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                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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pdftitle={Annales baccalauréat es session 2005}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Annales sujets bac mathématiques série ES Obligatoire},
pdfkeywords={Lectures graphiques, Fonction logarithme, Fonction exponentielle, Applications à l'économie, Adéquation à une loi équirépartie, Probabilités conditionnelles, Probabilités totales, Variables aléatoires discrètes, espérance mathématique, Loi binomiale, Ajustement affine d'un nuage de points, Ajustement exponentiel d'un nuage de points.}, 
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture}(17,4.5)
\DeclareFixedFont{\bigsf}{T1}{phv}{b}{n}{4.5cm}
\DeclareFixedFont{\smallrm}{T1}{ptm}{m}{n}{3mm}
\psboxfill{\smallrm \bleu mathématiques}
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\vspace{\stretch{2}}

\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales des sujets de mathématiques session 2005}}}
 
\vspace{\stretch{1}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{programme obligatoire}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
 
\begin{center}
\LARGE{\bf {Les sujets proposés sont établis à partir des énoncés mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
\newpage

\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\textsf{\textsc{{sommaire des sujets de la session 2005}}}}

 \vspace{\stretch{1}}
 
\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
}
\textsf{\tableofcontents}

\bigskip
 
\hrulefill

}
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}} 

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\lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat es session 2005}}}}
\rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{ES obligatoire}}}
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}

\section{AMÉRIQUE DU NORD 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (3 points)} \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
\emph{Les deux questions sont indépendantes. Les résultats seront arrondis à} $10^{-2}$.

\medskip

Le gouvernement d'un pays envisage de baisser un impôt de 30\,\% en cinq ans.

\begin{enumerate}
\item On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.

Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89\,\%.
\item  La première année cet impôt baisse de 5\,\%, la deuxième année la baisse est de 1\,\% et la troisième année de 3\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois premières années ?
		\item  Pour atteindre son objectif quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires (C.A.), en millions d'euros, sur la période 1994-2003.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{1.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année	&	1994&	1997&	1999&	2001&	2003\\ \hline
Rang $x_{i}$&		1&	4&	6&	8& 	10\\ \hline
C.A. $y_{i}$&	176&	209&	284&	380&	508\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points $M_{i}\left(x_i ; y_{i}\right)$ est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=100]{->}(0,0)(-.5,-50)(11,600)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](11,0){$x$}\uput[dl](0,600){$y$}
\savedata{\nuage}[ (1,176) (4,209) (6,284) (8,380)(10,508) ]
\dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots]{\nuage}
\uput[r](1,176) {\bleu $M_{1}$} \uput[r](4,209){\bleu $M_{2}$} \uput[r](6,284){\bleu $M_{3}$} \uput[r](8,380){\bleu $M_{4}$} \uput[r](10,508){\bleu $M_{5}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On pose $z_{i} =  \ln y_{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en arrondissant à $10^{-2}$ près, pour $i$ variant de 1 à 5, les valeurs $z_{i}$, associées aux rangs $x_{i}$ du tableau.
		\item Construire le nuage de points $N_{i}\left(x_{i} ; z_{i}\right)$ dans le repère orthogonal suivant :
 \begin{itemize}
 \item sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année ;
 \item sur l'axe des ordonnées, on placera 5 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter le nombre 0,1.
 \end{itemize}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer avec la calculatrice une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à $10^{-3}$ près) et tracer la droite $d$ dans le repère précédent.
		\item En déduire une relation entre $y$ et $r$ de la forme $y = A \times k^x$. (arrondir $A$ à l'entier près et $k$ à  $10^{-2}$ près)
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $d$ dans le même repère que celui du nuage de points $\left(N_{i}\right)$.
		\item Donner une estimation, arrondie au millier d'euros, du chiffre d'affaires en 2005.
		\item À partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à 1 milliard d'euros ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. 
 
L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans justification.

\textbf{Barème :}  Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.

\medskip

\begin{center}
\textbf{\textsf {\textsc{compléter le document réponse donné en annexe}}}
\end{center}

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{10cm}|X|}	\hline

\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\textsf {\textsc{questions}}}} & 	\multicolumn{1}{c|}{\textbf{\textsf {\textsc{réponses}}}}\\ \hline
\begin{enumerate}
	\item Soit une série statistique à deux variables $(x ~;~y)$. Les valeurs de $x$ sont 1, 2, 5, 7, 11, 13 et une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la   méthode des moindres carrés est $y = 1,35x +22,8$.
	
	Les coordonnées du point moyen sont :
\end {enumerate}   & \begin{itemize}
\item[$\square$] $(6,5 ; 30,575)$
\item[$\square$] $(32,  575 ; 6,5)$
\item[$\square$] $(6,5 ; 31,575)$
\end{itemize}  \\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $-5$.
	
	Laquelle de ces affirmations est exacte ?
\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] Pour tout entier $n$, $u_{n+1} - u_{n} = 5$
\item[$\square$] $u_{10}= u_{2}+ 40$
\item[$\square$] $u_{3} = u_{7} + 20$
\end{itemize}  	\\ \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	\item L'égalité $\ln (x^2 - 1) = \ln (x - 1) + \ln (x+1)$ est vraie :
	\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] pour tout $x$ de  $]- \infty ; -1[ \cup]1 ; + \infty[$
\item[$\square$] pour tout $x$ de $\R - \{-1~ ;~ 1\}$
\item[$\square$] pour tout $x$ de $]1~ ;~+\infty[$
\end{itemize}  	\\ \hline
 \begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
	\item Pour tout réel $x$, le nombre $\dfrac{\e^x - 1}{\e^x + 2}$ égal à :
	\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] $-\dfrac{1}{2}$
\item[$\square$] $\dfrac{\e^{-x} - 1}{\e^{-x} + 2}$
\item[$\square$] $\dfrac{1 - \e^{-x}}{1 + 2\e^{-x}}$
\end{itemize}  	\\ \hline
 \begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
	\item On pose $I= \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{1}{\e^x - 1}\dd x$ et $J = \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{\e^x}{\e^x - 1} \dd x$
	
	alors le nombre   $I-J$  est égal à :
	\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] $\ln \dfrac{2}{3}$
\item[$\square$] $\ln \dfrac{3}{2}$
\item[$\square$] $\dfrac{3}{2}$
\end{itemize}  	\\ \hline
 \begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
	\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(1 - \dfrac{2}{100}\right)^x \leqslant 0,5$ est :
	\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] $S= \left[- \infty ; \dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,98)}\right[ $
\item[$\square$] $S= \left[\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,98)} ; + \infty\right[$
\item[$\square$] $S=\left[\ln \left(\dfrac{0,5}{0,98}\right) ; +\infty\right[$
\end{itemize}  	\\ \hline

\end{tabularx}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!a@Fonction lecture graphique} 

 
On a représenté ci-dessous la courbe représentative $\Gamma$, dans un repère orthonormal, d'une fonction $f$ définie sur $\R$. La courbe $\Gamma$ passe par les points $A(0~;~2)$ et $C(-2~;~0)$ et la droite $(AB)$ est la tangente en $A$ à  $\Gamma$. La tangente à $\Gamma$ en son point $D$ d'abscisse $-1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(3.5,3.2) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)*EXP(-x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(3.5,3.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.25pt, linecolor=bleu]{-2}{0}{\f}
\psline[linewidth=.75pt](0,0)(-2,0)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.15}{3.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.5,2.7183)(-0.5,2.7183)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,3)(3.2,-1.2)
\uput[u](-1,2.7){\footnotesize{$D$}} \uput[ur](2,0){\footnotesize{$B$}} \uput[ur](0,2){\footnotesize{$A$}} \uput[ul](-2,0){\footnotesize{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée $f'$ de $f$ et une autre représente une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.


\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(0,6){\textsf {\small{Courbe 1}}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-3)(4,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.8}{4}{x 1 add neg 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=0.5cm}
 \begin{pspicture}(-4,-6)(4,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(0,4){\textsf {\small{Courbe 2}}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-5)(4,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.8}{4}{x 1 add  2.71828 x exp div}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-4,-6)(4,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(0,4){\textsf {\small{Courbe 3}}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-5)(4,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{4}{ 2  x 3 add  2.71828 x exp div sub}
\end{pspicture}


Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F$.

\emph{Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide des renseignements fournis par l'énoncé, les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
		\item On suppose que $f(x)$ est de la forme $f(x) =  (x+K)\e^{\alpha x}$ où $K$ et $\alpha$ sont des constante réelles.

Calculer $f'(x)$, puis traduire les renseignements trouvés à la question précédente par un système d'équations d'inconnues $K$ et $\alpha$.
 
En déduire que $f$ est définie par $f(x) =  (x+2)\e^{-x}$.
\end{enumerate}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $\varphi$ définie par $\varphi(x)= (-x -3)\e^{-x}$ est une primitive de $f$.
 		\item En déduire la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface hachurée.

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{AMÉRIQUE DU SUD 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!ab@Lecture de tableaux} 

 
Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 3x - 2 - 2x\ln x$.

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous le tableau de variations de $f$. Recopier ce tableau sur la copie.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le signe de $f'(x)$ sur chacun des intervalles $\left]0 ;\sqrt{\e}\right[$ et  $\left]\sqrt{\e} ; + \infty\right[$.
		\item Calculer la valeur exacte de $f\left(\sqrt{\e}\right)$.
	\end{enumerate}
	\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(11,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(11,3.6) \psline(1.7,0)(1.7,3.6) \psline(0,2.8)(11,2.8)\psline(0,2)(1.9,2) \psline(2.1,2)(11,2)
\psline(1.9,0)(1.9,2.8) \psline(2.1,0)(2.1,2.8)
\rput(.85,3.2){$x$}\rput(2,3.2){$0$} \rput(6.5,3.2){$\sqrt{\e}$} \rput(10.5,3.2){$+ \infty$}
\rput(.85,2.4){$f'(x)$} \rput(4.5,2.4){$+$} \pnode(6.5,2.8){m1}\pnode(6.5,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(8.5,2.4){$-$} 
\rput(.85,1){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{$-2$}} \rput(6.5,1.7){\rnode{B}{$f\left(\sqrt{\e}\right)$}} \rput(10.5,.3){\rnode{C}{$- \infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}
\end{pspicture}
\end{center}

\item À l'aide de ce tableau de variations, indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Si ces solutions existent, donner pour chacune d'elles la valeur décimale approchée arrondie au dixième (aucune justification n'est demandée).
\item Indiquer, en justifiant la réponse à l'aide du tableau de variations, si chacune des affirmations suivantes est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse} :
	\begin{enumerate}
		\item La courbe représentative de $f$ admet dans le plan muni d'un repère orthonormal, une asymptote verticale d'équation $x = 0$.
		\item Toute primitive de $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0~;~\sqrt{\e}\right[$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi binomiale} 

 
Lors d'un examen, Julien doit répondre à un Q.C.M.

À chaque question trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.

Pour chaque question, soit il connaît la réponse et répond de façon exacte, soit il ne la connaît pas et, dans ce cas, bien qu'il ait la possibilité de ne pas répondre, il préfère tenter sa chance et répond au hasard il a alors une chance sur trois que sa réponse soit exacte.

On suppose, de plus, que la probabilité que Julien connaisse la réponse à une question donnée est égale à $\dfrac{1}{2}$.

On note	C l'évènement \og Julien connaît la réponse \fg{}, E l'évènement \og la réponse est exacte \fg{}.
 
\medskip

\emph{Rappel de notation} : pour un évènement $A$ donné, $p(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Julien répond à une question du Q.C.M.
		
Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
		\item Démontrer que : $p(E) = \dfrac{2}{3}$.
		\item Calculer la probabilité que Julien connaisse la réponse à la question sachant que sa réponse est exacte.
	\end{enumerate} 
\item Le Q.C.M. est composé de trois questions indépendantes. Il est noté sur 3 points. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0. Soit $X$ la note obtenue par Julien à ce Q.C.M.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. On pourra s'aider d'un arbre. Les résultats seront donnés sous forme de fractions.
		\item Quelle est la probabilité que Julien ait au moins 1,5 point à ce Q.C.M. ?
		\item En supposant que tous les élèves se comportent comme Julien, quelle moyenne, arrondie au centième, peut-on attendre à ce Q.C.M. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Fonction lecture graphique} 

 
La courbe $(\mathcal{C})$, donnée en annexe  1, est la représentation graphique, dans un repère orthonormal \Oij{} du plan d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. La droite $(T)$ est la tangente à cette courbe au point de coordonnées $(0 ; 2)$. 

On appelle $\alpha$ la valeur de la variable $x$ pour laquelle $f$ admet un maximum noté $M$ : $M = f(\alpha)$ (la valeur de $\alpha$ n'est pas demandée).

On précise que $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$, $f'(0)$ sont des nombres entiers.

\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
\end{center}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Déterminer graphiquement $f(0)$, $f'(0)$ et le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ sur l'intervalle $[-6 ; 2]$.
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ; 2[$ par $g(x) = \ln \left[f(x)\right]$ et $g'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant notamment des résultats obtenus par lecture graphique de la courbe $(\mathcal{C})$, dresser le tableau de variations de $g$ et déterminer la limite de $g$ en 2.
		\item Déterminer $g'(0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, $F'$ désigne la dérivée de $F$ sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer à l'aide du graphique $F'(- 1)$ et $F'(2)$.
\item On admet qu'il est possible de trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$, $F(x) = \left(ax^2 + bx - 1\right)\e^x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $F'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$ et $b$.
		\item En utilisant les résultats trouvés à la question 1 de la \textbf{partie B}, démontrer que pour tout $x$ de $\R$, \[F(x) = \left(- x^2 +3x - 1\right)\e^x\]
		\item Calculer $F(2) - F(-1)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe} 1}}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(4,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-x^2+2)*EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=10,subgridcolor=gray,gridlabels=0](-6,-4)(4,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-4)(4,7)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](4,0){$x$}\uput[dl](0,7){$y$} \uput[d](0.5,0){\red $\vec i$}\uput[l](0,.5){\red $\vec j$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6}{2.148}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.5,-2.5)(1,5)
\uput[dr](-1.5,-2.5){\prune{$T$}}\uput[ur](2,4.5){\bleu{$(\mathcal{C})$}}
\end{pspicture}
\end{center} 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (5 points)} \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de personnes âgées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.

