Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.

Une compagnie aérienne a mis en place pour une de ses lignes un système de surréservation afin d'abaisser les coûts.
Les réservations ne peuvent se faire qu'auprès d'une agence ou sur le site Internet de la compagnie.

partie a

Une étude réalisée par la compagnie a établi que, sur cette ligne, pour une réservation en agence, 5 % des clients ne se présentent pas à l'embarquement alors que, pour une réservation par Internet, 2 % des clients ne se présentent pas à l'embarquement.
Les réservations en agence représentent 30 % de l'ensemble des réservations.

Pour un embarquement donné et une réservation prise au hasard, on considère les évènements suivants :

  • A : « la réservation a été faite en agence » ;
  • I : « la réservation a été faite par Internet » ;
  • E : « le passager se présente à l'embarquement ».
  1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

    • Les réservations en agence représentent 30 % de l'ensemble des réservations d'où p(A)=0,3 et p(I)=1-0,3=0,7.
    • Pour une réservation en agence, 5 % des clients ne se présentent pas à l'embarquement d'où PA(E¯)=0,05 et PA(E)=1-0,05=0,95
    • Pour une réservation par Internet, 2 % des clients ne se présentent pas à l'embarquement d'où PI(E¯)=0,02 et PI(E)=1-0,02=0,98

    L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Démontrer que la probabilité qu'un client ne se présente pas à l'embarquement est de 0,029.

    D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    P(E¯)=P(AE¯)+P(IE¯)

    Or P(AE¯)=PA(E¯)×P(A)soitP(AE¯)=0,05×0,3=0,015etP(IE¯)=PI(E¯)×P(I)soitP(IE¯)=0,02×0,7=0,014

    On obtient alors P(E¯)=0,015+0,014=0,029

    La probabilité qu'un client ne se présente pas à l'embarquement est égale à 0,029.


  3. Calculer la probabilité que la réservation ait été faite en agence sachant que le client ne s'est pas présenté à l'embarquement.

    PE¯(A)=P(AE¯)P(E¯)soitPE¯(A)=0,0150,0290,517

    La probabilité, arrondie au millième, que la réservation ait été faite en agence sachant que le client ne s'est pas présenté à l'embarquement est 0,517.


partie b

Sur cette ligne, la compagnie affrète un appareil de 200 places et a vendu 202 réservations.
On suppose que le nombre de clients se présentant à l'embarquement peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n=202 et p=0,971.

  1. Calculer la probabilité que tous les clients se présentent à l'embarquement.

    La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=202 et p=0,971 d'où p(X=202)=0,9712020,0026

    Arrondie au millième près, la probabilité que tous les clients se présentent à l'embarquement est 0,003.


  2. Calculer la probabilité qu'un seul client parmi les 202 qui ont réservé ne se présente pas à l'embarquement.

    p(X=201)=(202201)×0,971201×(1-0,971)1=202×0,971201×0,0290,0158

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un seul client parmi les 202 qui ont réservé ne se présente pas à l'embarquement est 0,016.


  3. En déduire la probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation (c'est-à-dire avec plus de clients qui se présentent à l'embarquement que de places).

    p(X>200)=p(X=202)+p(X=201)0,0026+0,01580,0184

    Arrondie au millième près, la probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation est 0,018.


    remarque

    À l'aide la calculatrice, la probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation est :p(X>200)=1-p(X200)0,0184

partie c

Cette compagnie affirme que 98 % de ses clients sont satisfaits. Sur les 400 réponses à une enquête de satisfaction, il y a 383 réponses exprimant leur satisfaction.
Ce résultat contredit-il l'affirmation de la compagnie ?

Soit p=0,98 la proportion de clients satisfaits. On a n=400, n×p=400×0,98=392 et n×(1-p)=400×0,02=8.
Les conditions n30, np>5 et n×(1-p)>5 d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits dans des échantillons de taille n=400 est : I=[0,98-1,96×0,98×0,02400;0,98+1,96×0,98×0,02400][0,966;0,994]

La fréquence de clients satisfaits dans l'échantillon est f=383400=0,9575.

La fréquence de clients satisfaits n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Par conséquent, au risque d'erreur de 5 %, on met en doute l'affirmation de la compagnie.



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