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\makeindex 

\hypersetup{
pdftitle={Annales baccalauréat es session 2007}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Annales exercices bac mathématiques série ES : Obligatoire et Spécialité},
pdfkeywords={Lectures graphiques, Fonction logarithme, Fonction exponentielle, Calcul intégral, calcul d'aire, Applications à l'économie, Probabilités conditionnelles, Probabilités totales, Variables aléatoires discrètes, espérance mathématique, Loi binomiale, Ajustement affine d'un nuage de points, Ajustement exponentiel d'un nuage de points, Fonctions de deux variables, Suites, Graphes, Graphes probabilistes.}, 
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/bacannales/bac/annabac.php?page=s2007}
}
\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture}(17,4.5)
\DeclareFixedFont{\bigsf}{T1}{phv}{b}{n}{4.5cm}
\DeclareFixedFont{\smallrm}{T1}{ptm}{m}{n}{3mm}
\psboxfill{\smallrm \bleu mathématiques}
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\pscharpath[addfillstyle=boxfill,
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\end{pspicture}


\vspace{\stretch{2}}

\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales d'exercices regroupés par thème}}}
 
\vspace{\stretch{1}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{obligatoire et spécialité}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
 \hrulefill


\large{
Ce document, rassemble l'ensemble des exercices, classés par thèmes, des sujets du baccalauréat de la série ES de la session 2007. De par la nature même de l'épreuve, les exercices peuvent recouvrir plusieurs thèmes.

\medskip

Les exercices sont regroupés sous quatre rubriques :

\begin{itemize}
	\item Analyse
	\item Probabilités
	\item Statistiques
	\item Spécialité
\end{itemize}
}
\medskip

\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
\begin{center}
\Large{\bf {\textsf {Les exercices proposés sont établis à partir des sujets mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}}
\end{center}
}
\end{titlepage}


\pagenumbering{roman}
\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\Large \textsf{\textsc{{sommaire des exercices de la session 2007}}}}


\hrulefill
}

\textsf{\tableofcontents}

\hrulefill

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}}
  
\newpage

\pagenumbering{arabic}

 \lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat es session 2007}}}}
 \rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{\leftmark}}} 
 \lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\rightmark}}}  
 \cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}


 \section{ANALYSE, \'ETUDE DE FONCTIONS} 
 
\subsection{LECTURES GRAPHIQUES} 

 \subsubsection[Centres étrangers 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Centres étrangers 2007}
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur I = [0 ; 4] ; sa courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal . On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Sont également tracées les tangentes à la courbe aux points d'abscisse $0$ et $2$ , ainsi que la droite ($d$) d'équation $y = x+2$. Aux points d'abscisses $1$ et $3$ les tangentes à la courbe sont parallèles à l'axe des abscisses.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} X@{}}
\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique, déterminer :
	
\begin{enumerate}
	\item $f(0)$ et $f'(0)$.
	\item $f(1)$ et $f'(1)$.
	\item $f(2)$ et $f'(2)$.
	\item l'ensemble des réels $x$ tels que $f(x) \leqslant  x + 2$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de $f$ sur I ; on indiquera le signe de $f'(x)$.
	\item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur $[0 ;  4]$ par $g(x) =  \ln [f(x)]$.
\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré exprimée en unités d'aire. Parmi les trois propositions suivantes, déterminer celle qui est exacte, en la justifiant par des arguments géométriques
\begin{enumerate}
	\item  $0 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 1$
	\item $1 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 6$
	\item $6 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 8$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
& \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(5,13)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.5 .5 .7}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*(x-3)^2+2}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{2}{4}{\f} \gsave
\psline(4,6)(2,4)
\fill[fillstyle=vlines*,hatchwidth=0.1pt,hatchsep=.5mm,hatchcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=1,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-2)(5,13)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-2)(5,13)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.8,0){$x$} \uput[l](-0.05,12.5){$y$}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](-0.05,1){\footnotesize{1}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,1)(5,7)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=grisb](-1,13)(4,-2)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=grisb](0,2)(1.25,13.25)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{4}{\f}
\uput[ur](-1,1.25){\prune{($d$)}}
\end{pspicture*} \\
\end{tabularx}
\vspace{-22pt}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item On suppose que $f(x) =  mx^3 + nx^2 + px + q$, o\`u $m,~ n,~ p$ et $q$ sont des réels. 
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les résultats de la question 1 a, déterminer $p$ et $q$. 
\item  En utilisant les résultats de la question 1 b, déterminer $m$ et $n$.
\end{enumerate}
\item On admet que $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$. 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses $0$ et $4$ sont parallèles. 
\item  Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{FONCTION LOGARITHME} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2007 (4)}} 

 \index{Amérique du Nord 2007}
\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{première partie}}}}

\medskip

On considère une fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ par :
\[ g(x) = - x^2 + a x - \ln (2x + b),~ \text{o\`u} ~a~ \text{et}~ b~ \text{sont deux réels.}\]
Calculer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $g$ dans un plan muni d'un repère \Oij{} passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.\\

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{deuxième partie}}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ par  $f(x) = -x^2 + 2x - \ln (2x+1)$.

