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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2018 \\ Série ES-L}}} %droit
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%pied de page
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\lfoot{Nouvelle Calédonie 2018\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Des professeurs d'éducation physique et sportive proposent à leurs élèves de terminale un cycle de demi-fond qui consiste à courir 3 fois 500 mètres.

Le temps cumulé obtenu à l'issue d'un cycle définit une note de performance notée sur 14 points.

Le barème est différent entre les garçons et les filles.

4 classes sont regroupées et $40\,\%$ des élèves sont des filles.

$60\,\%$ des filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.


\begin{center}
\emph{Les parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes.}
\end{center}


 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves.

On note :

\begin{itemize}
\item $F$ l'évènement: \og L'élève est une fille \fg{};
\item $G$ l'évènement: \og L'élève est un garçon \fg{};
\item $M$ l'évènement: \og La note de performance est supérieure ou égale à 7 sur 14 \fg{}. 
\end{itemize}

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_{F}(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
\item Déterminer $P(F\cap M)$.
\item Sachant que $P(M)=0,64$, déterminer $P\left(G\cap M\right)$ puis en déduire $P_{G}(M)$, arrondie au millième.
\item Sachant qu'une personne interrogée a obtenu une note de performance supérieure ou égale à 7 points sur 14, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On considère un groupe de 70 filles d'un autre établissement.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de filles de ce groupe ayant une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.

Les notes obtenues sont indépendantes les unes des autres.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=70$ et $p=0,6$.

\medskip

Calculer la probabilité arrondie au dix-millième qu'exactement 30 filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Cette épreuve permet de développer sa VMA (vitesse maximale aérobie) qui correspond à une vitesse de course rapide. L'unité de mesure de la VMA est le km/h.

On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves.

On admet que la VMA d'un élève pris au hasard est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=11,8$ et d'écart type $\sigma = 1,2$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité arrondie à $10^{-3}$, qu'un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre 10 et 13~km/h?
\item Déterminer la valeur arrondie au dixième de $\alpha$ tel que $P\left(Y\leqslant \alpha\right) = 0,8$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.  Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte $0,75$ point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0~;\,+\infty[$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

La valeur exacte de $f'(\e)$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $0$ & \item $\dfrac{1}{\e}$ & \item $1$ & \item $\e^{2}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\,\%$.

Quel est le taux annuel d'augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\,\%$ ?

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $10\,\%$ & \item $7,62\,\%$ & \item $6,75\,\%$ & \item $8,76\,\%$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_1=3$.

La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{49}$ est égale à :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$ & \item $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$ & \item $S=595,280$ & \item $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d'attente d'un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ; 12]$.

Quelle est la probabilité que le temps d'attente d'un client soit compris entre 2 et 5 minutes ?

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $\dfrac{1}{4}$ & \item $\dfrac{7}{12}$ & \item $\dfrac{1}{12}$ & \item $\dfrac{1}{3}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.}

\emph{Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Lors d'une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu'il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 1 :}} Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l'institut de sondage doit interroger au minimum \np{10000} personnes. 

\medskip

\item On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne 6.

On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité $f$ associée à la variable aléatoire $X$.
La partie grisée vaut $0,95$ unité d'aire.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=50cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3,-0.01)(15,0.15)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu, fillcolor=grisb]
{
\psGauss[linewidth=0pt,mue=6,sigma=3]{0}{12}
\psplot{12}{0}{0}
\closepath 
}
{\psset{linewidth=0.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=darkgray}
\multido{\n=0+0.02}{8}{\psline(-3,\n)(15,\n)}
\multido{\n=-2+2}{9}{\psline(\n,-0.01)(\n,0.15)}
}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=.02, comma]{->}(0,0)(-3,-.01)(15,0.15)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,mue=6,sigma=3]{-3}{15}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 2 :}} L'écart type de $X$ est égal à 6.
\end{enumerate}
	
\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip
 
Une colonie de vacances héberge des enfants dans des tentes de 10 places chacune. Pendant l'été 2017, 160 enfants ont participé à cette colonie.

À la suite d'une étude prévisionnelle, on estime que, chaque année, $80\,\%$ des enfants déjà inscrits se réinscrivent l'année suivante et 50 nouveaux enfants les rejoignent.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation du nombre d'enfants inscrits à l'été 2018.
\item Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l'ensemble des inscrits pendant l'été 2018.
\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique qui modélise le nombre d'inscrits lors de l'année $2017+n$. Ainsi $u_0=160$.

Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,8 u_n + 50$.

\item Voici la copie d'écran d'une feuille de tableur utilisée pour déterminer les valeurs des termes de la suite.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.908 0.93 1}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|>{\columncolor{bleuclair}}c|>{\centering}m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{bleuclair}  & \textsf{A} & \textsf{B} & \textsf{C} & \textsf{D} & \textsf{E}  & \textsf{F} & \textsf{G}\\ \hline
1 & indice $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5\\
\hline
2 & valeur de $u_n$ &  160 &   &  & & & \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule \textsf{C2} pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d'inscrits l'année $2017+n$ ?
\item Recopier et compléter ce tableau en arrondissant chacune des valeurs à l'entier.
\item Donner une estimation du nombre d'inscrits en 2021.
\end{enumerate}

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite numérique dont le terme général est défini par $v_n=u_n-250$ pour tout $n\in\N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$ et préciser son terme initial.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n=250 - 90\times 0,8^n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item En 2017, la colonie comptait 22 tentes.

Afin de déterminer à partir de quelle année il sera nécessaire de construire une nouvelle tente, on propose l'algorithme ci-dessous:

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \gets 160$

$N \gets 0$

Tant que $\cdots\cdots\cdots\cdots$ faire
\begin{itemize}
\item[] $U \gets 0,8 U +50$
\item[] $N \gets \cdots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il permette de répondre au problème.
\item Quelle est la valeur de $N$ obtenue après exécution de cet algorithme?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2 ; 6]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous.

Le point $A$ de coordonnées $(0 ; 3)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle  $[-2 ; 6]$.

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.

La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point $B$ d'abscisse $-1$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(6.5,6.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+2)*EXP(-x)+1}
\def\g{3-x}
{\psset{linewidth=0.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=darkgray}
\multido{\n=-1+1}{8}{\psline(-2.5,\n)(6.5,\n)}
\multido{\n=-2+1}{9}{\psline(\n,-1.5)(\n,6.5)}
}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(6.5,6.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6.5,0){$x$} \uput[dl](0,6.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2}{6}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-2.5}{4.5}{\g}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](-1,3.7183)(0,3)
\uput[d](-1,3.7183){\bleu{\footnotesize{$B$}}} \uput[ur](0,3){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\uput[u](4.5,1){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\uput[dl](4,-1){\prune{\footnotesize{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$.
\item Déterminer $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.
\item Déterminer le signe de $f'$ sur $[-2 ; 6]$.
\item Donner la convexité de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
\item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $I=\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x) \dd x$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie par $f(x)=(x+2)\e^{-x}+1$ pour tout $x \in [-2 ; 6]$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $f(6)$ puis en donner la valeur arrondie au centième.
\item Montrer que, pour tout $x \in [-2 ; 6]$, $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$.
\item Étudier le signe de $f'$ sur $[-2 ; 6]$ puis donner le tableau des variations de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
\item Un logiciel de calcul formel donne l'information suivante :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\texttt{Dériver} $\left((-x-3)\e^{-x}\right)$\\ \hline
\multicolumn{1}{|r|}{$(x+2)\e^{-x}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1 ; 0]$. On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

        
\end{document}