Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2018

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 65$ et pour tout entier naturel n : $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 18$

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
$\begin{array}{l} u_{1} = 0,8 \times 65 + 18 = 70 \\ u_{2} = 0,8 \times 70 + 18 = 74 \end{array}$
Pour tout entier naturel n, on pose : $v_{n} = u_{n} - 90$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison 0,8. On précisera la valeur de $v_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 90 \\ = & 0,8 u_{n} + 18 - 90 \\ = & 0,8 u_{n} - 72 \\ = & 0,8 \times (u_{n} - 90) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 dont le premier terme $v_{0} = 65 - 90 = - 25$ .
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n : $u_{n} = 90 - 25 \times {0,8}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = - 25$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = - 25 \times {0,8}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 90 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 90$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 90 - 25 \times {0,8}^{n}$
On considère l'algorithme ci-dessous :
1. Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel n tel que $u_{n} ⩾ 85$ .
  ligne 1 $u \leftarrow 65$
  ligne 2 $n \leftarrow 0$
  ligne 3 Tant que $u < 85$
  ligne 4 $n \leftarrow n + 1$
  ligne 5 $u \leftarrow 0,8 \times u + 18$
  ligne 6 Fin Tant que
2. Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
  On programme cet algorithme sur la calculatrice.
  La valeur de la variable n obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme est $n = 8$ .
3. Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l'inéquation $u_{n} ⩾ 85$ .
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 90 - 25 \times {0,8}^{n} ⩾ 85 & \Leftrightarrow & - 25 \times {0,8}^{n} ⩾ - 5 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} ⩽ 0,2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) ⩽ \ln 0,2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,8 ⩽ \ln 0,2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{array}$
  Or $\frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,2$ donc :
  le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} ⩾ 85$ est égal à 8.
La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d'un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l'agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52 € par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.
En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement.
Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
- d'un mois à l'autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés ;
- chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement.
1. Justifier que la suite $(u_{n})$ permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le n-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
  Soit $u_{n}$ le nombre d'abonnés au panier bio le n-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
  Le mois suivant 20 % des abonnements sont résiliés et 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement donc : $\begin{matrix} u_{n + 1} = u_{n} \times (1 - \frac{20}{100}) + 18 & \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 18 \end{matrix}$
  En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement d'où $u_{0} = 65$ .
  Ainsi, la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 65$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 18$ permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le n-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
2. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4420 € durant l'année 2018 ? Justifier la réponse.
  Selon ce modèle, au bout de huit mois le nombre d'abonnés sera supérieur à 85 ce qui correspond à une recette supérieure à $85 \times 52 = 4420$
  Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va dépasser 4420 € à partir de mars 2018.
3. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ? Argumenter la réponse.
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 90 - 25 \times {0,8}^{n} = 90$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 90$ .
  La suite $(u_{n})$ converge vers 90. À partir d'un certain nombre de mois, le nombre d'abonnés sera chaque mois proche de 90 ce qui correspond à une recette : $90 \times 52 = 4680$
  La recette mensuelle de la société Biocagette tend vers 4680 €.

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ligne 1	$u \leftarrow 65$
ligne 2	$n \leftarrow 0$
ligne 3	Tant que $u < 85$
ligne 4	$n \leftarrow n + 1$
ligne 5	$u \leftarrow 0,8 \times u + 18$
ligne 6	Fin Tant que