On admet que $f$ est dérivable et on note $f'$ sa dérivée.

Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :

 \begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.3,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.3,3.6) \psline(3,0)(3,3.6) \psline(0,2.8)(16.3,2.8)\psline(0,2)(3.2,2) \psline(3.4,2)(16.3,2)
\psline(3.2,0)(3.2,2.8) \psline(3.4,0)(3.4,2.8)
\rput(1.5,3.2){$x$}\rput(3.3,3.2){$- \frac{1}{2}$} \rput(7.8,3.2){$0$} \rput(11.8,3.2){$\frac{1}{2}$}\rput(15.8,3.2){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.4){signe de $f'(x)$} \rput(5.8,2.4){$-$} \pnode(7.8,2.8){m1}\pnode(7.8,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.8,2.4){$+$} \pnode(11.8,2.8){n1}\pnode(11.8,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.8,2.4){$-$}
\rput(1.5,1){variations de $f$} \rput(3.8,1.7){\rnode{A}{$+\infty$}} \rput(7.8,.3){\rnode{B}{0}} \rput(11.8,1.7){\rnode{C}{\small{$\frac{3}{4} + \ln \left(\frac{1}{2}\right)$}}} \rput(15.8,.3){\rnode{D}{$-\infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.
\item  \begin{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~ ;~ 1\right]$.
\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
 \end{enumerate}
\item  Déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsubsection[Amérique du Sud 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2007 (4)}} 

 \index{Amérique du Sud 2007}
On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$ par  $f(x) = (2 - \ln x) \ln x$.

La figure ci-dessous donne la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en $A(1 ; 0)$ et en $B$.

La tangente en $C$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente en $A$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe
des ordonnées en $D$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(9,2)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2-ln(x))*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(9,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-3)(9,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,0.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.366}{9}{\f}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.7183,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1.718,1)(3.718,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2,2)(-0.5,-3)
\uput[u](5.5,0.5){\bleu{\small{$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$}}}
\uput[ul](1,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[ur](7.389,0){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[u](2.718,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}} \uput[ul](0,-2){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'abscisse du point $B$ (la valeur exacte est demandée).
\item  Calculer la limite de $f$ en $0$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.
\item  Déterminer les coordonnées du point $C$ et l'ordonnée du point $D$ (les valeurs exactes sont demandées).
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $g(x) = x[f(x)+2 \ln x - 4]$.

Démontrer que $g$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\e^2} f(x)\, \dd x$ et donner une interprétation géométrique de cette intégrale.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Antilles-Guyane 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles-Guyane 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Antilles-Guyane 2007}
La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $I=]0;+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$.

Les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ sont asymptotes à $\mathcal{C}$.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points $A(1~;~-1)$ et $B\left(\dfrac{1}{\text{e}}~;~0\right)$ et admet une tangente parallèle à $(Ox)$ au point $A$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2)(11.51,7.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(-1-ln(x))/x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-2)(11.5,7.5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-0.5,-2)(11.5,7.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](11.3,0){$x$} \uput[l](-0.05,7.3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.1}{11.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.2,-1)(1.8,-1)
\uput[d](10.8,-0.5){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\uput[d](1,-1){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\uput[ur](0.37,0){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
\begin{enumerate}
\item $f(1)$ et $f'(1)$.
\item $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
\item les solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ et les solutions de l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$.
\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)=\dfrac{a+b\ln x}{x}$ o\`u $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $f'(x)$ en fonction des réels $a$ et $b$.
\item Utiliser les résultats de la question 1a. pour montrer que $a=-1$ et $b=-1$.
\item Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Asie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2007 (4)}} 

 \index{Asie 2007}
Une entreprise produit et vend un modèle de pièces pour hélicoptères. Pour des raisons techniques et de stockage, sa production mensuelle est comprise entre 100 et 600 pièces. Elle vend tout ce qui est produit.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ; 6]$ par $f (x) = - x^2 +10x - 9 -8 \ln (x)$.

 $f (x)$ représente le bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, obtenu pour la vente de $x$ centaines de pièces.
 
La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; 6]$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

 
\medskip

\emph{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}.

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout nombre reel $x$ appartenant à l'intervalle $[1 ; 6]$,  $f'(x) = \dfrac{-2(x - 1)(x - 4)}{x}$.
\item  \' Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$.
\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$.
\item  Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ? Calculer ce bénéfice arrondi à l'euro près.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Prouver que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $g(x) = x \ln(x) - x$  est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item  En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$.
\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$ (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Rappel :} 

Soit $f$ une fonction et $[a~ ;~ b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable.