 On note $X_{i}$ l'année. L'indice $i$ varie de 1 à 11. Par commodité on pose $x_{i} = X_{i} - 1950.$
 
$y_{i}$ désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1\up{er} janvier de l'année $X_{i}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$X_{i}$&1950 &	1955 & 	1960& 	1965& 	1970& 	1975& 	1980& 	1985& 	1990& 	1995& 	2000\\ \hline
$x_{i}$&0&	5&	10&	15&	20&	25&	30&	35&	40&	45& 	50\\ \hline
$y_{i}$&	201& 	231& 	290& 	361& 	423& 	498 &	567 &	684 &	874 &	1079 &	1267\\ \hline
 \multicolumn {12}{r}{{\small\emph{Source :  INSEE, bilan démographique}. Champ : France métropolitaine.}} \\
\end{tabularx}


\begin{enumerate}
\item  Estimation à l'aide d'un graphique semi-logarithmique
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le repère semi-logarithmique fourni en annexe 2.
		\item Construire sur ce graphique la droite passant par les points $M_{1}(0 ; 201)$ et
$M_{11}(50 ; \np{1267})$ et justifier que l'ajustement du nuage à l'aide de cette droite est satisfaisant.
		\item En supposant que cet ajustement affine reste pertinent, déterminer graphiquement à partir de quelle année le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions.
	\end{enumerate}
\item La forme du nuage obtenu avec la représentation logarithmique invite à chercher un ajustement exponentiel. On pose $z = \ln y$.
	\begin{enumerate}
		\item	Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe. Arrondir les résultats au millième.
		\item	En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au millième.
		\item	En déduire une modélisation de $y$ en fonction de $x$ sous la forme  $y = A\e^{Bx}$.
(Le réel $A$ sera arrondi à l'unité et le réel $B$ au millième)
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$ par : $f(x) = 200\e^{0,037x}$ modélise de façon satisfaisante l'évolution de cette population.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant  2000$ et interpréter ce résultat.
		\item Calculer la valeur décimale approchée arrondie au millième de $\dfrac{1}{50}\displaystyle\int_{0}^{50} f(x)\dd x$.\\
Que représente ce résultat pour la population étudiée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe} 2}}

\medskip

\psset{xunit=0.2cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.2)(70,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psaxes[axesstyle=frame,logLines=y,xticksize=max,xsubticksize=1,ylogBase=10,tickcolor=darkgray,subtickcolor=gray,tickwidth=.25pt,subtickwidth=.25pt,ysubticks=9,xsubticks=1,Dx=10](70,4)
\uput[dr](0,2.3032){\bleu $M_{1}$} \uput[dr](50,3.10278){\bleu $M_{11}$} 
\psdots[dotstyle=*,linecolor=bleu](0,2.3032)(50,3.10278)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X_{i}$&1950 &	1955 & 	1960& 	1965& 	1970& 	1975& 	1980& 	1985& 	1990& 	1995& 	2000\\ \hline
$x_{i}$&0&	5&	10&	15&	20&	25&	30&	35&	40&	45& 	50\\ \hline
$y_{i}$&	201& 231& 290& 361& 423& 498 &567 &	684 &	874 &	1079 & 1267\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & & & & & & & & & & &\\ \hline
\end{tabularx} 


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{ANTILLES GUYANE 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pd@Q.C.M. Probabilités} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ;  pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte.

\textbf{Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la bonne affirmation sans justifier votre choix.}

\emph{Barème : À chaque question et attribué un certain nombre de points.}

\emph{Une réponse inexacte  enlève la moitié des points affectés. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, il est ramené à zéro.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline

\textsf {\textbf{\textsc{question} 1}}


Ce tableau incomplet donne les résultats d'un sondage dans une population de 60 personnes. \begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{l|}{}&Cadres&	Employés\\ \hline
Hommes & & 25\\ \hline
Femmes & 8 & 15\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On interroge une personne au hasard ; 

la probabilité que ce soit une femme sachant que c'est un cadre est : &$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{2}{5}$&$\dfrac{8}{23}$\\ \hline
\textsf {\textbf{\textsc{question} 2}}


Une loi de probabilité d'espérance $\mu$, de variance $V$ et d'écart type $\sigma$ est définie par le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
$x_{i}$&1	& 2 	& 3		& 4 \\ \hline
$p_{i}$&0,2 & 0,4 	& 0,1 	& 0,3\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On a alors :
 & $V= \dfrac{5}{4}$ & $\mu = 2$ & $\sigma = \dfrac{\sqrt{5}}{4}$\\  \hline
\textsf {\textbf{\textsc{question} 3}}


Soient C et D deux évènements indépendants. 

On donne $P(\mathrm{C}) = \dfrac{1}{3}$  et $P(\mathrm{D})  = \dfrac{1}{12}$.

On a alors : &	$P(\mathrm{D} \cap \mathrm{C}) = \dfrac{5}{12}$&$P(\mathrm{C} \cup \mathrm{D}) = \dfrac{7}{18}$&$P_{\mathrm{D}}(\mathrm{C}) = \dfrac{1}{36}$\\ \hline
\textsf {\textbf{\textsc{question} 4}}


On lance une pièce de monnaie équilibrée  quatre fois de suite. 

La probabilité d'obtenir au moins une fois pile est : &  $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{15}{16}$ & $\dfrac{1}{16}$\\ \hline
\textsf {\textbf{\textsc{question} 5}}


Une expérience aléatoire est représentée par  l'arbre ci-dessous où A et B sont deux évènements, $\overline{\mathrm{A}}$ et $\overline{\mathrm{B}}$ leurs évènements contraires.

\begin{center}
\psset{arrows=-,treesep=.7cm,levelsep=2.8cm,linewidth=.75pt,labelsep=4pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$\mathrm{A}$~}\naput{$0,2$}}
		{
\TR{$\mathrm{B}$}
\TR{$\overline{\mathrm{B}}$}\nbput{0,3}
 		}
	\pstree{\TR{~$\overline{\mathrm{A}}$~}}
		{
\TR{$\mathrm{B}$}\naput{$0,1$}
\TR{~$\overline{\mathrm{B}}$}
 		}
}
\end{center} 
Alors on a :& $P(\mathrm{B}) = 0,22$ & $P\left(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}\right) = 0,8$ & $P_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}) = 0,7$\\ \hline
\end{tabularx}



 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!ba@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
Soit $f$ une fonction dont le tableau de variations, incomplet est le suivant ; on désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(17,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(17,3.6) \psline(3,0)(3,3.6) \psline(0,2.8)(17,2.8)\psline(0,2)(9.8,2) \psline(10,2)(17,2)
\psline(9.8,0)(9.8,2.8) \psline(10,0)(10,2.8)
\rput(1.5,3.2){$x$}\rput(3.4,3.2){$+ \infty$} \rput(6.4,3.2){$-3$} \rput(9.9,3.2){$-1$}\rput(13.4,3.2){$1$}\rput(16.4,3.2){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.4){signe de $f'(x)$} \rput(4.9,2.4){$+$} \pnode(6.4,2.8){m1}\pnode(6.4,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(7.9,2.4){$-$}\rput(11.9,2.4){$-$} \pnode(13.4,2.8){n1}\pnode(13.4,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(14.9,2.4){$+$}
\rput(1.5,1){variations de $f(x)$} \rput(3.4,.3){\rnode{A}{$-\infty$}} \rput(6.4,1.7){\rnode{B}{$-6$}} \rput(9.4,.3){\rnode{C}{$\cdots$}} \rput(10.4,1.7){\rnode{D}{$+\infty$}}  \rput(13.4,.3){\rnode{E}{$2$}}  \rput(16.4,1.7){\rnode{F}{$\cdots$}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{D}{E}\ncline{E}{F}
\end{pspicture}

\medskip

On admet que $f$ est définie sur $]- \infty ; -1[~\cup~]-1 ; + \infty[$ par : $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x + 1}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de  $a$, $b$ et $c$.
\item En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci-dessus, montrer que l'on a : $a = 1$, $b = - 1$, $c = 4$.
\item Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations fourni.
\item Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ admet comme asymptote la droite $D$ d'équation $y = x - 1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $- \infty$.

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de son asymptote $D$.
\item Déterminer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^2 [f(x) - (x - 1)]  \dd x$ et interpréter le résultat en terme d'aire.
\end{enumerate}



 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (10 points)} \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production $C(x)$ d'un engrais en fonction de la masse $x$ produite.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs $x_{i}$ de masse d'engrais produite et celles $y_{i} = C(x_{i})$ des coûts totaux de production correspondants pour $i$ entier variant de 1 à 5.

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{5}{c|}}\hline
$x_{i}$ en tonnes 			& 10 	& 12 & 14 & 16 & 18\\ \hline
$y_{i}$ en centaines d'euros& 100 	&110 &145 &196 &308\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5~cm pour une tonne sur l'axe des abscisses et 0,05~cm  pour une centaine d'euros sur l'axe des ordonnées.)
\item On recherche une fonction définie sur l'intervalle $[10 ; 18]$ dont la courbe représentative \og ajuste \fg{} de façon acceptable le nuage de points.

Une fonction $f$ est dite \og acceptée \fg{} si, pour les cinq valeurs $x_{i}$ du tableau, on a : $- 10 \leqslant f(x_{i}) - C(x_{i}) \leqslant 10$.

	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $[10 ; 18]$ par : $f(x) = \e^{0,3x} + 80$.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à $10^{-2}$).

La fonction $f$ est-elle \og acceptée \fg{} ?

\begin{center}\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ & 10 & 12 & 14 & 16 & 18\\ \hline
$f(x_{i})$ & & & & & \\ \hline
$f(x_{i}) - C(x_{i})$ & & & & & \\\hline
\end{tabularx}\end{center}

		\item Étudier les variations de $f$ sur $[10 ; 18]$ et tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }étude d'une fonction auxiliaire}}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[10 ; 18]$ par $g(x) = (0,3x - 1)\e^{0,3x} - 80$.

\begin{enumerate}
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$.

Montrer que, pour tout $x$ de $[10 ; 18]$, on a : $g'(x) = 0,09x\e^{0,3x}$.

En déduire le sens de variations de $g$ sur $[10 ; 18]$.

\item Établir le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $[10 ; 18]$.

\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[10 ; 18]$ et donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$.

En déduire le signe de $g(x)$ sur $[10 ; 18]$.

\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Le coût moyen de production d'une tonne en fonction de la masse $x$ produite est  exprimé en centaines d'euros par : $C_{m}(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A} et $x \in [10 ; 18]$.

\begin{enumerate}
\item On désigne par $C'_{m}$ la fonction dérivée de la fonction $C_{m}$.
 
Calculer  $C'_{m}(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[10 ; 18]$.
\item Déduire à l'aide de la \textbf{partie B} le sens de variations de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[10 ; 18]$.
  \item Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal ?
  
Quel est ce coût à un euro près par défaut ?
   \end{enumerate}



 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{ANTILLES SEPTEMBRE 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Fonction lecture graphique} 

 
Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\left[- \dfrac{3}{2} ; + \infty\right[$.

\begin{itemize}
\item   Les points $J\left(- \dfrac{3}{2}~ ;~- \dfrac{3}{2}\right)$,  $K(- 1 ;  0$), $ A(1 ; \e)$ et $B(2 ; 2)$ sont des points de $\mathcal{C}$ ;
\item La tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\item La tangente à $\mathcal{C}$ en $B$ passe par $T(4 ;  0)$.
\item La droite d'équation $y =  1$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[- \dfrac{3}{2} ; 1\right[$ 	et strictement
décroissante sur $[1 ;  + \infty[$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(14,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{.25*EXP(1)*(-x^2+2*x+3)}
%\def\g{x*EXP(2-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-3,-3)(14,8)
\psset{unit=1.5cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(7,4)
\psaxes[labelsep=0,linewidth=1pt,linecolor=red,labels=none]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=250,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1.5}{1}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{2}{\g}
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-1.5,-1.5)(-.9,0.5)(0,2.71828)(1,2.71828)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](1,2.71828)(1.3,2.71828)(1.5,2.5)(2,2)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](2,2)(3,1)(5.5,1.2)(7,1.15)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,4)(5.5,-1.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(0.3,2.71828)(1.7,2.71828)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-1.5,1)(7,1)
\uput[dl](7,0){$x$}\uput[dl](0,4){$y$}\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[ul](1,2.71828){\bleu $A$}\uput[ur](2,2){\bleu $B$}\uput[ul](-1,0){\bleu $K$}\uput[ul](-1.5,-1.5){\bleu $J$}\uput[ur](4,0){\prune $T$}\uput[ul](7,1.2){\bleu $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\end{pspicture} 
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $f\left(- \dfrac{3}{2}\right),~ f(- 1),~f(1),~f(2)$ ainsi que la limite de $f$ en $+\infty$. 
		\item Donner, en justifiant vos réponses, les nombres $f'(1)$ et $f'(2)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x) =  \ln [f(x)]$ et $\Gamma$ sa représentation graphique.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle $I$ de définition de $g$. Calculer les limites de $g$ en $-1$ et en $+ \infty$.

