sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2018

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation et le compléter.

   • 60 % des salariés viennent au travail en transports en commun d'où $P\left(C\right)=\mathrm{0,6}$ et $P\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.
   • Parmi les employés qui utilisent les transports en commun 7,5 % ont un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes d'où $P_C\left(R\right)=\mathrm{0,075}$ et $P_C\left(\overline{R}\right)=1-\mathrm{0,075}=\mathrm{0,925}$.
   • Parmi les employés qui n'utilisent pas les transports en commun 28,5 % ont un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes d'où $P_{\overline{C}}\left(R\right)=\mathrm{0,285}$ et $P_{\overline{C}}\left(\overline{R}\right)=1-\mathrm{0,285}=\mathrm{0,715}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. 1. Calculer $P\left(C\cap R\right)$ et interpréter le résultat obtenu.

      $$\begin{array}{lcl}P\left(C\cap R\right)=P_C\left(R\right)\times P\left(C\right)& \text{soit}& P\left(C\cap R\right)=\mathrm{0,075}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,045}\end{array}$$

      La probabilité qu'un employé vient au travail en transports en commun et a un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes est égale à 0,045.

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   2. Montrer que $P\left(R\right)=\mathrm{0,159}$.

      Les évènements C et R sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(R\right)=P\left(C\cap R\right)+P\left(\overline{C}\cap R\right)$$

      Or $$\begin{array}{lcl}P\left(\overline{C}\cap R\right)=P_{\overline{C}}\left(R\right)\times P\left(\overline{C}\right)& \text{soit}& P\left(\overline{C}\cap R\right)=\mathrm{0,285}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,114}\end{array}$$

      On obtient alors $$P\left(R\right)=\mathrm{0,045}+\mathrm{0,114}=\mathrm{0,159}$$

      Ainsi, la probabilité qu'un employé ait un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes est égale à 0,159.

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3. On interroge un employé choisi au hasard dont la durée du trajet est inférieure à 30 minutes. Calculer la probabilité qu'il utilise les transports en commun.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_R\left(C\right)={\displaystyle \frac{P\left(C\cap R\right)}{P\left(R\right)}}& \text{Soit}& P_R\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,045}}{\mathrm{0,159}}}\approx \mathrm{0,283}\end{array}$$

   La probabilité qu'un employé dont la durée du trajet est inférieure à 30 minutes utilise les transports en commun est d'environ 0,283.

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partie b

Une étude a montré que la durée du trajet en minutes d'un employé peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance $\mu =40$ et d'écart type $\sigma =10$.

1. Déterminer $P\left(X⩽30\right)$. Indiquer si ce résultat est cohérent avec la partie A, en justifiant la réponse.

   D'après le cours, si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors $P\left(\mu -\sigma ⩽X⩽\mu +\sigma \right)\approx \mathrm{0,683}$

   On en déduit que $P\left(30⩽X⩽50\right)\approx \mathrm{0,683}$

   D'où $P\left(X⩽30\right)={\displaystyle \frac{1-P\left(30⩽X⩽50\right)}{2}}$ soit $P\left(X⩽30\right)\approx {\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,683}}{2}}\approx \mathrm{0,159}$

   ---

   Ainsi, $P\left(X⩽30\right)\approx \mathrm{0,159}$. On retrouve le résultat de la partie A c'est à dire, la probabilité qu'un employé ait un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes est égale à 0,159.

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2. Déterminer $P\left(20⩽X⩽60\right)$ et en déduire $P\left(X>60\right)$.

   D'après le cours, si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors $P\left(\mu -2\sigma ⩽X⩽\mu +2\sigma \right)\approx \mathrm{0,954}$

   Par conséquent, $P\left(20⩽X⩽60\right)\approx \mathrm{0,954}$

   D'où $P\left(X>60\right)={\displaystyle \frac{1-P\left(20⩽X⩽60\right)}{2}}$ soit $P\left(X>60\right)\approx {\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,954}}{2}}\approx \mathrm{0,023}$

   ---

   Ainsi, $P\left(X>60\right)\approx \mathrm{0,023}$. La probabilité qu'un employé ait un trajet d'une durée spérieure à une heure est égale à 0,023.

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3. Dans cette question, on se propose de déterminer le plus petit entier a tel que $P\left(X⩾a\right)\approx \mathrm{0,008}$.

   1. On admet que lorsque la valeur de a augmente, la valeur de $P\left(X⩾a\right)$ diminue.
      On considère l'algorithme ci-dessous, où X est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu =40$ et d'écart type $\sigma =10$.
      Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il permette de répondre à la question.

      a est un entier, à chaque itération dans la boucle Tant que on incrémente sa valeur de 1

      $a\leftarrow 60$
      $Y\leftarrow \mathrm{0,023}$

      Tant que $Y>\mathrm{0,08}$
      $a\leftarrow a+1$
      $Y\leftarrow P\left(X⩾a\right)$
      Fin Tant que

   2. On exécute cet algorithme.
      Recopier et compléter le tableau suivant, en utilisant autant de colonnes que nécessaire.

      a	60	61	62	63	64	65
      Y	0,023	0,018	0,014	0,0107	0,0082	0,0062

4. Donner la valeur de a obtenue après exécution de l'algorithme.
   Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

   La valeur obtenue après exécution de l'algorithme est $a=65$. Moins de 0,8 % des employés ont un trajet d'une durée supérieure à 65 minutes.

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