La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a~ ;~ b]$, est le nombre $m$ tel que :
\[m = \frac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\dd x.\]



 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine Juin 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine Juin 2007 (4)}} 

 \index{France Métropolitaine Juin 2007}
Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.\\

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i : étude des coûts hebdomadaires de production}}}}

\medskip


\begin{enumerate}
\item  Le coût marginal de production est fonction de la quantité $x$ de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction $C_{m}$ définie pour les nombres réels $x$ de l'intervalle $[0 ; 10]$ par $C_{m}(x) = x + \dfrac{16}{x + 1}$.
($C_{m}(x)$ est exprimé en centaines d'euros, $x$ en kilogrammes). 

\' Etudier les variations de la fonction $C_{m}$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
\item En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction $C_{m}$.

 Déterminer la fonction $C$, primitive de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$ qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre $0$ et $10$ kilogrammes, sachant que $C(0) = 0$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii  :  étude du bénéfice hebdomadaire.}}}}

\medskip

On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse $x$ (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut \^etre modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[1 ; 10]$ par  $B(x)= 9x - 0,5x^2 -  16\ln (x + 1)$.

La représentation graphique de la fonction $B$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe $(\Gamma)$ donnée ci-dessous.



 \begin{center} 
 \psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture}(-1,-3)(11,6) 
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{9*x-0.5*x^2-16*ln(x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(11,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-3)(11,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](10.8,0){$x$} \uput[l](0,5.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{10}{\f}
 \uput[dr](9.5,3){\bleu $(\Gamma)$}
 \end{pspicture} 
\end{center}



\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  On admet que la fonction $B$ est strictement croissante sur l'intervalle $[1 ; 7]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[7 ; 10]$.

En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.
\item  Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Utiliser la courbe $(\Gamma)$ pour déterminer un encadrement d'amplitude $0,5$ de la plus petite quantité $x_{0}$ de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.
\item  Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de $x_{0}$ approchée au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Liban 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2007 (3)}} 

 \index{Liban 2007}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4-x)*ln(x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-3,-5)(7,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.8,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(1,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=.5pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.26}{6.66}{\f}
\uput[ul](1,0){\bleu $A$} \uput[ul](2,3){\prune $B$}
\psdots[dotstyle=x,linewidth=1.5pt, linecolor=prune](1,0)(2,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.6,-4.8)(2.3,3.9)
\uput[u](2.4,0.4){\bleu $S$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\noindent On considère la fonction $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est représentée ci-dessus dans le plan muni d'un repère orthonormal.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(1 ; 0)$ et admet la droite $(AB)$ pour tangente à la courbe $\mathcal{C}$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Pour tout réel $x$ de $]0~;~ + \infty[$, $f(x) = (ax + b) \ln x$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item  Sans justifier et par lecture graphique, donner $f(4)$ et  $f'(1)$.
\item  Justifier que $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations suivant : $\left\{\begin{array}{r c l}
4a + b&=&0\\
a + b&=&3\\
\end{array}\right.$\\
Déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On admet que la fonction précédente est définie pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = (4 - x)\ln x$.

 On appelle $S$ l'aire hachurée sous la courbe $\mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item  Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ par $F(x) = - \dfrac{1}{2}\left(x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2} -  8x\ln x + 8x\right)$.

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item  En déduire la valeur exacte de  $I= \displaystyle\int_{1}^4 f(x) \dd x.$
\item  Donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ de $S$ exprimée en unités d'aire. Justifier.
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Polynésie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2007 (4)}} 

 \index{Polynésie 2007}
Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ centaines d'appareils par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$ par  $f(x) = - 2x + \left(\e^2 - 1\right)\ln x + 2$.

La courbe de la fonction $f$ est donnée sur la figure ci-dessous :
 
 \begin{center}
 \psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture}(-1,-3)(10,4) 
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2-2*x+6.389*ln(x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{7.389}{\f} \gsave
\psline(7.389,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(10,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-3)(10,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{7.389}{\f} \gsave
\psline(7.389,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=.5pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.54}{9.8}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.1945,3.05)(4.1945,3.05) 
 \psline[linestyle=dashed,linewidth=.75pt, linecolor=prune](3.1945,0)(3.1945,3)

  \end{pspicture}
  \end{center}
\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que $f(1) = 0$ et $f\left(\e^2\right) = 0$.
\item  \`A l'aide du graphique, déterminer approximativement :
\begin{enumerate}
\item  le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ; 
\item  les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul,
\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
\item  Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  \'Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$.
\item  En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité).
\end{enumerate}
\item 	Parmi les courbes données en annexe, une seule correspond à celle d'une primitive de $f$. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de $f(x)$).
\item 	En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.
\item 	\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$ par {$F(x) = -x^2 + \left(3 - \e^2\right)x + \left(\e^2 - 1\right)x\ln x$} est une primitive de  $f$.
\item Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle o\`u ce bénéfice est positif ou nul.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\multicolumn {2}{c}{\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}\\
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(10,5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{6.389/x-2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-5)(10,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(10,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4.6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3}{-2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.9}{10}{\f}
\end{pspicture*}