En déduire les asymptotes à la courbe $\Gamma$ en précisant une équation pour chacune d'elles.
		\item Exprimer $g'(x)$ à l'aide de $f(x)$ et $f'(x)$. En déduire le tableau de
variations de $g$. 
		\item Déterminer $g(2)$ et $g'(2)$, puis une équation de la tangente à $\Gamma$ au point $B'$ d'abscisse 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!p@Probabilités conditionnelles, Probabilités totales}  

 
\emph{Dans cet exercice, A et B étant des évènements, $\overline{A}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement A, $P$(A) la probabilité de A et $P_{B}$(A) la probabilité de A sachant que B est réalisé.}

\medskip

Une entreprise fabrique des appareils en grand nombre. Une étude statistique a permis de constater que 10\,\% des appareils fabriqués sont défectueux.

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces appareils avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 80\,\% des appareils défectueux, mais il élimine également à tort 10\,\% des appareils non défectueux. Les appareils non éliminés sont alors mis en vente.

On prend au hasard un appareil fabriqué et on note $D$ l'évènement \og l'appareil est défectueux \fg{} et $V$ l'évènement \og l'appareil est mis en vente \fg{}.
\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer $P(V \cap  D)$ et $P\left(V \cap  \overline{D}\right)$.

En déduire que la probabilité qu'un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,83.
\item Calculer la probabilité qu'un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux.
\item Vérifier que $P_{V}(D) \approx  0,24 \times  P(D)$.

Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d'acquérir un appareil défectueux suivant que l'entreprise applique ou non le test de contrôle.
\end{enumerate}
\item Une entreprise décide d'appliquer le contrôle, tout en continuant à fabriquer le même nombre d'appareils. Elle fabriquait et vendait une quantité $q_{0}$ d'appareils au prix $p_{0}$.

\emph{Les pourcentages demandés  seront arrondis à l'unité. }
\begin{enumerate}
\item  Quelle est, en fonction de $q_{0}$ la nouvelle quantité $q_{1}$ d'appareils mis en vente après contrôle  ?
\item De quel pourcentage la quantité vendue a-t-elle diminué ? 
\item Quel doit être le nouveau prix $p_{1}$ (en fonction de $p_{0}$ pour que l'entreprise maintienne son chiffre d'affaires ?

Quel est alors le pourcentage d'augmentation du prix de vente ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (10 points)} \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la substance est éliminée par les reins. La quantité $q_{i}$ présente dans le sang ($q_{i}$ en milligrammes) à l'instant $t_{i}$ ($t_{i}$, en heures) a été mesurée par des prises de sang toutes les deux heures.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (heures)& 0	&2	&4	&6	&8	\\ \hline
$q_{i}$ (mg)	& 9,9&7,5	&5,5	&3,9	&3 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\textsf {\textbf{Modélisation par une fonction affine}}

Le nuage de points associé à la série $\left(t_{i} ; q_{i}\right)$  est représenté dans le repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}	
\begin{pspicture}(13,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(13,11)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(13,11)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=bleu](0,9.9)(2,7.5)(4,5.5)(6,3.9)(8,3)
\uput[dl](13,0){$t$ (heures)}
\uput[dl](0,11){$q$ (mg)}
\end{pspicture}

\medskip

\textsf {\small{\textsc{figure} 1}}
\end{center}
	
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $q$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à $10^{-2}$) ; tracer la droite $D$ sur la figure 1. 
\item En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, quelle estimation obtient-on de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures ? Qu'en pensez-vous ?
\end{enumerate}	

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\textsf {\textbf{Recherche d'un modèle mieux adapté}}

\begin{enumerate}
\item  Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point associé à la série  $\left(t_{i}~;~q_{i}\right)$.

Quel type d'ajustement l'allure de cette représentation permet-elle d'envisager ?
\item  On pose $y_{i} = \ln q_{i}$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (valeurs arrondies au centième). 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering}X|}}\hline
$t_{i}$ (heures)	& 0	& 2	& 4	& 6	& 8	\tabularnewline \hline
$y_{i}$ (mg)	& 	& 	& 	& 	& \tabularnewline \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite
d'ajustement affine de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis au centième). 
\item  Montrer que l'expression de $q$ en fonction de $t$ obtenue à partir de cet ajustement est de la forme $q = a \e^{-bt}$ où $a$ est arrondi à l'unité et $b$ au centième. 
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 15]$ par : $f(t) = 10\e^{-0,15t}$.

Tracer sa courbe représentative $\mathcal{C}$ sur la figure 1.
\item  On suppose que ce nouveau modèle reste valable pendant 12 heures.
Calculer à $10^{-1}$  près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures. Placer le point correspondant sur le graphique.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm}
\begin{pspicture}(13,1) 
\makeatletter
\multido{\nA=1+1}{9}{%
\multido {\nD=\nA+.2}{5}{\psplot[plotpoints=2,linewidth=0.1pt, linecolor=gray]{0}{13}{\nD\space log}}
\psplot[plotpoints=2,linewidth=0.25pt, linecolor=darkgray]{-0.1}{13}{\nA\space log}
  \rput[r](! \pst@number\pslabelsep \pst@number\psxunit div neg
             \nA\space log){\nA}}
 \psaxes[linewidth=.75pt,logLines=y,ylogBase=10,ysubticks=1,yticksize=0 13,xsubticks=5, xticksize=0 1,xsubticksize=1,tickwidth=0.25pt,xsubtickwidth=0.25pt,Dx=5,Ox=0,labels=x](13,1)            
\makeatother\uput[dl](13,0){$t$ (heures)}
\uput[dl](-.4,1){$q$ (mg)}
\end{pspicture}

\medskip

\textsf {\small{\textsc{figure} 2}}
\end{center}


\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{f(t+1) - f(t)}{f(t)}$. Interpréter le résultat par une phrase concernant le pourcentage de variation de la quantité de médicament présente dans le sang.
\item Le médicament reste efficace tant que la quantité présente dans le sang reste supérieure à 2 mg.

Déterminer graphiquement, à 1 heure près par défaut, la durée d'efficacité de l'injection.
\item  Calculer, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10~heures qui suivent l'injection.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{ASIE 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (3 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pd@Q.C.M. Probabilités} 

 
\emph{Pour chaque question, une seule réponse} \textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c},~ \emph{ou} \textbf{d}, \emph{est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève, aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif , la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

Les trois arbres donnés ci-dessous représentent des situations probabilistes. Les nombres indiqués sur les différentes flèches sont des  probabilités, et,  en deuxième niveau,  des probabilités conditionnelles. Ainsi pour l'arbre donné 	dans la question 1 : $0,35 = P(A)$ et $0,1 =  P_{A}(E)$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{question} 1}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{5.5cm}>{\raggedright \arraybackslash}X}	
\psset{arrows=-,treesep=.7cm,levelsep=2.5cm,linewidth=.75pt,labelsep=4pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$~}\naput{0,35}}
		{
\TR{$E$}\naput{0,1}
\TR{$F$}\nbput{0,9}
 		}
	\pstree{\TR{~$B$~}\nbput{0,65}}
		{
\TR{~$E$}\naput{0,5}
\TR{~$F$}\nbput{0,5}
 		}
} & La probabilité de l'évènement $E$ est égale à : 

\medskip

{ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; 0,5 & \textbf{b.}\; 0,1 &  \textbf{c.}\; 0,6 & \textbf{d.}\; 0,36
 \end{tabularx}}
\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{question} 2}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{5.5cm}>{\raggedright \arraybackslash}X}	
\psset{arrows=-,treesep=.7cm,levelsep=2.5cm,linewidth=.75pt,labelsep=4pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$~}\naput{0,35}}
		{
\TR{$G$}\naput{0,3}
\TR{$H$}\nbput{0,7}
 		}
	\pstree{\TR{~$B$~}\nbput{0,65}}
		{
\TR{~$G$}\naput{$x$}
\TR{~$H$}\nbput{$1-x$}
 		}
} & Les évènements $A$ et $G$ étant supposés indépendants, $x$ est égal à : 

\medskip

{ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; 0,35 & \textbf{b.}\; 0,1 &  \textbf{c.}\; 0,3 & \textbf{d.}\; 0,36
 \end{tabularx}}
\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{question} 3}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{5.5cm}>{\raggedright \arraybackslash}X}	
\psset{arrows=-,treesep=2.5cm,levelsep=5cm,linewidth=.75pt,labelsep=4pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$}\naput{0,35}}
		
	\pstree{\TR{~$B$}\nbput{0,65}}
		
} & Ici la situation probabiliste est associée à une expérience aléatoire schématisée par l'arbre ci-contre. 
Cette expérience aléatoire est répétée quatre fois de façon indépendante.

La probabilité d'obtenir au moins une fois l'évènement $A$ est égale à :
\medskip

{ \begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{X}}
\textbf{a.}\; 0,35 & \textbf{b.}\; 0,82149375 &  \textbf{c.}\; 0,17850625 & \textbf{d.}\; 0,01500625
 \end{tabularx}}
\\
\end{tabularx}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!e@Fonction application économique} 

 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par : $f(x) = \dfrac{20}{1 + 15\e^{-0,4x}}$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

Interpréter graphiquement le résultat.
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ modélise sur l'intervalle $[0 ; 14]$ la fonction coût total de production, en euro, d'un produit. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée $\Gamma$, est donnée en \textbf{\textsc{annexe} 1 (à rendre avec la copie)}.

 Pour une quantité de produit $q$, exprimée en tonnes et comprise entre $0$ et $14$, on pose donc : $f(q) = \dfrac{20}{1 + 15\e^{-0,4q}}$.

Pour tout $q$ dans l'intervalle $[0 ; 14]$, le quotient $\dfrac{f(q)}{q}$ est appelé coût moyen de production de $q$ tonnes de produit.
\begin{enumerate} 
\item Pour $q$ dans l'intervalle $[0 ; 14]$, soit $Q$ le point d'abscisse $q$ de la représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$.

Montrer que le coefficient directeur de la droite $\left(\mathrm{O}Q\right)$ est égal au coût moyen $\dfrac{f(q)}{q}$.
\item L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
 
Par lecture graphique indiquer la valeur de $q$ qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
 \end{enumerate} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{20/(1+15*EXP(-.4*x))}
\rput(6.5,22){\textsf {\textbf{\textsc{annexe } 1}}} 
\rput(6.5,21){\textbf{À rendre avec la copie}} 
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(14,20)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(14,20)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\uput[dl](14,0){$x$} \uput[dl](0,20){$y$}
\uput[ul](10,16){\bleu $\Gamma$} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{14}{\f}
\end{pspicture}
 \end{center}
 

 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (3 points)} \index{ANALYSE!a@Fonction lecture graphique} 

 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 6]$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est représentée ci-dessous.

Soit $A$ le point du plan de coordonnées $(-1; 0)$ et $B$ le point du plan de coordonnées $(1 ; 5)$. Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

La droite $(AB)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $f'(1)$, où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$.

\item L'une des trois courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$, et $\mathcal{C}_{3}$ représentées sur les figures 1, 2 et 3 ci-dessous,  représente la fonction $f'$. Laquelle ?

Justifier votre réponse.

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{130*x^2/(100*x^2-161*x+87)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(7,7)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(7,7)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[ur](2,3){\bleu $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-1.5,-1.25)(1.5,6.25)
\uput[ul](1,5){\bleu $B$}\uput[ul](-1,0){\prune $A$}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.65cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(7,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3,11.5){Figure 1}
\def\f{130*x*(174-161*x)/(100*x^2-161*x+87)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(7,11)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-4)(7,11)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,11){$y$}
\uput[ur](1,9){\bleu $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6}{\f}
\end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(-1,-3)(7,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3,5.5){Figure 2}
\def\f{4.5*x*(6-5*x)*EXP(-1.9*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(7,5)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[ur](1,3){\bleu $\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6}{\f}
\end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(-1,-1)(7,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3,7.5){Figure 3}
\def\f{.625*x*(6-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[ur](4,5){\bleu $\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6}{\f}
\end{pspicture}
 \end{center}
 

 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (9 points)} \index{STATISTIQUES!c@Ajustement d'un nuage de points} 

 
Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du prix d'une matière première.

\emph{On ne fera qu'un seul graphique qui sera complété tout au long des questions.}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

le tableau suivant donne le prix d'une tonne de matière première en milliers d'euros au 1\up{er} janvier de chaque année : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année & 1998&	1999&	2000 &	2001\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$ & 6,48 &5,74 & 5,19 & 5,01\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$, le plan étant rapporté a un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonnées).
\item Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l'évolution du prix de cette matière première.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la  calculatrice et les résultats seront donnés à $10 ^{-3}$ près).
		\item En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1\up{er} janvier 2005 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

En fait, à partir de l'année 2001, le prix d'une tonne de cette matière première commence à remonter, comme le montre le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année & 2001&	2002&	2003 &	2004\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$ & 3 &4 & 5 & 6\\ \hline
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$ & 5,01 &5,10 & 5,20 & 5,52\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Placer  sur le graphique de la  partie A les points associés à ce 2\up{e} tableau.
\item On désire trouver une fonction qui modélise l'évolution de ce prix sur la période 1998--2008.

Pour cela, on considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ; 11]$ par $f(x) = x + 10 - 5 \ln (x + 2)$.
 
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle, et on notera $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate} 
		\item Donner un tableau de valeurs de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ entières comprises entre $0$ et $11$. Les valeurs de la fonction seront arrondies à $10 ^{-2}$.
		\item Calculer $f'(x)$, puis étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 11]$.

Dresser son tableau de variations. Les valeurs des extremums seront données à $10 ^{-2}$ près.
		\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ sur le graphique de la  partie A.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ modélise l'évolution du prix de cette matière première sur la période 1998--2008.
	\begin{enumerate} 
		\item	Selon ce modèle, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1\up{er} janvier 2005 ?
		\item Déterminer en quelle année le prix d'une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 1998.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{CENTRES ÉTRANGERS 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (3 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. 

