sujet : Nouvelle Calédonie décembre 2020

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis au millième si besoin.

partie a

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

   • Dans 54 % des cas, l'indice mesurant la qualité de l'air est bon ; dans 41 % des cas, il est correct ; le reste du temps, l'indice est mauvais d'où $p\left(B\right)=\mathrm{0,54}$, $p\left(C\right)=\mathrm{0,41}$ et $p\left(M\right)=1-\left(\mathrm{0,54}+\mathrm{0,41}\right)=\mathrm{0,05}$

   • Si l'indice est bon, dans 90 % des cas le groupe de cyclistes part s'entraîner d'où $p_B\left(E\right)=\mathrm{0,9}$ et $p_B\left(\overline{E}\right)=1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}$.

   • Si l'indice est correct, il y a une chance sur deux pour que le groupe de cyclistes parte s'entraîner d'où $p_C\left(E\right)=\mathrm{0,5}$ et $p_C\left(\overline{E}\right)=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$.

   • Si l'indice est mauvais, dans 80 % des cas le groupe de cyclistes ne part pas s'entraîner d'où $p_M\left(\overline{E}\right)=\mathrm{0,8}$ et $p_C\left(E\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Définir par une phrase l'évènement $B\cap E$ et calculer sa probabilité.

   $B\cap E$ est l'évènement « L'indice mesurant la qualité de l'air est bon et le groupe de cyclistes s'entraîne » dont la probabilité est :$$\begin{array}{ccc}p\left(B\cap E\right)=p_B\left(E\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap E\right)=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,54}=\mathrm{0,486}\end{array}$$

   La probabilité que l'indice mesurant la qualité de l'air est bon et que le groupe de cyclistes s'entraîne est égale à 0,486.

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3. Montrer que la probabilité que le groupe de cyclistes s'entraîne est égale à 0,701.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(E\right)=p\left(B\cap E\right)+p\left(C\cap E\right)+p\left(M\cap E\right)$$

   Or $$\begin{array}{llll}& p\left(C\cap E\right)=p_C\left(E\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(C\cap E\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,41}=\mathrm{0,205}\\ \text{et}& p\left(M\cap E\right)=p_M\left(E\right)\times p\left(M\right)& \text{soit}& p\left(M\cap E\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,05}=\mathrm{0,01}\end{array}$$

   On obtient alors $$p\left(E\right)=\mathrm{0,486}+\mathrm{0,205}+\mathrm{0,01}=\mathrm{0,701}$$

   La probabilité que le groupe de cyclistes s'entraîne est égale à 0,701.

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4. Sachant que le groupe de cyclistes s'est entraîné, calculer la probabilité que l'indice mesurant la qualité de l'air soit bon.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_E\left(B\right)={\displaystyle \frac{p\left(B\cap E\right)}{p\left(E\right)}}& \text{Soit}& p_E\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,486}}{\mathrm{0,701}}}\approx \mathrm{0,693}\end{array}$$

   La probabilité que l'indice mesurant la qualité de l'air soit bon sachant que le groupe de cyclistes s'est entraîné, est : $p_E\left(B\right)\approx \mathrm{0,693}$.

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partie b

Pour se protéger les jours où l'indice mesurant la qualité de l'air est mauvais, 30 % des cyclistes du groupe décident de s'équiper de masques de protection.
On choisit au hasard 5 cyclistes dans ce groupe. On suppose que le nombre de cyclistes dans ce groupe est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage successif avec remise.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de cyclistes qui décident de s'équiper parmi les 5 cyclistes interrogés.

1. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

   Le nombre de cyclistes dans ce groupe est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage successif avec remise donc X suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\mathrm{0,3}$.

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2. Déterminer la probabilité qu'exactement deux cyclistes parmi les cinq interrogés décident de s'équiper.

   À l'aide de la calculatrice, $p\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\times {\mathrm{0,3}}^2\times {\left(1-\mathrm{0,3}\right)}^3\approx \mathrm{0,3087}$.

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'exactement deux cyclistes parmi les cinq interrogés décident de s'équiper est 0,309.

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3. Déterminer la probabilité qu'au moins un des cinq cyclistes interrogés décide de s'équiper.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(X⩾1\right)=1-p\left(X=0\right)& \text{soit}& p\left(X⩾1\right)=1-{\left(1-\mathrm{0,3}\right)}^5\approx \mathrm{0,8319}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins un des cinq cyclistes interrogés décide de s'équiper est 0,832.

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