Courbe de $F_{1}$
& 
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-4)(13,10)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-4)(13,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-4)(13,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](12.6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,9.6){\footnotesize{$y$}}
\def\f{x*(6.389*ln(x)-x-4.389)+2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.001}{12}{\f}
\end{pspicture*} 

Courbe de $F_{2}$\\

\end{tabularx}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(10,10)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(10,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,9.6){\footnotesize{$y$}}
\def\f{7.2*x-6*ln(x)-.6*x^2-4}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.11}{9.3}{\f}
\end{pspicture*}

Courbe de $F_{3}$
\end{center}



 \bigskip 

\subsubsection[Pondichery 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichery 2007 (4)}} 

 \index{Pondichery 2007}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~  + \infty[$ par $f(x) = 5 \dfrac{\ln x}{x} 	+ 3$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en 0 ; en donner une interprétation graphique.
\item 	Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; en donner une interprétation graphique.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$, puis étudier son signe.
\item 	En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de $f$ ainsi que la valeur exacte de $f(\e)$.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $]0~;~  + \infty[$.

On pourra remarquer que $f(x) = 5u'(x)\times u(x) + 3$ avec $u(x)$ à préciser.

\item  En déduire la valeur exacte de $\mathrm{I} = \displaystyle\int_{2}^4 f(t) \dd t$ sous la forme $a(\ln 2)^2+b$ avec $a$ et $b$ deux réels à déterminer.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Préciser le signe de $f$ sur l'intervalle $[2 ; 4]$.
\item  Donner une interprétation graphique de I.
 \end{enumerate}
\item   On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle
fabrique $x$ milliers de pièces est égal à $f(x)$.

En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2000 et 4000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.

\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{FONCTION EXPONENTIELLE} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Amérique du Nord 2007}
La courbe $\left(\mathcal{C}\right)$ ci-dessous représente une fonction $F$ définie et derivable sur l'intervalle  $J= \left]\dfrac{1}{2}~ ;~ + \infty\right[$.

On sait que $\left(\mathcal{C} \right)$ coupe l'axe des abscisses au point $(3 ; 0)$ et a une tangente horizontale au point $(1~;~ - 2)$.

On note $f$ la fonction dérivée de $F$.

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-2.1)(7.5,5.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-.5)*ln(2*x-1)-x+3-2.5*ln(5)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-.5,-2)(7.5,5.5)
\psset{xunit=2cm,yunit=0.625cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.03 0.03,Dy=2,Ox=0.5,Dx=1,comma]{->}(0,0)(-.49,-4)(7.49,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.4,0){$x$} \uput[l](-0.0625,10.7){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.501}{7.5}{\f}
\end{pspicture*}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  à l'aide du graphique, donner les variations de $F$ et en déduire le signe de $f$. 
\item  Donner $f(1)$, $F(1)$ et $F(3)$. Préciser le signe de $f(3)$.
\item  Calculer $\displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\dd x$.
 \end{enumerate}
\item  Trois fonctions $f_{1}$, $f_{2}$ et $f_{3}$ sont définies sur l'intervalle $J$ par :
\[f_{1}(x) = (x^2 - x +1)\e^{2x - 1},~\;	f_{2}(x) =  \ln (2x - 1 )~\;	\text{et}~\; f_{3}(x)  = - 1 + \frac{1}{2x - 1}.\]
Une de ces trois fonctions est la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item  \'Etudier le signe de $f_{1}$ sur l'intervalle $J$. 
\item   Résoudre l'équation $f_{2}(x) = 0$ sur l'intervalle $J$. 
\item   Calculer $f_{3}(1)$.
\item   Calculer $\displaystyle\int_{1}^3 f_{3}(x)\:\dd x$. 
\item   En déduire la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Antilles Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Septembre 2007 (3)}} 

 \index{Antilles Septembre 2007}
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par $f(x) = \e^{- \frac{1}{2}x + 1}$
 dans un repère orthonormé du plan \Oij{} d'unité 2~cm.
 
 \medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.5)(5,3.75)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{Euler^(1-.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-0.25,-0.5)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.025 0.025,yticksize=-0.025 0.025]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(5,3.75)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.9,0){$x$} \uput[l](-0.05,3.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\uput[ur](0,2.71828){\bleu{e}} \uput[u](4.75,0.25){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y= - \dfrac{1}{2}x + 2$. Tracer $T$ sur le graphique de la feuille annexe.
\item  On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par  $g(x) = f(x) + \dfrac{1}{2}x	- 2$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $[0 ; 2]$ et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
\item  Calculer $g(2)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. Interpréter graphiquement le résultat.
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique, le domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$, la droite d'équation $x = 2$ et l'axe des ordonnées.
\item  Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en $\mathrm{cm}^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Antilles-Guyane 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles-Guyane 2007 (4)}} 

 \index{Antilles-Guyane 2007}
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\e^x-1$.

Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction $g$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(13.5,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(13.5,3.6) \psline(2.5,0)(2.5,3.6) \psline(0,2.8)(13.5,2.8)\psline(0,2)(13.5,2)
\rput(1.25,3.2){$x$}\rput(3,3.2){$-\infty$} \rput(8,3.2){$-1$} \rput(13,3.2){$+ \infty$}
\rput(1.25,2.4){signe de $g'(x)$} \rput(5.5,2.4){$-$} \pnode(8,2.8){m1}\pnode(8,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(10.5,2.4){$+$}
\rput(1.25,1){variations de $g$} \rput(3,1.7){\rnode{A}{$-1$}} \rput(8,.5){\rnode{B}{$-\dfrac{1}{\e-1}$}} \rput(13,1.7){\rnode{C}{$+\infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}



\begin{enumerate}
\item On admet que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $a$ strictement positive. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item On note $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=\e^x-\ln x$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la limite de $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique du résultat.
\item Vérifier que, pour tout $x > 0$, $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\item \'Etudier les variations de $f$ puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.
\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Tracer la courbe $\mathcal{C}$ en prenant 0,57 comme valeur approchée de $a$.

(\emph{Prendre 4~cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées}).
\item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x ;y)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que:
\[1 \leqslant x \leqslant 2 \quad \text{ et }\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\]
\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$.
\item Vérifier que la fonction $H$ définie sur $]0;+\infty[$ par $H(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0;+\infty[$ par $h(x)=\ln x$.
\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$, en unités d'aire, puis donner une valeur en cm\up{2}, arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007 (3)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007}
La courbe ($\mathcal{C}$) donnée en ANNEXE, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $R$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

Les points $A (3 ; \e)$ et $B (4 ; 2 )$ appartiennent à cette courbe.

La tangente à la courbe en $A$ est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente $(T)$ à la courbe en $B$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6.

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie i :} lecture graphique}}

\medskip

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier.
\begin{enumerate}
\item  Pour quelles valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $[3 ; 10]$ a-t-on $f(x) \leqslant  2$ ?
\item  Déterminer $f'(3)$ et $f'(4)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textsc{\textbf{partie  ii :} étude de la fonction}}

\medskip

La fonction $f$ représentée dans l'ANNEXE, est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par : \[f(x) =(x - 2) \e^{ (-x + 4)}\]

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$. Donner la valeur décimale arrondie à l'unité.
\item  On donne $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) =0$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
\end{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=(3-x) \e^{(-x+4)}$.
\item  Sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item   On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) =  (1- x) \e^{(-x + 4)}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +~\infty[$.

En déduire la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[2 ; 10]$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième.

\textsf {\textsc{\textbf{rappel :}}} Soit $f$ une fonction et $[a  ~;~ b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable.

La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a  ~;~ b]$ est le nombre $m$ tel que $ m = \dfrac{1}{b -a} \times \displaystyle\int_{a}^b f(x)\dd x$.

 \end{enumerate}

\medskip 

\textsf {\textsc{\textbf{partie  iii :} étude d'un bénéfice}}

\medskip

Une entreprise vend $x$ centaines de litres de parfum par jour $1,8 \leqslant  x \leqslant 4,5$.

Le bénéfice en milliers d'euros réalisé, par jour, par l'entreprise lorsqu'elle vend $x$ centaines de litres est donné par $f(x)$ pour $x \in [1,8 ; 4,5]$. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l'entreprise vend au moins 180 litres et au plus 450 litres.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres (soit 4 centaines de litres). 
\item  Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal.

	Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à 1 \euro). 
\item  \`A partir de quelle quantité journalière l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(15,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(7,6.5){\textsf {\textsc{\textbf{annexe}}}}
\def\f{(x-2)*Euler^(4-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-7)(15,6)
\psset{unit=1.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.6666667,-4.6667)(10,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.9,0){$x$} \uput[l](0,3.9){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.333,2.71828)(3.6667,2.71828)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1.58}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2,4)(10,-4)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune,dotscale=.8](3,2.71828)(4,2)
\uput[r](9.3,0.2){\bleu $(\mathcal{C})$}
\uput[u](3,2.7){\bleu $A$}\uput[r](4,2){\bleu $B$}
\uput[r](8,-2){\prune $(T)$}
\end{pspicture}
\end{center}



 \bigskip 

\subsubsection[La Réunion 2007]{\Numexo  \hfill \emph{La Réunion 2007 (1)}} 

 \index{La Réunion 2007}
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-5~;~2]$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Un logiciel fournit le graphique qui figure en annexe ci-dessous.
 