L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans  explication.

\emph{Barème : Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun  point. Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{11cm}| X|}	\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf {\textbf{\textsc{questions}}}}&\multicolumn{1}{c|}{\textsf {\textbf{\textsc{réponses}}}}\\ \hline
\begin{enumerate}
\item La fonction : $x \longmapsto \e x + \ln 2$ a pour dérivée :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $x \longmapsto \e x$ 
\item[$\Box$] $x \longmapsto \e x + \dfrac{1}{2}$
\item[$\Box$] $x \longmapsto \e$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item La fonction $x \longmapsto \ln (3x) + \ln 3$ a pour dérivée :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $x \longmapsto \dfrac{1}{3x} + \dfrac{1}{3}$ 
\item[$\Box$] $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$
\item[$\Box$] $x \longmapsto \dfrac{1}{3x}$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Sur $\R$, une primitive de la fonction $x \longmapsto  \e^{-2x + 3}$ est :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $x \longmapsto - 2 \e^{-2x + 3}$ 
\item[$\Box$] $x \longmapsto \e^{-2x + 3}$
\item[$\Box$] $x \longmapsto  - \dfrac{1}{2}\e^{-2x + 3}$
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Dans $\R$, l'équation : $\e^{2x} + \e^x - 6 = 0$ possède :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] 2 solutions
\item[$\Box$] 1 solution 
\item[$\Box$] 0 solution 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item Dans $]0 ; + \infty[$, l'équation : $\left(\ln x\right)^2 + \ln x - 6 = 0$ possède :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] 2 solutions
\item[$\Box$] 1 solution 
\item[$\Box$] 0 solution 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item Dans $\R$ l'équation : ${1,1}^x =  2,2$ a pour solution le nombre :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] 2
\item[$\Box$] $\ln 2$
\item[$\Box$] $\dfrac{\ln 2,2}{\ln 1,1}$
\end{itemize}\\  \hline
\end{tabularx}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Variable aléatoire, espérance mathématique} 

 
\begin{center}
\emph{Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles}
\end{center}

Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur les deux thèmes \og Cinéma \fg{} ou \og Musique \fg.

Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le  thème \og Cinéma \fg{}, les autres portant sur le thème \og Musique \fg.

Le candidat à ce jeu s'appelle Pierre.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{première partie}}}

\medskip

Dans cette partie, on pose à Pierre une question choisie au hasard dans la boîte et on sait que :

\begin{itemize}
\item La probabilité que Pierre réponde correctement à  une question du thème \og Cinéma \fg est égale à $\dfrac{1}{2}$.
\item La probabilité que Pierre réponde correctement une question du thème \og Musique \fg est égale à $\dfrac{3}{4}$.
\end{itemize}

On  considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
\item[] C : la question porte sur le thème \og Cinéma \fg,
\item[] M : la question porte sur le thème \og Musique.\fg,
\item[] E : Pierre répond correctement à la question posée.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement :

\og La question porte sur le thème \og Musique \fg{} et Pierre y a répondu correctement \fg.

\item Montrer que la probabilité de l'évènement E est égale à $\dfrac{2}{3}$.

\item On suppose que Pierre n'a pas répondu correctement à la question posée ; quelle est la probabilité pour que la question ait porté sur le thème \og Cinéma \fg{} ?
\end{enumerate}

(\emph{Certaines de ces réponses pourront être justifiées à l'aide d'un arbre de probabilités})

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{deuxième partie}}}

\medskip

 En fait le jeu se déroule de la façon suivante :

On pose à Pierre une première question (selon les modalités décrites dans la première partie) et il marque 5 points s'il répond correctement et le jeu s'arrête.

Sinon, on lui pose une deuxième question choisie, indépendamment de la première et il marque 2 points s'il répond correctement et le jeu s'arrête.

Sinon, on lui pose une  troisième question (choisie indépendamment des deux précédentes) et  il marque 1 point s'il répond correctement.

Sinon le jeu s'arrête et il ne marque aucun point.

À chaque fois qu'une question est tirée, on remet dans la boîte une question portant sur le même thème.

\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités.

\item Définir la loi de probabilité du nombre de points marqués par Pierre.

\item Calculer l'espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre.

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!a@Fonction lecture graphique} 

 
Sur la figure ci-dessous on donne les représentations graphiques $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ de deux fonctions $f_{1}$  et $f_{2}$ définies et dérivables sur $[0 ; 3]$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-.3,-.5)(3.5,3.5) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(x+1)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.3,-.3)(3.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=.1pt, linecolor=prune]{0}{1.71828}{\f}
\psline[linewidth=.75pt](0,2.71828)(0,0)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,2.71828)(3,-.281718)
\psline[linewidth=.5pt, linestyle=dashed](1.71828,0)(1.71828,1)(0,1)
\uput[l](3,1.5){\bleu $\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](1,2){\prune $\mathcal{C}_{1}$} 
\uput[l](0,2.71828){\footnotesize{$\e$}} \uput[d](1.71828,0){\footnotesize{$\e -1$}}
\rput(1.6,-.5){Figure 1} 
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item L'une des deux courbes représentées ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur [0 ; 3] par $f(x) = f_{1}(x) -  f_{2}(x)$.

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.3,-2)(3.5,3.5) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.71828-x-ln(x+1)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.3,-1.7)(3.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3}{\f}
\uput[l](0,2.71828){\footnotesize{$\e$}}
\rput(1.6,-2){Figure 2} 
\end{pspicture} \hfill
\begin{pspicture}(-.3,-2)(3.5,3.5) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.71828-8*ln(x+1)+8*x/(x+1)+.22*x^2}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.3,-1.7)(3.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3}{\f}
\uput[l](0,2.71828){\footnotesize{$\e$}}
\rput(1.6,-2){Figure 3} 
\end{pspicture}

Laquelle de ces deux courbes ne peut pas convenir ?

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de signes de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.
		\item Donner le tableau de signes de la fonction $f'$ dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.
	\end{enumerate}

\item On note $F$ une primitive de $f$ sur $[0 ; 3]$. Indiquer les variations de $F$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.
\item L'une des trois fonctions représentées ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $F$.

\medskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(3.5,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3.71828*x-.5*x^2-(x+1)*ln(x+1)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1)(3.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linestyle=dashed](1.71828,0)(1.71828,2.19453)(0,2.19453)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1,2.19453)(2.4,2.19453)
\uput[l](0,2.19453){\footnotesize{$\dfrac{\e^2-3}{2}$}}
\rput(1.25,-1.5){Figure 4} 
\end{pspicture} \hfill
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(3.5,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1)(3.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psbezier[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,2.71828)(.8,2.19453)(1,2.19453)(1.71828,2.19453)
\psbezier[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](1.71828,2.19453)(2,2.19453)(2.5,2.19453)(3,1)
\psline[linewidth=.5pt, linestyle=dashed](1.71828,0)(1.71828,2.19453)(0,2.19453)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1,2.19453)(2.4,2.19453)
\uput[l](0,2.19453){\footnotesize{$\dfrac{\e^2-3}{2}$}}
\rput(1.25,-1.5){Figure 5} 
\end{pspicture} \hfill
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(3.5,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3.71828*x-1.08198*x^2-1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1)(3.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linestyle=dashed](1.71828,0)(1.71828,2.19453)(0,2.19453)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1,2.19453)(2.4,2.19453)
\uput[l](0,2.19453){\footnotesize{$\dfrac{\e^2-3}{2}$}}
\rput(1.25,-1.5){Figure 6} 
\end{pspicture} 

\medskip

Justifier que les courbes représentées sur les figures 5 et 6 ne peuvent pas convenir.

\item Donner la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{\e - 1} f(x) \dd x$.

\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré sur la figure 1.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 

Un club sportif a été créé en 1998 ; à l'origine le nombre d'adhérents était égal à $600$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{première partie : } Étude du nombre d'adhérents de 1998 à 2004}}

\medskip 

On donne, dans le tableau ci-dessous, le nombre d'adhérents de 1998 à 2003 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
	Année &	1998 &	1999 &	2000 &	2001 &	2002 & 2003\\\hline
	Rang de l'année $x_{i}$ & 0 &	1 &	2 &	3 &	4 & 5\\\hline
	Nombre d'adhérents $y_{i}$ & 600 &	690 & 794 &	913 & 1,045 & 1,207 \\ \hline
 \end{tabularx}


\medskip

On pose $Y_{i} =  \ln \left(y_{i}\right)$ et on réalise un ajustement affine par la méthode des moindres carrés du nuage de points $\left(x _{i} ;  Y_{i}\right)$.

Une équation de la droite d'ajustement de $Y$ par rapport à $x$ est $Y =  0,14 x + 6,397$.

En utilisant cet ajustement :

\begin{enumerate}
\item Déterminer une prévision du nombre d'adhérents en 2004.

\item Justifier les affirmations suivantes :

	\begin{enumerate}
		\item $y_{i} = 600 \times  1,15^{x_{i}}$ ; 600 a été arrondi à l'unité, 1,15 a été arrondi au centième.

		\item De 1998 à 2004, on peut considérer que le nombre d'adhérents a augmenté de 15\,\% par an.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{Deuxième partie :} Étude du nombre d'adhérents à partir de l'année 2004}}

\medskip 

En fait le club a compté \np{2400} adhérents lors de l'année 2004.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; + \infty[$ par :  $f(x) = \dfrac{3\,600}{1 + 0,5 \e^{-x}}$.

On suppose que le nombre d'adhérents en $(2 004 + n)$  est égal à $f(n)$, où $n$ est un entier naturel.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ et l'interpréter.

\item On se propose de calculer le nombre moyen d'adhérents $M$ de 2005 à 2009 

	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Année &	2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009\\ \hline
$n$ &	1 & 2	& 3 & 4 & 5\\ \hline
$f(n)$ & \np{3040} &  &  &  &  \\ \hline 
 \end{tabularx}

\begin{center}
\emph{Les valeurs de $f(n)$ seront arrondies à l'unité}
\end{center}

		\item Calculer la valeur de $M$, moyenne du nombre prévisionnel d'adhérents entre 2005 et 2009 (le résultat sera arrondi à l'unité).

	\end{enumerate}

\item On  considère la fonction $F$ définie	sur $[0 ; + \infty[$ par : $F(x) =  \np{3600} \ln \left(\e^x + 0,5\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que  $F$ est une primitive de $f$ sur $[0 ; + \infty[$.

		\item Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $[0,5 ; 5,5]$.

On pourra constater que les valeurs $M$ et $\mu$ sont proches.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE JUIN 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (3 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
La courbe $(\mathcal{C})$ donnée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-3 ; + \infty[$.

On sait que le point $A$ de coordonnées $(0 ; 1)$ appartient à la courbe $(\mathcal{C})$ et que la fonction $f$ admet un minimum pour $x = 0$. En outre, les droites d'équations respectives $y = 4$ et $x = -3$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(15,18) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{(3*EXP(-x)-12)/(x+3)+4}
\def\f{(6*EXP(-.5*x)-15)/(x+3)+4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-2)(15,18) 
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-2)(15,18) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,18){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.543}{15}{\f}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](-5,4)(15,4) 
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](-3,-2)(-3,18) 
\uput[ur](0,1){\bleu $A$}
\uput[dl](-3,0){\footnotesize{$-3$}} \uput[d](1,0){\footnotesize{$1$}} \uput[ul](0,4){\footnotesize{$4$}} 
\end{pspicture}
\end{center}
Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.

\emph{Une réponse exacte rapporte  $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{9cm}| X|}	\hline
\begin{enumerate}
\item La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $+ \infty$ 
\item[$\Box$] $-3$
\item[$\Box$] 4 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-3 ; + \infty[$.
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $f'(0)= 1$ 
\item[$\Box$] $f'(1) = 0$
\item[$\Box$] $f'(0) = 0$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item L'équation de la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A$ est :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $y = 1$ 
\item[$\Box$] $y = x$
\item[$\Box$] $y = 0$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Sur l'intervalle $]-3 ; +\infty[$, l'équation $f(x) = x$ :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] n'admet aucune solution 
\item[$\Box$] admet comme solution unique : $x = 0$
\item[$\Box$] admet une solution unique appartenant à l'intervalle $]1 ; 2[$ 
\end{itemize}\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

Dans les deux questions suivantes, on considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-3 ; + \infty[$ par $g = \ln \circ f$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{9cm}| X|}	\hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item Si $x =0$, alors :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] on ne peut pas calculer $g(x)$ 
\item[$\Box$] $g(x) =1$ 
\item[$\Box$] $g(x)= 0$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item On peut affirmer que sur l'intervalle $]-3 ; +\infty[$ :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $g$ a les mêmes variations que la fonction $\ln$ 
\item[$\Box$] $g$ a les mêmes variations que la fonction $f$
\item[$\Box$] $g$ a les variations inverses de celles de la fonction $f$ 
\end{itemize}\\  \hline
\end{tabularx}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{STATISTIQUES!a@Ajustement affine d'un nuage de points} 

 
En 2004, une caisse de retraite propose à ses adhérents un barème de rachat d'un trimestre de cotisation des années antérieures selon le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge de l'adhérent en années	& 54 & 55 & 56 & 57	& 58\\  \hline
Rang $x_{i}$ & 0	& 1	& 2	& 3	& 4\\ \hline
Montant $y_{i}$ du rachat d'un trimestre de cotisation en euros & \np{2229} & \np{2285} & \np{2340} & \np{2394} & \np{2449}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{(Source : \textsl{CARMF} mai 2004)}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'augmentation en pourcentage du montant du rachat d'un trimestre entre un salarié de 54 ans et un salarié de 58 ans. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
\item Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal : 

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour une unité ;
\item	sur l'axe des ordonnées, on placera \np{2200} à l'origine et on choisira 1 cm pour 20 euros.
\end{itemize}

\item \emph{Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.}

Le nuage de points permet de penser qu'un ajustement affine est justifié. 

