Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Des professeurs d'éducation physique et sportive proposent à leurs élèves de terminale un cycle de demi-fond qui consiste à courir 3 fois 500 mètres.
Le temps cumulé obtenu à l'issue d'un cycle définit une note de performance notée sur 14 points.
Le barème est différent entre les garçons et les filles.
4 classes sont regroupées et 40 % des élèves sont des filles.
60 % des filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

partie a

On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves. On note :

F l'évènement: « L'élève est une fille » ;
G l'évènement: « L'élève est un garçon » ;
M l'évènement: « La note de performance est supérieure ou égale à 7 sur 14 ».

Pour tout évènement E, on note $\bar{E}$ l'évènement contraire de E et $P (E)$ sa probabilité. Pour tout évènement F de probabilité non nulle, on note $P_{F} (E)$ la probabilité de E sachant que F est réalisé.

Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
- 40 % des élèves sont des filles d'où $P (F) = 0,4$ et $P (G) = 1 - 0,4 = 0,6$ .
- 60 % des filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14 d'où $P_{F} (M) = 0,6$ et $P_{F} (\bar{M}) = 1 - 0,6 = 0,4$ .
L'arbre pondéré traduisant cette situation est :
Déterminer $P (F \cap M)$ .
$\begin{array}{rcl} P (F \cap M) = P_{F} (M) \times P (F) & soit & P (F \cap M) = 0,6 \times 0,4 = 0,24 \end{array}$
La probabilité qu'un élève soit une fille ayant obtenu une note de performance supérieure ou égale à 7 points sur 14 est égale à 0,24.
Sachant que $P (M) = 0,64$ , déterminer $P (G \cap M)$ puis en déduire $P_{G} (M)$ , arrondie au millième.
Les évènements F et M sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{array}{rcl} P (M) = P (F \cap M) + P (G \cap M) & \Leftrightarrow & P (G \cap M) = P (M) - P (F \cap M) \\ soit & P (G \cap M) = 0,64 \times 0,24 = 0,4 \end{array}$
On obtient alors $\begin{matrix} P_{G} (M) = \frac{P (G \cap M)}{P (G)} & Soit & P_{G} (M) = \frac{0,4}{0,6} = \frac{2}{3} \approx 0,667 \end{matrix}$
Deux tiers des garçons obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.
Sachant qu'une personne interrogée a obtenu une note de performance supérieure ou égale à 7 points sur 14, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
$\begin{matrix} P_{M} (F) = \frac{P (F \cap M)}{P (M)} & Soit & P_{M} (F) = \frac{0,24}{0,64} = 0,375 \end{matrix}$
37,5 % des élèves qui ont obtenu une note de performance supérieure ou égale à 7 points sur 14 sont des filles.

partie b

On considère un groupe de 70 filles d'un autre établissement.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de filles de ce groupe ayant une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.
Les notes obtenues sont indépendantes les unes des autres.
On admet que X suit la loi binomiale de paramètres $n = 70$ et $p = 0,6$ .

Calculer la probabilité arrondie au dix-millième qu'exactement 30 filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7.

À l'aide de la calculatrice, on obtient : $\begin{array}{rcl} P (X = 30) & = & (\begin{matrix} 70 \\ 30 \end{matrix}) \times {0,6}^{30} \times {(1 - 0,6)}^{70 - 30} \approx 0,0015 \end{array}$

Arrondie au dix-millième près, la probabilité qu'exactement 30 filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 est 0,0015.

partie c

Cette épreuve permet de développer sa VMA (vitesse maximale aérobie) qui correspond à une vitesse de course rapide. L'unité de mesure de la VMA est le km/h.
On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves.
On admet que la VMA d'un élève pris au hasard est modélisée par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance $μ = 11,8$ et d'écart type $σ = 1,2$ .

Quelle est la probabilité arrondie à $10^{- 3}$ , qu'un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre 10 et 13 km/h ?
Avec la calculatrice, on trouve $P (10 ⩽ Y ⩽ 13) \approx 0,775$ .
La probabilité arrondie à $10^{- 3}$ , qu'un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre 10 et 13 km/h est 0,775.
Déterminer la valeur arrondie au dixième de α tel que $P (Y ⩽ α) = 0,8$ . Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $P (Y ⩽ α) = 0,8$ pour $α \approx 12,8$ .
80 % des élèves ont une VMA inférieure ou égale à 12,8 km/h.

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