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de $f'(0)$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item 	\begin{enumerate}
\item  Donner un encadrement d'amplitude $1$ de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x$.
\item  Donner une valeur approchée à $0,5$ près de la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie on sait que la fonction $f$ est définie par :
  
\begin{center}
Pour tout élément $x$ de $[-5~;~2]$, $f(x) = (2 - x) \e^x$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  On nomme $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour $x$ élément de $[-5~;~2]$.
\item  Justifier l'affirmation : \og Sur l'intervalle $[-5~;~2]$, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=1$ et ce maximum est égal à e.\fg
\end{enumerate}
\item 	Donner une équation de la droite $(T)$ tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse $0$.
\item 	Soit $g$ la fonction définie par : pour $x$ élément de $[-5~;~2]$, $g(x)= (3 - x)\e^x$.
 \begin{enumerate}
\item  Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la fonction dérivée de la fonction $g$.
\item   Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ (en donner la valeur exacte).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-22,-2)(10,29)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(-6,28){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\rput(-6,27){\textsf {\textbf{\textsc{à utiliser pour l'exercice 1 et à rendre avec la copie}}}}
\def\f{(2-x)*Euler^x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-22,-2)(10,25)
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.5,-.25)(2.5,3.125)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](2.45,0){$x$} \uput[l](0,3.1){$y$}

\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{2}{\f}
 \uput[l](2.25,1.5){\bleu $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}
\end{center}



 \bigskip 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2007 (4)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2007}
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}}} 

\medskip


On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur $\R$ par $h(x) = \e^{2x} - 7\e^{x} +6$.
 On note $h'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.
\item  Calculer la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$ ; 

(on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel $x$ : $h(x) = e^{x}\left(\e^{x} -  7 + 6\e^{-x}\right)$).
\end{enumerate}
\item Calculer $h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right]$, $h(0)$ puis $h(\ln 6)$.
\item Déterminer par le calcul l'image $h'(x)$ d'un réel $x$ par la fonction $h'$ et étudier les variations de la fonction $h$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau.
\item En déduire le tableau des signes de la fonction $h$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}}} 

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par  $f(x) = 6 - 6\e^{-x}$ et $g(x)= \e^{x} - 1$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point de coordonnées $(\ln 6~;~ 5)$ est un point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\item 	\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x) - g(x) = - \dfrac{h(x)}{\e^{x}}$.
\item  Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\end{enumerate}
\item 	On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}_{f}$, $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x= 0$ et $x= \ln 6$.
\begin{enumerate}
\item  Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe.
\item  Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en $\mathrm{cm}^2$ puis en donner une valeur approchée arrondie au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(2.5,6.5){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(8,6)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-2)(4,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,5.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=429,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-0.29}{4}{6-6*Euler^(-x)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=345,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-1.5}{1.95}{Euler^(x)-1}
\uput[d](3.9,5.8){\bleu $\mathcal{C}_{f}$} \uput[dl](1.75,6){\prune $\mathcal{C}_{g}$} 
\end{pspicture}
\end{center}



 \bigskip 

\subsubsection[Polynésie Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie Septembre 2007 (3)}} 

 \index{Polynésie Septembre 2007}
\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = (ax + b)\e^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~ +\infty [$ et on note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal. 
\begin{enumerate}
\item  On sait que $(\mathcal{C})$ passe par le point $E(0 ; 1)$ et qu'elle admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire $f(0)$ et $f'(0)$.
\item  Vérifier que $f'(x) = (- ax+a - b)\e^{-x}$
\item  En utilisant les résultats précédents, déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour la suite, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par $f(x) = (x + 1)\e^{-x}$.

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout $x$ de $[0 ~;~ +\infty[,~ f(x) = \dfrac{x}{\e^x} + \dfrac{1}{\e^x}$.
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item  En déduire que $(\mathcal{C})$ possède une asymptote dont on précisera une équation.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$.
\item  \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[0 ~;~ +\infty[$ puis dresser le tableau de variations complet de $f$.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) =  0,5$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0 ; 4]$.
\item  Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\item  On considère la fonction $g$ définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par $g(x) = -(x + 2)\e^{-x}$.

Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $[0 ~;~ +\infty[$.
\item  Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 4]$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat.

(Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~ ;~ b]$ est égale à
$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b  f(x)\dd x$.)
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Une entreprise produit $q$ milliers de pièces par jour, $q$ étant un réel de $[0 ; 4]$.

Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de $q$ et est donné par l'expression $f(q) = (q + 1)\e^{-q}$.
\begin{enumerate}
\item  Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4~000 pièces ?
\item  \`A partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d'une pièce est-il inférieur à 0,5 euro ?
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{APPLICATION \`A L'\'ECONOMIE} 

 \subsubsection[Centres étrangers 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2007 (4)}} 

 \index{Centres étrangers 2007}
On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégories d'articles par une entreprise E. 

On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre 0 et 500. 