Donner une équation de la droite de régression $(D)$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. 

Représenter la droite $(D)$ dans le repère précédent.
\item Quel serait avec cet ajustement affine le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans ?
\item En fait le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans est de \np{2555} euros et le montant du rachat d'un trimestre après 60 ans est calculé de la façon suivante : à partir de 60 ans, le montant du rachat baisse de 3\,\% par an.

Calculer le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié ayant 65 ans.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (7 points)} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par : $f(x) = x - 2 +10\e^{-0,5x}$.

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $(D)$ la droite d'équation $y = x - 2$. La courbe $(\mathcal{C})$ est partiellement représentée en  annexe ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item On pose $\alpha =2 \ln 5$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(\alpha) = \alpha$.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$,pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0 ;  + \infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0 ;  + \infty[$, et dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x -2)] = 0$ et que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ;  + \infty[$, $f(x) - (x - 2) >0$.

Donner l'interprétation graphique de ces résultats.

\item Sur le graphique donné en annexe (\emph{à rendre avec la copie}) :
	\begin{enumerate}
		\item placer le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $\alpha$ ;
		\item tracer la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $\alpha$ ;
		\item tracer la droite $(D)$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{A}$ l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(D)$ et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 6$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique, donné en annexe, le domaine E, puis exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.
		\item Déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, puis en donner la valeur arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,9) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x-2+10*EXP(-.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(9,9)  
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(9,9)  
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,9){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$1$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$1$}} 
\end{pspicture}
\end{center}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!p@Probabilités conditionnelles, Probabilités totales}  

 
Une usine d'emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70\,\% de l'approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.

Avant d'être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites \og hors calibre \fg, sont rejetées.

Il a été constaté que 20\,\% des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre, 5\,\% des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre et 4\,\% des pommes fournies par le troisième producteur sont hors calibre.

Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude du problème qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées.

Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante : un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de \og bon calibre \fg ou \og hors calibre \fg.

Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.

On appellera $F_{1}$ l'évènement : \og la pomme prélevée provient du premier producteur \fg

$F_{2}$ l'évènement : \og la pomme prélevée provient du deuxième producteur \fg

$F_{3}$ l'évènement : \og la pomme prélevée provient du troisième producteur \fg

$C$ l'évènement : \og la pomme prélevée a un bon calibre \fg

$\overline{C}$ l'évènement : \og la pomme prélevée est hors calibre \fg.

\emph{Tous les résultats de cet exercice seront donnés à  $10^{-4}$  près.}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des évènements $F_{2}$ et $F_{3}$.
\item Recopier sur votre copie et compléter l'arbre suivant :

\begin{center}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=.75pt,labelsep=4pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$F_{1}$~}\taput{0,7}}
	  { 
		  \TR{~$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{~$\overline{C}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{~$F_{2}$~}\taput{\ldots}}
	  {
		  \TR{~$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{~$\overline{C}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
	\pstree{\TR{~$F_{3}$~}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{~$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{~$\overline{C}$}\tbput{\ldots}
	  }
}
\end{center}

\item Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est \np{0,1440}.
\item Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : \np{0,8465}.
\item La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme :

\begin{center} \og Cette pomme provient très probablement du premier producteur \fg. \end{center}

Quel calcul permet de justifier cette affirmation ?

Faire ce calcul et conclure.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE SEPTEMBRE 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (3 points)} \index{STATISTIQUES!a@Ajustement affine d'un nuage de points} 

 
Une enquête menée pour le compte d'une entreprise a permis d'établir le nombre d'acheteurs d'un produit X selon le montant de son prix de vente. Les résultats de l'enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous dans lequel :

\begin{itemize}
\item $x_{i}$ désigne le prix de vente unitaire (en euros) du produit X ;
\item $y_{i}$ le nombre d'acheteurs en milliers.
\end{itemize}


\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|*6{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&1		&1,50	&2	&3	&4\\ \hline
$y_{i}$	&3,75	&2,8	&2	&1	&0,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan (unités graphiques : 4 cm pour 1 euro en abscisse et 2 cm pour \np{1000} acheteurs en ordonnée).
\item On recherche un ajustement affine de la série $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		
\emph{Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront arrondies au centième ; on ne demande aucune justification.}
		\item Tracer cette droite dans le même repère que précédemment.
		\item Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Variable aléatoire, espérance mathématique} 

 
Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton.

Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre. Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible.

Lorsque la bille n'atteint pas la cible elle revient à son point de départ.

Dans la suite de l'exercice, on notera :

\begin{itemize}
\item[] C l'évènement \og la cible est atteinte \fg{} ;
\item[] B l'évènement \og la bille est avalée \fg.
\end{itemize}
  
Une étude préliminaire a démontré que :


	\begin{itemize}
	\item la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à 0,3 ;
	\item  lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à 0,2.
	\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de probabilité.
\item On actionne le bouton.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P_{1}$ que la bille soit avalée.
		\item Calculer la probabilité $P_{2}$ qu'elle reste sur la cible.
	\end{enumerate}
Une partie se déroule selon la règle ci-dessous.

Pour jouer, on paie 0,50 euro et on actionne le bouton qui lance la bille :


\begin{itemize}
\item si la bille est avalée, on gagne un lot d'une valeur de $g$ euros ;
\item si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
\item si la bille rate la cible, on perd la mise.
\end{itemize}

\item Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d'un joueur : on recopiera et on
complétera le tableau ci-dessous ; aucune justification n'est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*3{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Gain & $- 0,50$ &	0&	$g -0,50$\\ \hline
Probabilité  & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'espérance de gain d'un joueur en fonction de $g$ est :
\[\text{E} = 0,06g - 0,38.\]
		\item On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées.
		
Pour quelles valeurs de $g$ les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (8 points)} \index{ANALYSE!e@Fonction application économique} 

 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

L'objet de cet exercice est l'étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ donnée en annexe (\emph{à rendre avec la copie}) est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 5]$ par : $f(x) = \e^{-0,7x+2,1}$.

De même, la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ est la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 5]$ par : $g(x) = 0,5x + 0,7$.

 On admet que les fonctions $f$  et $g$ sont dérivables sur l'intervalle $[0 ; 5]$.
\begin{enumerate}
\item On appelle $h$ la fonction définie par $h(x) = f(x) -  g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0 ; 5]$.
		\item Étudier le signe de $h'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 5]$. En déduire que la fonction $h$ est strictement monotone sur cet intervalle.
		\item Justifier que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[0 ; 5]$ et donner à l'aide d'une calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près (on ne demande pas de justification sur la méthode d'obtention de cette valeur).
		\item Déduire de l'étude précédente les valeurs arrondies à $10^{-2}$ des coordonnées du point d'intersection $F$ de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite du problème, on prendra $\alpha = 2,17$ et $f(\alpha) = g(\alpha) = 1,79$.
	\begin{enumerate}
		\item Soient les points $C\left(0 ;  f(\alpha)\right)$ et $E\left(\alpha ;  0\right)$. Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire du rectangle $OCFE$ exprimée en unités d'aire.
		\item  Interpréter graphiquement le nombre $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x) \dd x$.
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x) \dd x$ en fonction de $\alpha$ et en donner la valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


La fonction $f$ définie dans la  partie A  représente la fonction de demande d'un produit ; elle met en correspondance le prix $f(x)$ exprimé en milliers d'euros et la quantité $x$, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.

La fonction $g$ définie dans la partie A est la fonction d'offre de ce produit ; elle met en correspondance le prix $g(x)$ exprimé en milliers d'euros et la quantité $x$, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.

On appelle prix d'équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note $p_{0}$ le prix d'équilibre et $q_{0}$ la quantité échangée sur le marché à ce prix.

Dans la situation étudiée on a donc : $f\left(q_{0}\right) = g\left(q_{0}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Déduire des résultats donnés dans la partie A les valeurs de $q_{0}$ et de $p_{0}$.
\item Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix $p_{0}$) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition $\displaystyle\int_{0}^{q_{0}} f(x) \dd x - p_{0} \times   q_{0}$. Il s'exprime ici en milliers d'euros.
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de l'annexe :

\begin{itemize}
		\item  indiquer les valeurs $q_{0}$ et $p_{0}$ sur les axes de coordonnées ;
		\item  hachurer le domaine dont l'aire s'écrit : $\displaystyle\int_{0}^{q_{0}} f(x) \dd x - p_{0} \times   q_{0}$.
\end{itemize}
		\item Calculer, en milliers d'euros, le surplus des consommateurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}

\medskip

\psset{unit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,10) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.7*x+2.1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(10,10) 
\psset{xunit=3cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1)(5,10) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}\uput[dl](5,-.25){quantité} \uput[dr](0,10){prix}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](0,.7)(5,3.2) 
\uput[u](4.25,.4){\bleu $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$}\uput[u](4.25,3){\prune $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$}
\uput[u](2.2,1.8){\bleu {$F$}} 
\end{pspicture}
\end{center}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (4 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule réponse est exacte. On demande de cocher cette réponse.

\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point.  L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{11cm}| X|}	\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf {\textbf{\textsc{questions}}}}&\multicolumn{1}{c|}{\textsf {\textbf{\textsc{réponses}}}}\\ \hline
\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet pour tangente au point d'abscisse 1, la  droite d'équation :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $y = x + 1$ 
\item[$\Box$] $y = x - 1$
\item[$\Box$] $y = x + \e$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item La représentation graphique de la fonction exponentielle admet pour asymptote :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] la droite d'équation $y = x$ 
\item[$\Box$] l'axe des abscisses
\item[$\Box$] l'axe des ordonnées 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item La fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{4}\e^{-2x} + \ln (2x + 4)$ est une primitive sur l'intervalle $]-2 ;  + \infty[$  de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-2 ;  + \infty[$ par :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $g(x) = \dfrac{1}{2}\e^{-2x} + \dfrac{2}{x + 2}$ 
\item[$\Box$] $g(x) = - \dfrac{1}{2}\e^{-2x} + \dfrac{1}{x + 2}$
\item[$\Box$] $g(x) = - \dfrac{1}{2}\e^{-2x} + \dfrac{1}{2x + 4}$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item L'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3 \dd x$ est égale à :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $- 0,5$
\item[$\Box$] 0
\item[$\Box$] 0,5 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle  $\left]\dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$ par $f(x)  = \dfrac{-2x^3 + 3x - 1}{(2x - 1)^3}$ est égale à :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] 1
\item[$\Box$] $-1$
\item[$\Box$] $- \dfrac{1}{4}$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item Le diagramme en boîte ci-dessous résume une série statistique dont la médiane est :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5.7,1) \psframe(0.9,0.4)(4.2,1)
\psline(2.2,0.4)(2.2,1)
\psline(0,0.7)(0.9,0.7) \psline(4.2,0.7)(5.8,0.7)
\psline(0,0.55)(0,0.85) \psline(5.8,0.55)(5.8,0.85)
\uput[d](0,0.32){$a$} \uput[d](0.9,0.4){$b$} \uput[d](2.2,0.32){$c$} \uput[d](4.2,0.4){$d$} \uput[d](5.8,0.32){$e$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $\dfrac{1}{2}(a + e)$
\item[$\Box$] $\dfrac{1}{2}(b + d)$
\item[$\Box$] $c$ 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
\item La droite des moindres carrés associée à une série statistique à deux variables passe par le point moyen	du nuage :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] jamais
\item[$\Box$] dans certains cas seulement
\item[$\Box$] toujours 
\end{itemize}\\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{7}
\item Selon l'INSEE les prix à la consommation ont augmenté de 8,9\,\% du 1\up{er} janvier 1998 au 31 décembre 2003.

Si le taux d'évolution des prix d'une année à la suivante était fixe de 1998 à 2003, et égal à $t\,\%$, la valeur de $t$ arrondie à $10^{-2}$ qui donnerait la même augmentation des prix à la fin de l'année 2003, serait égale à :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] 1,48\,\%
\item[$\Box$] 1,72\,\%
\item[$\Box$] 1,43\,\% 
\end{itemize}\\  \hline
\end{tabularx}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{LIBAN 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Fonction lecture graphique} 

 
Dans un repère orthonormal du plan \Oij{} d'unités graphiques 2 cm, la courbe $(\Gamma)$, tracée ci-dessous, est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 3,5]$.

\begin{itemize}
\item $I$ et $J$ sont les points du plan tels que $\vv{\mathrm{O}I} = \vec{i}$ et $\vv{\mathrm{O}J} = \vec{j}$ ;
\item $C$ est le point de $(\Gamma)$ situé sur la bissectrice de $\widehat{I\mathrm{O}J}$ ;
\item $(\mathrm{O}A)$ est la tangente en O à $(\Gamma)$ ;
\item $\mathcal{S}$ est la surface hachurée sur la figure ci-dessous :
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14,9) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.65 .65 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(112*x-7)/(32*x^2+28)+.25}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(14,9) 
\psset{unit=2cm}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=.1pt,hatchsep=8pt]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=grisb](1,0)(0,0)}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-.25)(3.5,2.25) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,2.25){$y$}
\uput[d](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{3.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{->}(0,0)(.55,2.2) 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,0)(2,2) 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.6,2)(1.4,2) 
\uput[l](3.5,1.4){\bleu $(\Gamma)$}
\uput[u](1,2){\bleu {$B$}}\uput[ul](.5,2){\prune $A$} \uput[r](1.8,1.8){\bleu {$C$}} 
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le tableau de variations de $g$ sur $[0 ; 3,5]$ ?
		\item Quelles sont les valeurs de $g'(0)$ et de $g'(1)$ ?
		\item Quelles sont les coordonnées du point $C$ ?
		\item Résoudre l'inéquation $g(x) \geqslant x$ sur $[0 ; 3,5]$.
	\end{enumerate}
\item Définir la surface $\mathcal{S}$ par un système d'inéquations et déterminer graphiquement un encadrement de l'aire de $\mathcal{S}$ d'amplitude $2 \mathrm{cm}^2$.

