sujet : Nouvelle Calédonie décembre 2020

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point ; une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

1. On considère une fonction f définie et dérivable sur $\left[3;+\infty \right[$.
   Parmi les tableaux suivants, un seul est correct. Déterminer lequel.

   1. x	$-3$		3		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	3		5

      ---

   2. C'est le seul tableau qui soit valable.

      x	$-3$		3		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	5		3

      ---

   3. x	$-3$		3		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	3		5

      ---

   4. x	$-3$		3		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	5		3

      ---

2. On donne ci-dessous la représentation graphique ${𝒞}_{f\prime }$ de la fonction dérivée $f\prime$ d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\left[-4;7\right]$.

   La fonction $f\prime$ est décroissante sur l'intervalle $\left[-4;7\right]$. Par conséquent, sa dérivée $f″$ est négative sur l'intervalle $\left[-4;7\right]$.

   1. f est décroissante sur l'intervalle $\left[-4;7\right]$.

   2. $f\prime$ est négative sur l'intervalle $\left[-4;7\right]$.

   3. $f″$ est décroissante sur l'intervalle $\left[-4;7\right]$.

   4. $f″$ est négative sur l'intervalle $\left[-4;7\right]$.

Dans la suite de l'exercice, pour tous évènements E et F, on note $p\left(E\right)$ la probabilité de E et, si F est de probabilité non nulle, $p_F\left(E\right)$ la probabilité de E sachant F.

3. Soit U la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $\left[-10;40\right]$.

   • La fonction de densité f associée à U est définie sur l'intervalle $\left[-10;40\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{40-\left(-10\right)}}={\displaystyle \frac{1}{50}}$.

   • L'espérance de U est $E\left(U\right)={\displaystyle \frac{40-10}{2}}=15$.

   • $p\left(-5⩽U⩽20\right)={\displaystyle \frac{20-\left(-5\right)}{50}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $p\left(-3⩽U⩽22\right)={\displaystyle \frac{22-\left(-3\right)}{50}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   1. La fonction de densité f associée à U est définie sur l'intervalle $\left[-10;40\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{30}}$.

   2. $p_{\left(U⩾20\right)}\left(U⩾30\right)=p\left(U⩾10\right)$.

   3. $p\left(-5⩽U⩽20\right)=p\left(-3⩽U⩽22\right)$.

   4. L'espérance de U est égale à 25.

4. Soit Z la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu =15$ et d'écart type $\sigma =2$.
   On a :

   $p\left(Z=13\right)=0$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $p\left(8⩽Z⩽12\right)\approx \mathrm{0,0665}$ et $p\left(Z<12\right)\approx \mathrm{0,0668}$.

   1. $p\left(8⩽Z⩽12\right)\approx \mathrm{0,092}$.

   2. $p\left(Z=13\right)\approx \mathrm{0,121}$.

   3. $p\left(Z<12\right)\approx \mathrm{0,067}$.

   4. La valeur arrondie au millième du réel a tel que $p\left(Z⩽a\right)\approx \mathrm{0,9}$ est égale à 1,282.

5. Soit X la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ. Soit Y la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance μ' et d'écart type σ'.
   Sur le graphique ci-dessous, C est la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X, et C' est la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire Y.
   D'après le graphique, on a :

   1. $\mu <\mu \text{'}$ et $\sigma <\sigma \text{'}$

   2. $\mu >\mu \text{'}$ et $\sigma <\sigma \text{'}$

   3. $\mu >\mu \text{'}$ et $\sigma >\sigma \text{'}$

   4. $\mu <\mu \text{'}$ et $\sigma >\sigma \text{'}$

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