On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0 ; 5]$ par $C(x) = 4x + (1 -  2x)\e^{-2x + 3}$  où $x$ représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.

\begin{enumerate}
\item On sait que la fonction coût total, notée $C_{T}$, est la primitive de la fonction $C$ sur $[0 ; 5]$ qui s'annule pour $x =0$.

Justifier que $C_{T}(x) =  2x^2 + x\e^{-2x + 3}$.
\item 	La fonction coût moyen, notée $C_{M}$ est la fonction définie sur $]0 ; 5]$ par $C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x}$.

Donner une expression de $C_{M}(x)$, en fonction de $x$.
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer $C_{M}'(x)$ o\`u $C_{M}'$ désigne la fonction dérivée de $C_{M}$.
\item  Résoudre dans $\R$ l'équation : 	$1 - \e^{-2x + 3} =  0$.
\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation: 	$1 - \e^{-2x + 3} >  0$.
\item  En déduire le sens de variations de $C_{M}$ sur $]0~ ; 5]$.
\end{enumerate}
\item 	Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
\item 	Chaque centaine d'articles est vendue 7000~\euro. La recette totale pour $x$ centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par $R_{T}(x) = 7x$ en milliers d'euros.

Le bénéfice est donc défini par $B(x) = R_{T}(x) - C_{T}(x)$.

\begin{enumerate}
\item  En annexe, sont représentées les fonctions $C_{T}$ et $R_{T}$.

Par lecture graphique déterminer :
\begin{itemize}
\item le coût moyen minimal,
\item l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E,
\item la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}

\emph{On fera apparaître les constructions nécessaires.}

\item 	Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=1.6cm}
\begin{pspicture*}(-.25,-1)(5.25,5.7)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
 \rput(2.5,5.4){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe}}}}}
\def\f{2*x^2 + x*Euler^(3-2*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=5,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(5,5)
\psset{xunit=2.5cm,yunit=.16cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.5 0.5,yticksize=-0.02 0.02,Dy=10]{->}(0,0)(5.08,51.5)
\uput[d](5.2,0){$x$} \uput[l](-0.05,52){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](0,0)(5,35)
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](1,-5)(1.75,-5) \rput(3,-5){\small{Courbe représentative de $C_{T}$}}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](1,-8)(1.75,-8) \rput(3,-8){\small{Courbe représentative de $R_{T}$}}
\end{pspicture*}
\end{center}



 \bigskip 

\subsubsection[La Réunion 2007]{\Numexo  \hfill \emph{La Réunion 2007 (4)}} 

 \index{La Réunion 2007}
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[1 ; 50]$ par $f(x)= x^2 +72\ln (10x + 1)$ et $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[1 ; 50]$.
\item  La fonction $h$ est définie sur l'intervalle $[1 ; 50]$ par $h(x) = x^{2} + \dfrac{720x}{10x + 1}  - 72 \ln (10x + 1)$.
\begin{enumerate}
\item On admet que la dérivée de la fonction $h$ est la fonction $h'$ définie par : 

\begin{center}
pour tout $x$ élément de l'intervalle $[1 ; 50]$, $h'(x) = \dfrac{2x(10x -59)(10x + 61)}{(10x + 1)^2}$.
\end{center}


Résoudre l'équation $h'(x)=0$ sur l'intervalle $[1 ; 50]$.

\'Etudier le signe de $h'(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 50]$.
\item 	Dresser le tableau des variations de la fonction $h$.
\item 	On admet que, dans l'intervalle $[1 ; 50]$, l'équation $h(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$. 

\`A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.

\item 	Expliquer pourquoi :
\begin{itemize}
\item  pour tout $x$ élément de l'intervalle $[1~;~\alpha]$, $h(x) \leqslant  0$,
\item pour tout $x$ élément de l'intervalle $[\alpha~;~50]$, $h(x) \geqslant 0$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $x$ élément de l'intervalle $[1 ; 50]$, $g'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$.
\item  Démontrer que la fonction $g$ admet un minimum pour $x = \alpha$.
\item  En utilisant le fait que $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$, exprimer $g'(x)$ en fonction de $f'(x)$ puis déduire de la question précédente que $g(\alpha)= f'(\alpha)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b :  application}}}

\medskip

Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'euros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant :
 \begin{itemize}
\item   le coût total de production C$_{\mathrm{T}}$ est donné par C$_{\mathrm{T}} = f(x)$, où $x$ est la quantité produite exprimée en tonnes,
\item  	pour une production de $x$ tonnes, le coût moyen C$_{\mathrm{M}}$ de production d'une tonne est donné par C$_{\mathrm{M}} = g(x)$ et le coût marginal $C$ de production est donné par  $C=f'(x)$.
\end{itemize}
(\emph{Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis en annexe ci-dessous. Ils peuvent être complétés et rendus avec la copie.}) 
\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38~000~\euro{} la tonne.
\item  Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de 45~000~\euro{} la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(22,17)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(10,16){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\rput(10,14){\textbf{Représentation graphique de la fonction $f$}}
\def\f{.01*x^2 +.72*ln(10*x + 1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(22,13)
\psset{unit=.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10, Dy=10,ylabelFactor={00}]{->}(0,0)(-5,-5)(55,32.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](54,0){$x$} \uput[l](0,32){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{50}{\f}
\psset{unit=.5cm,xAxisLabelPos={3cm,-1cm},yAxisLabelPos={-1.5cm,2.5cm}}
\end{pspicture}