\emph{Rappel : l'aire d'un trapèze est donnée par la formule : $\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$ où $B$ et $b$ sont les bases du trapèze et $h$ sa hauteur.}

\item On suppose que l'une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive de la fonction $g$ s'annulant en $0$. En justifiant l'élimination de deux des courbes, indiquer celle qui est la représentation graphique de cette primitive.


\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
\rput(3,5.5){Courbe \no 1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psset{unit=1.2cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(3.5,2.5) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,2.5){$y$}
\uput[d](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.85}{ x sqrt x dup mul 3 div add}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
\rput(3,5.5){Courbe \no 2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psset{unit=1.2cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(3.5,2.5) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,2.5){$y$}
\uput[d](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.57}{1.75*ln((8*x^2+7)/7)-.233854*atg(1.06904*x)+.25*x}
%\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{1.57}{8 x dup mul mul 7 add 7 div ln 1.75 mul x 4 div add 1.06904 x mul ATAN .233854 mul sub}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
\rput(3,5.5){Courbe \no 3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psset{unit=1.2cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(3.5,2.5) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,2.5){$y$}
\uput[d](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3.5}{10*x^2*EXP(-2*x)}
\end{pspicture}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Un fournisseur d'accès à internet, souhaite faire une prévision du nombre de ses abonnés pour l'année 2005, il établit un relevé du nombre des abonnés des années 2000 à 2004.

Il affecte l'indice 100 à l'année 2000 pour établir la statistique des abonnés et consigne les données sur le tableau et le graphique ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&2000	&2001	&2002	&20003	&2004\\ \hline
Rang $x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
Indice $y_{i}$ 	&100	&112	&130	&160	&200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1)(10,15)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(10,15)
\psset{xunit=3cm,yunit=.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=1,Oy=100,Dy=50]{-}(0,0)(5,150)
\savedata{\nuage}[(0,0)(1,12)(2,30) (3,60)(4,100)]
\dataplot[dotscale=.8,linecolor=bleu,plotstyle=dots,linewidth=2pt]{\nuage}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le nombre d'abonnés était  de 2040 pour l'année 2000, de combien est-il pour l'année 2004 ?
\item Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 2003 et 2004 ?
\item Quelle est l'équation  de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ?
\item Quelles prévisions du nombre d'abonnés peut-on faire pour les années 2005 et 2010 ?

\emph{On arrondira à l'entier le plus proche.}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le fournisseur décide d'utiliser un changement de variable pour obtenir un autre ajustement, il crée un nouveau tableau en posant $Y = \ln (y)$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau. \emph{On donnera des valeurs approchées à} $10^{-2}$.

\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$				&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$Y_{i} = \ln y_{i}$	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le plan muni d'un repère, construire le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i} ; Y_{i}\right)$ et la droite de régression de $Y$ en $x$ donnée par l'équation : $Y = 0,17x + 4,39$.
\item Exprimer le nombre d'abonnés $n_{i}$ en fonction du rang $x_{i}$ de l'année.

\item En déduire une nouvelle prévision du nombre d'abonnés pour les années 2005 et 2010.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (4 points)} \index{ANALYSE!ab@Lecture de tableaux} 

 
\begin{center}

\textsf {\textbf{\textsc{tableau d'informations \no 1}}}

\medskip
	\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,3) \psline(0,1)(16.5,1) \psline(0,2)(16.5,2)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\rput(1.75,2.5){$x$} \rput(4,2.5){$- \infty$}\rput(7,2.5){$-1$} \rput(10,2.5){$\dfrac{1}{2}$} \rput(13,2.5){$2$} \rput(16,2.5){$+ \infty$} 
\rput(1.75,1.5){Signe de $u(x)$} \rput(5.5,1.5){$+$} \pnode(7,2){m1}\pnode(7,1){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(8.5,1.5){$-$}\psline(10,2)(10,1)\rput(11.5,1.5){$-$} \pnode(13,2){m3}\pnode(13,1){m4}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m3}{m4}\ncput*{0}\rput(14.5,1.5){$+$}
\rput(1.75,0.5){Signe de $u'(x)$} \rput(5.5,0.5){$-$} \psline(7,1)(7,0)\rput(8.5,0.5){$-$}\pnode(10,1){n1}\pnode(10,0){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(11.5,0.5){$+$}  \psline(13,1)(13,0)\rput(14.5,0.5){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}


Le tableau d'informations \no 1 ci-dessus fournit des informations sur une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item Établir un tableau des variations de la fonction $u$.
\item On considère maintenant les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = \ln [u(x)]$ et $g(x) = \e^{u(x)}$ où $u$ désigne la fonction de la question précédente.
	\begin{enumerate}
		\item Une des deux affirmations suivantes est fausse, laquelle ? Justifier en précisant le bon ensemble de définition :
\begin{itemize}
\item[] Affirmation 1 : \og La fonction $f$ est définie sur $\R$ \fg{} ;
\item[] Affirmation 2 :  \og La fonction $g$ est définie sur $\R$ \fg.
\end{itemize}
		\item Donner les variations des fonctions $f$ et $g$. Énoncer le(s) théorème(s) utilisé(s).
		\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\ x > 2}} f(x)$
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Voici d'autres informations relatives à la fonction $u$ et à sa dérivée $u'$.

\begin{center}

\textsf {\textbf{\textsc{tableau d'informations \no 2}}}

\medskip


\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	\rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $-2$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & 2 & 3\\ \hline
$u(x)$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & 4 & $-2$	& $- \dfrac{9}{4}$ & 0 & 4\\ \hline
$u'(x)$	& $-5$ & 1 & 0 & 3 & 5 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Terminer chacune des deux phrases \textbf{a.} et \textbf{b.} par la réponse qui vous semble exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre choix.

	\begin{enumerate}
		\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 2 est parallèle :
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{@{\;$\bullet\quad$}>{\raggedright \arraybackslash} X|}}\hline
	\rule[-2ex]{0pt}{6ex} à	l'axe des abscisses &  à la droite d'équation $y = x$ &  à la droite d'équation  $y = 3x$\\ \hline
\end{tabularx}


		\item Le nombre $f'(-2)$ :
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{@{\;$\bullet\quad$}>{\raggedright \arraybackslash} X|}}\hline
	\rule[-2ex]{0pt}{6ex} n'existe pas & vaut $- 20$ & vaut $- \dfrac{4}{5}$ &  vaut $-\dfrac{5}{4}$ & vaut $\dfrac{5}{4}$\\ \hline
\end{tabularx}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi binomiale} 

 
On propose aux élèves, Quentin, Nicolas et Lucien de répondre à un Q.C.M. comportant quatre questions dont voici le barème et les instructions :

Pour chaque question, une seule des quatre propositions A, B, C ou D est exacte.

L'élève recopie sur sa feuille une grille de réponses présentée comme ci-dessous :

\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}\hline
~~Question~~& Réponse :\\
 & A, B, C, D\\ \hline
1& \\ \hline
2& \\ \hline
3& \\ \hline
4& \\ \hline
\end{tabular}\end{center}

Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point.

L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

\textbf{Les trois candidats répondent correctement à la première question.}

\begin{enumerate}
\item Quentin choisit de ne pas répondre à la question \no 2 et de donner une réponse à chacune des deux dernières questions, en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des quatre réponses proposées.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M. ?
		\item Combien de grilles différentes peut-il remplir ? 
 		\item Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ? 
 		\item Quelle probabilité a-t-il de faire deux fautes ? 
 		\item Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité. En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.
	\end{enumerate}
 \item Nicolas adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable l'une des quatre réponses proposées.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M. ? 
 		\item Combien de grilles différentes peut-il remplir ? 
 		\item Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ? 
 		\item Quelle probabilité a-t-il de faire trois fautes ? 
 		\item Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité. En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.
	\end{enumerate} 
\item Lucien choisit de ne répondre à aucune des trois dernières questions.

Classer les stratégies de Quentin, Nicolas et Lucien.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{NOUVELLE CALÉDONIE 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!d@Calcul intégral} 

 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X m{6cm}@{}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 6]$ par :
\[f(x)=\dfrac{3}{4}x^2 -3x + 6\]
La courbe $(\mathcal{C}_f)$ ci-contre est représentative de la
fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan d'origine O.


La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe $(\mathcal{C}_f)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la
droite d'équation $x = 6$. &
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14,32) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.75*x^2-3*x+6}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(14,32)
\psset{unit=.8cm}
\pscustom[linewidth=.25pt, linecolor=prune]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{0}{6}{\f} \gsave
\psline(6,0)(0,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt,hatchsep=8pt]\grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(7,16) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,16){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f} 
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](6,0)(6,15)
\end{pspicture}
\end{tabularx}


\begin{enumerate}
\item Calculer, en unités d'aire, l'aire $S$ de la partie hachurée.
\item On considère un point $M$ appartenant à la courbe  $(\mathcal{C}_f)$ d'abscisse $x$ avec $x \in [0 ; 6]$.

La parallèle à l'axe des ordonnées passant par $M$ coupe l'axe des abscisses en un point $H$.

La parallèle à l'axe des abscisses passant par $M$ coupe l'axe des  ordonnées en un point $K$.

On appelle $R(x)$ l'aire, en unités d'aire, du rectangle $\mathrm{O}HMK$.

Prouver que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 6]$, $R(x) = 0,75x^3-3x^2+6x$.
\item On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de $x$ de l'intervalle $[0 ; 6]$ telles que l'aire $R(x)$ du rectangle $\mathrm{O}HMK$ soit égale à l'aire hachurée $S$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le problème précédent revient à résoudre l'équation  $g(x)=0$ où   $g$ est la fonction définie sur l'intervalle  $[0 ; 6]$ par : $g(x) = 0,75x^3-3x^2+6x-36$.
  
		\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$ et   dresser le tableau de variation de $g$. 
		
		En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet sur l'intervalle $[0 ; 6]$ une solution unique $\alpha$.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Dans une ville, deux fournisseurs d'accès au réseau internet sont en concurrence.

Pour  étudier l'évolution du nombre d'abonnés à ces deux fournisseurs $A$ et $B$, on a reporté dans le tableau suivant, à la fin de chaque année, le nombre total d'abonnés déclaré par chacun des deux fournisseurs.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
    \hline
Année &1999&2000&2001&2002&2003&2004\\ 
    \hline
Rang $x_i$ de l'année &1&2&3&4&5&6\\ 
    \hline 
Nombre total $y_i$ d'abonnés par  le fournisseur $A$  & 975 & \np{1443} & \np{2049} & \np{2930} & \np{4220} & \np{5850} \\ \hline
 Nombre total $t_i$ d'abonnés par le fournisseur $B$ & \np{4012} & \np{4813} & \np{5872} & \np{7281} & \np{8664} & \np{10432} \\  \hline
\end{tabularx}
  
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9.5,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,ylabelFactor=\,000](0,0)(-.25,-.8)(6.5,12)
\uput[dl](0,0){0} 
\multido{\n=1+1}{12}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](0,\n)(6.5,\n)}
\psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=2, linecolor=bleu](1,.975)(2,1.443)(3,2.049)(4,2.930)(5,4.220)(6,5.850)
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=2, linecolor=prune](1,4.012)(2,4.813)(3,5.872)(4,7.281)(5,8.664)(6,10.432)
\psframe(7,5)(9.3,7)
\psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=2, linecolor=bleu](7.2,5.5)
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=2, linecolor=prune](7.2,6.5)
\uput[r](7.5,5.5){\bleu{Fournisseur $A$}}
\uput[r](7.5,6.5){\prune{Fournisseur $B$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier les deux dernières lignes du tableau suivant en les complétant.

On détaillera chacun des quatre calculs et on arrondira les résultats à l'entier le plus proche.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} &\footnotesize{Augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004} & \footnotesize{Pourcentage
    d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004} & \footnotesize{Pourcentage
    \textbf{annuel moyen} d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004}\\ \hline
    Fournisseur A& \dots  &   500 \%  & \dots \%  \\\hline
    Fournisseur B& \np{6420}  & \dots \% & \dots \% \\ \hline
\end{tabularx}
\item 
\begin{enumerate}
\item L'allure du nuage de points associé à la série statistique $(x_i ; y_i)$ permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose $Y_i=\ln (y_i)$.

Écrire une  équation de la droite $(d)$ d'ajustement de $Y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.

\emph{Les calculs seront faits avec la calculatrice (sans justification) et les résultats finaux seront arrondis au millième.}
\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre  d'abonnés au fournisseur $A$ en 2006.
\end{enumerate}
\item L'allure du nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i ; t_i\right)$ permet d'envisager un ajustement exponentiel.

En posant $T_i= \ln (t_i)$, on obtient, par la méthode des moindre carrés, une  équation de la droite $(\Delta)$ d'ajustement de $T$ en $x$ sous la forme : $T=0,193x+8,102$ (ce résultat est admis).

En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre d'abonnés au fournisseur $B$ en 2006.
\item En supposant que les ajustements précédents restent pertinents, préciser l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés au fournisseur $A$ dépassera le nombre d'abonnés au fournisseur $B$.

Justifier.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (9 points)} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$ par : $f(x)=\ln (2x - 4)$.

