avoir une chaîne eulérienne d'extrémités A et G, il faudrait que ces deux sommets soient les seuls sommets de degré impair du graphe.

Une fois arrivé en salle G, Franck souhaite revenir en salle A en affrontant le moins de monstres possible afin de recommencer une nouvelle partie.
Déterminer ce trajet minimal et préciser le nombre de monstres affrontés.

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra on cherche la chaîne de poids minimal entre les sommets G et A.

G	A	B	C	D	E	F	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	G (0)
	∞	∞	∞	∞	7 (G)	5 (G)	F (5)
	∞	27 (F)	∞	8 (F)	7 (G)		E (7)
	∞	27 (F)	26 (E)	8 (F)			D (8)
	∞	27 (F) 15 (D)	26 (E) 13 (D)				C (13)
	25 (C)	27 (F) 15 (D)					B (15)
	25 (C)						A (25)

Le sommet A étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de A et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $A \leftarrow C \leftarrow D \leftarrow F \leftarrow G$ .

En partant de la salle G pour revenir en salle A, le nombre minimal de de monstres que Franck doit affronter est égal à 25 en effectuant le parcours G - F - D - C - A.

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