sujet : Pondichéry 2018

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,01 près.

partie a

1. 1. Donner la probabilité de l'évènement V, notée $P\left(V\right)$, ainsi que la probabilité de S sachant V notée $P_V\left(S\right)$.

      80 % des clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30 € et parmi eux, 40 % paient en espèces donc $P\left(V\right)=\mathrm{0,8}$ et $P_V\left(S\right)=\mathrm{0,4}$.

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   2. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. 1. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30 € et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(V\cap S\right)=P_V\left(S\right)\times P\left(V\right)& \text{soit}& P\left(V\cap S\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,32}\end{array}$$

      La probabilité que le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30 € et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact est égale à 0,32.

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   2. Montrer que la probabilité de l'évènement: « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes » est égale à 0,62.

      Soit B l'évènement « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes » : $P\left(B\right)=P\left(S\right)+P\left(C\right)$.

      Or $P\left(B\right)=P\left(V\cap S\right)=\mathrm{0,32}$ et, d'après la formule des probabilités totales :$$\begin{array}{rcl}P\left(C\right)=P\left(C\cap V\right)+P\left(C\cap \overline{V}\right)& \iff & P\left(C\right)=P_V\left(C\right)\times P\left(V\right)+P_{\overline{V}}\left(C\right)\times P\left(\overline{V}\right)\\ & \text{Soit}& P\left(C\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,3}\end{array}$$

      Ainsi, $$P\left(B\right)=\mathrm{0,32}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,62}$$

      La probabilité que le client ait réglé avec sa carte bancaire est égale à 0,62.

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partie b

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d'un client suite à un achat chez ce commerçant. On admet que X suit la loi normale de moyenne 27,5 et d'écart-type 3.
On interroge au hasard un client qui vient d'effectuer un achat dans la boutique.

1. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de 30 €.

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(X<30\right)& =& P\left(X⩽\mathrm{27,5}\right)+P\left(\mathrm{27,5}<X<30\right)\\ & =& \mathrm{0,5}+P\left(\mathrm{27,5}<X<30\right)\approx \mathrm{0,798}\end{array}$$

   Arrondie à 0,01 près, la probabilité qu'un client ait dépensé moins de 30 € est 0,8.

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2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre 24,5 € et 30,5 €.

   D'après la calculatrice, $P\left(\mathrm{24,5}⩽X⩽\mathrm{30,5}\right)\approx \mathrm{0,683}$

   Arrondie à 0,01 près, la probabilité qu'un client ait dépensé entre 24,5 € et 30,5 € est 0,68.

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partie c

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d'un échantillon de 200 clients de cette boutique. Parmi eux, 175 trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.

Déterminer, avec un niveau de confiance de 0,95, l'intervalle de confiance de la proportion p de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.

Soit $f={\displaystyle \frac{175}{200}}=\mathrm{0,875}$ la fréquence des clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.

Les bornes de l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion des clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique sont :$$\left[\mathrm{0,875}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{200}}};\mathrm{0,875}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{200}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,8};\mathrm{0,95}\right]$$

Vérifions à posrtériori les conditions $n⩾30$, $np⩾5$ et $n\left(1-p\right)⩾5$ :

• $n=200$ ;

• $\mathrm{0,8}⩽p⩽\mathrm{0,95}$ d'où $200\times \mathrm{0,8}⩽np⩽200\times \mathrm{0,95}$ soit $160⩽np⩽190$ ;

• $200\times \left(1-\mathrm{0,95}\right)⩽n\left(1-p\right)⩽200\times \left(1-\mathrm{0,8}\right)$ soit $10⩽n\left(1-p\right)⩽40$.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion des clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique est $\left[\mathrm{0,8};\mathrm{0,95}\right]$.

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