On appelle $(\mathcal{C}_f)$ la courbe tracée ci-dessous, représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\displaystyle (\mathcal{C}_f)$ ?
		\item Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations.
		\item La courbe $(\mathcal{C}_f)$ coupe l'axe des  abscisses au point $A$. Quelles sont les coordonnées exactes de $A$ ?
		\item Déterminer une  équation de la droite $(T)$ tangente en $A$ à la courbe  $(\mathcal{C}_f)$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(11,9) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\newrgbcolor{vertf}{.05 .3 .2}
\newrgbcolor{indigo}{.39 0.01 .51}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(2*x-4)}
\def\g{2+.5*EXP(x)}
\pscustom[linewidth=.25pt, linecolor=vertf]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{0}{2}{\g} \gsave
\psline(0,5.69453)(0,2.5)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb]\grestore}
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(22,18) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(11,9) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,9){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{2.067}{11}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=indigo]{-4}{2.639}{\g}  
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=red,linestyle=dashed](-2,-2)(9,9)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.5,-2)(7,9)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-4,.5)(11,8)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](2,0)(2,5.69453)(0,5.69453)
\uput[ur](10,3){\bleu $(\mathcal{C}_f)$} \uput[ul](2.5,0){\bleu $A$}
\uput[dr](10,7.5){\prune $(T')$}
\uput[dr](9,9){\red $(D)$}
\uput[dl](6.75,9){\prune $(T)$}
\uput[dr](2.6,9){\indigo $(\mathcal{C}_g)$}\uput[dr](0,2.5){\indigo $A'$}\uput[r](2,5.7){\indigo $E$}
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune](2.5,0)(0,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Sur la figure ci-dessus, on a tracé la courbe  $(\mathcal{C}_f)$, le point $A$, la droite $(T)$ et la droite $(D)$
  d'équation $y=x$. 
  
  Par la symétrie axiale d'axe $(D)$, la courbe $(\mathcal{C}_f)$ se transforme en une courbe $(\mathcal{C}_g)$   représentative d'une fonction $g$ définie dans $\R$. 
  
  On admet que, pour tout $x$ réel, $g(x)$ s'écrit sous la forme $g(x) = a + b \e^x$ où   $a$ et $b$ sont deux nombres réels. 
  
  La courbe  $(\mathcal{C}_g)$ ainsi construite passe par le point $A'$ image de $A$ par la symétrie d'axe $(D)$. 
  
  De plus, la courbe $(\mathcal{C}_g)$ admet au point $A'$ une tangente $(T')$ qui est l'image de la droite $(T)$ par la symétrie d'axe $(D)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justification, le coefficient directeur de la droite $(T')$.
		\item Calculer $a$ et $b$ en justifiant soigneusement les calculs.
		\item Calculer l'ordonnée exacte du point $E$ appartenant à $(\mathcal{C}_g)$ et ayant pour abscisse 2.
		\item Quelles sont les coordonnées du point $E'$ image de $E$ par la symétrie d'axe $(D)$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle \int_0^2 \left(2+  \dfrac{1}{2} \e^x\right) \dd x$.
		\item En déduire l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, du domaine hachuré défini par la courbe  $(\mathcal{C}_g)$, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par $E$. On demande la valeur exacte du résultat.
		\item Expliquer comment on peut en déduire, sans faire de calculs, la valeur exacte de $\displaystyle \int_{\frac{5}{2}}^{2+\frac{1}{2}\e^2}  f(x)  \dd x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{POLYNÉSIE 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (6 points)} \index{STATISTIQUES!c@Ajustement d'un nuage de points} 

 
Une entreprise étudie la progression de ses bénéfices ou pertes, évalués au premier janvier de chaque année, depuis le 1\up{er} janvier 1999. Chaque année est identifiée par son rang.

À l'année 1999 est attribué le rang 0 et à l'année $1999 + n$ le rang $n$ ainsi 2001 a le rang 2.

Le tableau ci-dessous indique pour chaque rang $x_{i}$ d'année le bénéfice ou perte réalisé, exprimé en milliers d'euros et noté $y_{i}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{1.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 \\ \hline
$y_{i}$ &-25,000 &-3,111 &9,892 &17,788 &22,598 &25,566 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  

On cherche à approcher ces bénéfices par une fonction.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; + \infty[$ par $f(x) = - \e^{\left(-\frac{x}{2}+ 4 \right)} + 30$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour 4 unités en ordonnées.

\begin{enumerate}
\item  On considère que l'approximation des bénéfices par $f$ est satisfaisante si la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées $y_{i}$ et les valeurs approchées $f\left(x_{i}\right)$ est inférieure à $0,5$.

L'approximation par $f$ est-elle satisfaisante ? (Le résultat obtenu à l'aide de la calculatrice constituera une justification acceptable pour cette question.)
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote $D$ dont on précisera l'équation.
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $D$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0 ; + \infty[$ et dresser le tableau de variations.
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le modèle que constitue la fonction $f$, en quelle année le bénéfice évalué au 1\up{er} janvier dépassera-t-il \np{29800} euros ?
		\item Ce bénéfice atteindra-t-il \np{30000} euros ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item Construire $\mathcal{C}_{f}$, en faisant apparaître tous les éléments graphiques mis en évidence dans les questions précédentes.
 \end{enumerate}
 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Variable aléatoire, espérance mathématique} 

 
Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges.

 $10\,\%$ des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus.

Un joueur tire un jeton au hasard.

\begin{itemize}
\item S'il est rouge, il remporte le gain de base. 
\item S'il est blanc, il remporte le carré du gain de base. 
\item S'il est bleu, il perd le cube du gain de base.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On suppose que le gain de base est 2 euros.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité sur l'ensemble des résultats possibles.

		\item Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.
	\end{enumerate}

\item On cherche à déterminer la valeur $g_{0}$ du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d'euro.

 Soit $x$ le gain de base en euros.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = -0,1x^3 + 0,3x^2 + 0,6x\]

		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Déterminer $f'(x)$.

		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

		\item Conclure sur le problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (4 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pd@Q.C.M. Probabilités} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des quatre questions, une et une seule affirmation est exacte. 

\textbf{Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l'affirmation exacte ; aucune justification n'est demandée sauf pour la question 4.}

\emph{ Barème des trois premières questions} :

\emph{À chaque question est attribué $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}

\begin{enumerate}
\item Soient $A$ et $B$ deux évènements. Il est possible que :
\begin{itemize}
\item[\textbullet] $p(A) =0,8$ et $p(B)= 0,4$ et $p\left(A \cap B\right) = 0,1$.
\item[\textbullet] $p(A) =0,7$ et $p(B)= 0,5$ et $p\left(A \cap B\right) = 0,2$.
\item[\textbullet] $p(A) =0,8$ et $p(B)= 0,9$ et $p\left(A \cap B\right) = -0,1$.
\end{itemize}

\item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $p(A) = 0,3$ et $p(B) = 0,2$. Alors :

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $p\left(A \cap B\right) = 0,5$.
\item[\textbullet] Les informations précédentes ne suffisent pas à calculer $p\left(A \cap B\right)$.
\item[\textbullet] $p\left(A \cap B\right) = 0,06$.
\end{itemize}


\item Si $A$ et $B$sont deux évènements incompatibles mais non impossibles, alors $A$ et $B$ sont indépendants.

\begin{itemize}
\item[\textbullet] Cette affirmation est vraie.
\item[\textbullet] Cette affirmation est fausse.
\item[\textbullet] On ne peut pas savoir.
\end{itemize}

\item On justifiera soigneusement la réponse à cette question.

On répète quatre fois de manière indépendante une expérience aléatoire dont la probabilité de succès est 0,35. Alors la probabilité d'obtenir au moins un succès est:

\begin{itemize}
\item[\textbullet] environ 0,015.
\item[\textbullet] environ 0,821.
\item[\textbullet] environ 0,985.
\end{itemize}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Fonction lecture graphique} 

 
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2 ; 10]$. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

On précise que le point d'abscisse 4,83 de $\mathcal{C}_{f}$ a pour ordonnée 1,86 et que cette valeur est le maximum de la fonction $f$.

On note $\mathcal{C}_{F}$ la courbe représentative de la primitive $F$ de $f$ qui s'annule en 1. On précise que le point $A(5 ; 5,43 )$ appartient à $\mathcal{C}_{F}$.

On note $\mathcal{C}_{f'}$ la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$ de $f$.

Toutes les estimations graphiques seront données à 0,25 près. Les résultats des calculs numériques seront arrondis à $10^{-2}$.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^2/2-2)*EXP(-x/2)+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-2)(10,3)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(10,3)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$} 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{10}{\f}
\uput[ul](10,1.4){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement sur quel(s) intervalle(s) $\mathcal{C}_{f'}$ est située en dessous de l'axe des abscisses.
		\item Déterminer, en justifiant, l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_{F}$ en $A$.
		\item Préciser, en justifiant, le sens de variation de $F$ sur l'intervalle $[-2 ; 10]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\int_{1}^5 f(t) \dd t$.
		\item Rappeler la formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle $[a ; b]$ et donner une interprétation de cette notion dans le cas où $f$ est positive.
		\item Donner la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 5]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{PONDICHÉRY 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (6 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Variable aléatoire, espérance mathématique} 

 
Une entreprise étudie la progression de ses bénéfices ou pertes, évalués au premier janvier de chaque année, depuis le 1\up{er} janvier 1999. Chaque année est identifiée par son rang.

À l'année 1999 est attribué le rang 0 et à l'année $1999 + n$ le rang $n$ ainsi 2001 a le rang 2.

Le tableau ci-dessous indique pour chaque rang $x_{i}$ d'année le bénéfice ou perte réalisé, exprimé en milliers d'euros et noté $y_{i}$.

Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. L'appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour. 

Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l'une des deux formules d'entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l'appartement en fin de séjour par le personnel d'entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d'entretien). 

Le gestionnaire a constaté que :

\begin{itemize}
\item 60\,\% des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci 20\,\% ne souscrivent aucune formule d'entretien ; 
\item La formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par 45\,\% des locataires de Studio et par 55\:\% des locataires de deux-pièces ; 
\item 18\:\% des locataires ne souscrivent aucune formule. 
\end{itemize}


On rencontre un résident au hasard. 

Soit S l'évènement \og Le résident a loué un studio \fg 

A l'évènement \og Le résident a souscrit la formule Simple \fg 

B l'évènement \og Le résident a souscrit la formule Confort \fg 

R l'évènement \og Le résident n'a souscrit aucune formule d'entretien \fg 

\begin{enumerate} 
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ? 
		\item Calculer $P_{\mathrm{S}}$(B). 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $P(\mathrm{R} \cap \mathrm{S})$ ; en déduire $P\left(\mathrm{R} \cap \overline{\mathrm{S}}\right)$. 
		\item Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu'il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15. 
	\end{enumerate} 
\item Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation. 
\item La location d'un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d'un deux-pièces 480 euros. La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros. 

Soit $L$ le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs $L_{i}$. On désigne par $p_{i}$, la probabilité que le coût de la semaine soit égal à $L_{i}$. 

	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$L_{i}$ & 350 	&370 	&390 	&480 	& 500 	&520 \\ \hline 
$p_{i}$ & 0,12 	& 		&0,21 	& 		& 		& 0,12\\ \hline 
\end{tabularx}

		\item Calculer l'espérance de $L$. En donner une interprétation. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte. 

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l'affirmation exacte sans justifier votre choix. 

\emph{Barème : À chaque question est attribué 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
 
\emph{Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]4 ; + \infty[$ par $f(x) = -2x + 1 - \dfrac{8}{x - 4}$ et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. 

\begin{enumerate} \item Une autre expression de $f(x)$ est 

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $f(x)= -2x+1 - \dfrac{2}{x - 1}$
\item[\textbullet] $f(x) = \dfrac{2x^2 - 9x+12}{4 - x}$
\item[\textbullet] $f(x) = \dfrac{2x^2 + 9x - 2}{x - 4}$
\end{itemize}

\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]4  ;  + \infty[$. Une expression de $f '(x)$ est 

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $f'(x) = - 2 - \dfrac{8}{(x - 4)^2}$ 
\item[\textbullet] $f'(x) = \dfrac{ (2 - x)(x - 6)}{(x - 4)^2}$
\item[\textbullet] $f'(x) = \dfrac{- 2x^2 +16x - 24}{(x - 4)^2}$
\end{itemize}

\item La courbe $\Gamma$ admet pour asymptote 

\begin{itemize}
\item[\textbullet] la droite d'équation $y =4$ 
\item[\textbullet] la droite d'équation $x =4$
\item[\textbullet] la droite d'équation $y = 4x$ 
\end{itemize}

\item La droite d'équation $y = - 2x +1$ est 

\begin{itemize}
\item[\textbullet] asymptote à la courbe $\Gamma$ 
\item[\textbullet] située en dessous de la courbe $\Gamma$ 
\item[\textbullet] tangente à la courbe $\Gamma$. 
\end{itemize}

\item La fonction $x \longmapsto F(x)$ donnée par 

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $F(x) = -x^2 + x + 8 (x - 4)^2$ 
\item[\textbullet] $F(x) = -x^2 + x + 8 \ln(x - 4)$ 
\item[\textbullet] $F(x) = -x^2 + x - 8 \ln(x - 4)$ 
\end{itemize}
 
est une primitive de $f$ sur $]4  ;  + \infty[$. 

\end{enumerate} 
 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (4 points)} \index{ANALYSE!f@Réstitution organisée de connaissances} 

 
L'objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\dfrac{\ln x}{x}\right) = 0$. 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :} Étude d'une fonction}}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \ln x - \sqrt{x}$. 

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on a : $f'(x) = \dfrac{2 - \sqrt{ x}}{2x}$. 
\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $]0  ;  +\infty[$ (les limites aux bornes ne sont pas demandées). 
\item Justifier alors que, pour tout $x$ de $]0  ;  +\infty[$, on a : $\ln x < \sqrt{x}$. 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :} Utilisation des théorèmes de comparaisons}}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement supérieur à 1, on a : $0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$ . En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)$. 

\emph{ On rappelle que la dérivée de la fonction $x \longmapsto \sqrt{x}$  est $x \longmapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.}
\end{enumerate}
 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (5 points)} \index{STATISTIQUES!c@Ajustement d'un nuage de points} 

 
Le tableau suivant donne la population d'une ville nouvelle entre less années 1970 et 2000. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année & 1970 & 1975 & 1980 & 1985 & 1990 & 1995 & 2000\\ \hline 
Rang de l'année $x$ & 0 & 5 & 10 &15 & 20 & 25 & 30\\ \hline 
Population en milliers d'habitants $y$ & 18& 21& 25& 30& 36&42& 50\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

Le nuage de points associé à ce tableau est représenté graphiquement sur l'annexe jointe le rang $x$ de l'année est en abscisse et la population $y$ en ordonnée. 

\emph{Cette annexe sera complétée au fur et à mesure des questions et rendue avec la copie.} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}  Un ajustement affine}}

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). 

Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe. 
\item Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près. 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}  Un ajustement exponentiel}}

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item L'allure du nuage incite à chercher un ajustement par une fonction $f$ définie sur $[0 ; + \infty[$ par $f(x) = a\e^{bx}$ où $a$ et $b$ sont des réels. 

Déterminer $a$ et $b$ tels que $f(0) = 18$ et $f(30) = 50$. On donnera une valeur arrondie de $b$ au millième. 
\item Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près. 
\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur le graphique donné en annexe. 
\item La population en 2003 était de 55 milliers. Lequel des deux ajustements vous semble le plus pertinent ? Justifier votre choix. 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c :}  Calcul d'une valeur moyenne}}

\medskip

On considère maintenant que, pour une année, la population est donnée en fonction du rang $x$ par  \[f(x) = 18\e^{0,034x}\] 

\begin{enumerate} 
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[0 ; 30]$ ; on donnera le résultat arrondi au dixième. 
\item À l'aide d'une lecture graphique, déterminer l'année au cours de laquelle la population atteint cette valeur moyenne ? 
\end{enumerate} 

\medskip

\begin{center} 
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.5)(7,13)
\rput(3.4,12.75){\textsf {\textbf{\textsc{annexe :}  à rendre avec la copie}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(7,12)
\psset{xunit=.4cm,yunit=.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx =5,Dy=5]{->}(0,0)(-.5,-1)(35,60)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](35,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,60){\footnotesize {$y$}}
\savedata{\nuage}[(0,18)(5,21)(10,25) (15,30)(20,36) (25,42) (30,50)]
\dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots,linewidth=2pt]{\nuage}
\end{pspicture}
\end{center}
 


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{LA RÉUNION 2005} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Variable aléatoire, espérance mathématique} 

 
Au rayon \og image et son \fg{} d'un grand magasin, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine. Une personne se présente :


\begin{itemize}
\item la probabilité qu'elle achète le téléviseur est $\dfrac{3}{5}$ ;
\item la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle achète le téléviseur est $\dfrac{7}{10}$ ;
\item la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle n'achète pas le téléviseur est	$\dfrac{1}{10}$.
\end{itemize}


On désigne par $T$ l'évènement : \og la personne achète le téléviseur \fg{} et par $L$ l'évènement : \og la personne achète le lecteur de DVD \fg.

On notera $\overline{T}$ et $\overline{L}$ les évènements contraires respectifs de $T$ et de $L$.
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Déterminer les probabilités des évènements suivants (les résultats seront donnés sous forme de fractions) :
	\begin{enumerate}
		\item \og la personne achète les deux appareils \fg
		\item \og la personne achète le lecteur de DVD \fg
 		\item \og la personne n'achète aucun des deux appareils \fg.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que, si la personne achète le lecteur de DVD, la probabilité qu'elle achète aussi le téléviseur est $\dfrac{21}{23}$.
 \item Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500 \euro{} et le lecteur de DVD 200 \euro{}. 
 
 Pendant cette semaine, le magasin fait une remise de 15\,\% pour l'achat d'un seul des deux appareils et de 25\,\% pour l'achat des deux appareils. 
 
 On désigne par $D$ la dépense effective (en \euro) de la personne.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs possibles de $D$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de $D$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $D$.
		\item Le responsable du rayon \og image et son \fg{} prévoit qu'il se présentera dans la semaine 80 personnes intéressées par ces deux appareils. 
		
		Quel chiffre d'affaires peut-il espérer effectuer sur la vente de ces deux appareils ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (4 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} 

\emph{Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note totale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
 
 \item La population d'une commune rurale diminue de 2\,\% par an. Sa population aura diminué de moitié dans :
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : 15 ans &	\textbf{B} : 20 ans&	\textbf{C} : 35 ans &	\textbf{D} : 50 ans 
 \end{tabularx}
  \medskip 
 
 \item Le prix d'un article augmente d'un certain pourcentage puis baisse immédiatement du même pourcentage. Finalement le prix de cet article :
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : a augmenté&	\textbf{B} : a baissé&	\textbf{C} : n'a pas varié&	\textbf{D} : on ne peut pas savoir
 \end{tabularx}
 
 \medskip 
 
 \item La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000. Le taux d'accroissement moyen annuel a été de :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : 3\,\%&	\textbf{B} : 2,75\,\%	&\textbf{C} : 2,5\,\%&	\textbf{D} : 1,75\,\%
 \end{tabularx}

\medskip

\item Pour tout réel $x$, $\left(\e^x\right)^2  \times \e^{3x - 1}$ est égal à :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A}  : $\e^{x^2 + 3x - 1}$ & 	\textbf{B}  : $\e^{2x(3x - 1)}$ &	\textbf{C}  : $\dfrac{\e^{5x}}{\e}$&	\textbf{D} : $\dfrac{\e^{\left(x^2\right)}}{\e^{1-3x}}$
 \end{tabularx}
 
 \medskip

\item Le nombre $-2$ est solution de l'équation :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : $\e^x= -2$&	\textbf{B} : $\e^{\ln x}   = -2$&	\textbf{C} : $\ln x = - \ln 2$&	\textbf{D} : $\ln \e^x = - 2$
 \end{tabularx}
 
 \medskip

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln (x + 3) < \ln 6$ est :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : $S=]-\infty ; 3[$&	\textbf{B} : $S = ]-3 ; 3[$&	\textbf{C} : $S=]0 ; 3[$&	\textbf{D} : $S = ]3 ; +\infty[$
 \end{tabularx}
  
 \medskip

\item La valeur moyenne sur l'intervalle $[1 ; 3]$ de la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{1}{x}$ est :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : 6 &	\textbf{B} : 15&	\textbf{C} : 21&	\textbf{D} : 63
 \end{tabularx}
   
 \medskip

\item $\displaystyle\int_{1}^4 x^2 \dd x = $  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : $\dfrac{1}{2}$ &	\textbf{B} : $\dfrac{2}{3}$&	\textbf{C} : $\ln \sqrt{3}$&	\textbf{D}: $\ln 2$
 \end{tabularx}
\end{enumerate}
 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Sur un parcours donné, la consommation $y$ d'une voiture est donnée en fonction de sa vitesse moyenne $x$ par le tableau suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ (en km/heure)	& 80 & 90 & 100 & 110 & 120 \\ \hline
$y$ (en litres/100 km)&	4 &	4,8 & 6,3 & 8 &	10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item La consommation est-elle proportionnelle à la vitesse moyenne ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 2 cm pour 10 km/h sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1 litre sur l'axe des ordonnées).
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et le placer sur le graphique.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme $y = ax + b$, de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés et tracer cette droite (on arrondira $a$ au millième et $b$ au centième).
		\item En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture pour une vitesse de 130 km/h.
	\end{enumerate}
\item La forme du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. 

On pose : $z = \ln y$ et on admet que la droite d'ajustement obtenue pour les cinq points $(x ; z)$ du nuage par la méthode des moindres carrés, a pour équation $z =  0,0234 x -  0,5080$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $y$ sous la forme $y = A\e^{Bx}$~ (donner $A$ et $B$  arrondis à $10^{-4}$).
		\item Tracer, sur le même graphique, la courbe d'équation $y = A\e^{Bx}$ pour $x$ élément de l'intervalle $[80 ; 120]$.
		\item En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture, pour une vitesse de 130 km/h.
	\end{enumerate}
\item Des deux valeurs obtenues dans les questions  {2. d)}  et  {3. c)}, pour la consommation à une vitesse de 130 km/h, laquelle vous semble la plus proche de la consommation réelle ? Expliquer votre choix.
\end{enumerate}
 

 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!b@Fonction logarithme I} 

 
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $]0 ;  1[\,\cup\, [1 ; + \infty[$
par  $f(x) = \dfrac{1}{x \ln x}$ et on nomme $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal \Oij{} du plan.


\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16,4) \psline(2.2,0)(2.2,4) \psline(0,3)(16,3)\psline(0,2)(2.4,2) \psline(2.6,2)(11.4,2)\psline(11.6,2)(16,2)
\psline(2.4,0)(2.4,3) \psline(2.6,0)(2.6,3)\psline(11.4,0)(11.4,3) \psline(11.6,0)(11.6,3)
\rput(1.1,3.5){$x$}\rput(2.5,3.5){0} \rput(7,3.5){$\dfrac{1}{\e}$} \rput(11.5,3.5){$1$}\rput(15.5,3.5){$+ \infty$}
\rput(1.1,2.5){$f'(x)$} \rput(4.75,2.5){$+$} \pnode(7,3){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.5){$-$}\rput(13.5,2.5){$-$}
\rput(1.1,1){$f(x)$} \rput(3,.3){\rnode{A}{$-\infty$}} \rput(7,1.7){\rnode{B}{$-\e$}} \rput(11,.3){\rnode{C}{$-\infty$}}\rput(12,1.7){\rnode{D}{$+\infty$}} \rput(15.5,.3){\rnode{E}{0}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{D}{E}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Justifier les éléments suivants donnés par ce tableau de variations :

signe de $f'(x)$ ;  limites aux bornes de l'ensemble de définition ; image de $\dfrac{1}{\e}$ par $f$.
 
\emph{On admet que : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.}
\item Combien la courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle d'asymptotes ? Donner une équation de chacune d'elles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point $A$ d'abscisse $\dfrac{1}{\e}$.
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point $B$ d'abscisse $\e$.
	\end{enumerate} 
\item Indiquer pour quelles valeurs du réel $k$ l'équation $f(x) = k$.
	\begin{enumerate}
		\item ne possède aucune solution  ;
		\item possède une solution unique ; 
		\item possède deux solutions distinctes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
(Aucune justification n'est attendue dans cette question, on pourra s'aider de la représentation graphique de la fonction $f$ obtenue à l'aide de la calculatrice)


 \newpage


\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\setdefaultenum {I - }{}{}{}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT 2005}}

\bigskip

{\Large \textsc{série es obligatoire : index thématique}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.5cm}{2.5cm}
\vspace{\stretch{1}}

\hrulefill


\begin{enumerate}
  \item ANALYSE
  \begin{itemize}
    \item[] Fonction lecture graphique \dotfill  \hyperpage{4}, \hyperpage{8}, 
		\hyperpage{17}, \hyperpage{25}, \hyperpage{30}, 
		\hyperpage{46}, \hyperpage{58}
    \item[] Lecture de tableaux \dotfill  \hyperpage{6}, \hyperpage{48}
    \item[] Fonction logarithme I \dotfill  \hyperpage{69}
    \item[] Fonction logarithme II (avec intégrale) \dotfill  
		\hyperpage{14}
    \item[] Fonction exponentielle I \dotfill  \hyperpage{1}, \hyperpage{15}
    \item[] Fonction exponentielle II (avec intégrale) \dotfill  
		\hyperpage{37}, \hyperpage{53}
    \item[] Calcul intégral \dotfill  \hyperpage{51}
    \item[] Fonction application économique \dotfill  \hyperpage{23}, 
		\hyperpage{42}
    \item[] Réstitution organisée de connaissances \dotfill 
		\hyperpage{62}
    \item[] Q.C.M \dotfill  \hyperpage{3}, \hyperpage{28}, \hyperpage{34}, 
		\hyperpage{44}, \hyperpage{61}, \hyperpage{67}
\end{itemize} 
 \item PROBABILIT\'ES
    \begin{itemize}
    \item[] Probabilités conditionnelles, Probabilités totales \dotfill  
		\hyperpage{18}, \hyperpage{38}
    \item[] Variable aléatoire, espérance mathématique \dotfill  
		\hyperpage{29}, \hyperpage{41}, \hyperpage{56}, 
		\hyperpage{60}, \hyperpage{66}
    \item[] Loi binomiale \dotfill  \hyperpage{7}, \hyperpage{49}
    \item[] Q.C.M. Probabilités \dotfill  \hyperpage{13}, 
		\hyperpage{22}, \hyperpage{57}
\end{itemize} 
 \item STATISTIQUES
    \begin{itemize}
    \item[] Ajustement affine d'un nuage de points \dotfill  \hyperpage{36}, 
		\hyperpage{40}
    \item[] Ajustement exponentiel d'un nuage de points \dotfill  \hyperpage{2}, 
		\hyperpage{10}, \hyperpage{19}, \hyperpage{32}, 
		\hyperpage{47}, \hyperpage{52}, \hyperpage{68}
    \item[] Ajustement d'un nuage de points \dotfill  \hyperpage{26}, 
		\hyperpage{55}, \hyperpage{63}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\hrulefill
\vspace{\stretch{2}}
\end{ModifMarges}

	\end{sffamily}

 \end{document}