\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(22,26)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{.1 .3 .2}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(10,25){\textbf{Représentations graphiques des fonctions $f'$ et $g$}}
\def\f{720/(10*x + 1)+2*x}
\def\g{72*ln(10*x + 1)/x+x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(22,24)
\psset{unit=.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5, Dy=10]{->}(0,0)(-4.99,-5)(55,60)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](54,0){$x$} \uput[l](0,59){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{1.15}{28.75}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=vert]{5.2}{50}{\g}
\uput[ur](12.5,27){\prune{courbe de la fonction $f'$}}
\uput[ur](35,45){\vert{courbe de la fonction $g$}}
\end{pspicture}

\end{center}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{Q.C.M} 

 \subsubsection[Amérique du Sud 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2007 (1)}} 

 \index{Amérique du Sud 2007}
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La figure ci-dessous montre une partie de sa courbe représentative $(\mathcal{C}_{f})$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\noindent On dispose des renseignements suivants sur la fonction $f$ et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ :
\begin{itemize}
\item   la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; 2]$, elle est strictement décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~ 0]$ et sur l'intervalle $[2~;~ +\infty[$ ;
\item 	la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ passe par l'origine du repère et par les points $A(1 ; \e)$ et $B(2 ; 4)$ ;
\item 	la droite $(OA)$ est tangente en $A$ à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et l'axe des abscisses est asymptote à $(\mathcal{C}_{f})$ en $+ \infty$.
 \end{itemize}
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et on appelle $F$ la primitive de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 0$.
 
 \medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture*}(-2,-1)(8,5)
 \newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2*Euler^(2-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(8,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-2,-1)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$} \uput[l](-0.05,4.8){$y$}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec i$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec j$}
 \psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-0.368,-1)(1.8394,5)
 \psdots[linewidth=1pt, linecolor=prune,dotstyle=+,dotangle=45](1,2.71828)(2,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-0.607}{8}{\f}
 \uput[ul](1,2.71828){\footnotesize{\bleu{A}}} \uput[u](2,4){\footnotesize{\bleu{B}}} \uput[ur](4,2){\bleu\small{{$(\mathcal{C}_{f})$}}}
 \end{pspicture*}
 \end{center}

 \medskip
 
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, en utilisant les informations données par l'énoncé, cocher la cas V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse). Il n'est pas demandé de justifier les réponses. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point; une réponse inexacte enlève $0,25$ point; l'absence de réponse n'enlève aucun point et n'en rapporte aucun. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est $0$.}

 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. \hfill  \makebox{\psframe(.25cm,.25cm)\qquad \textsf{V} \hspace{1cm} \psframe(.25cm,.25cm) \qquad \textsf{F}}
\item 	L'équation $f(x) =  0,1$ admet exactement deux solutions dans $\R$. \hfill  \makebox{\psframe(.25cm,.25cm)\qquad \textsf{V} \hspace{1cm} \psframe(.25cm,.25cm) \qquad \textsf{F}}
\item  $f'(1) = f(1)$. \hfill  \makebox{\psframe(.25cm,.25cm)\qquad \textsf{V} \hspace{1cm} \psframe(.25cm,.25cm) \qquad \textsf{F}}
\item  $\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\,\dd x < 5$. \hfill  \makebox{\psframe(.25cm,.25cm)\qquad \textsf{V} \hspace{1cm} \psframe(.25cm,.25cm) \qquad \textsf{F}}
\item  $\displaystyle\int_{1}^3 f'(x)\,\dd x < 1$. \hfill  \makebox{\psframe(.25cm,.25cm)\qquad \textsf{V} \hspace{1cm} \psframe(.25cm,.25cm) \qquad \textsf{F}}
\item  La fonction $F$ est croissante sur $\R$. \hfill  \makebox{\psframe(.25cm,.25cm)\qquad \textsf{V} \hspace{1cm} \psframe(.25cm,.25cm) \qquad \textsf{F}}
\item  $F(5) > F(6)$. \hfill  \makebox{\psframe(.25cm,.25cm)\qquad \textsf{V} \hspace{1cm} \psframe(.25cm,.25cm) \qquad \textsf{F}}
\item  La fonction $f'$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; 2]$. \hfill  \makebox{\psframe(.25cm,.25cm)\qquad \textsf{V} \hspace{1cm} \psframe(.25cm,.25cm) \qquad \textsf{F}}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Antilles Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Septembre 2007 (1)}} 

 \index{Antilles Septembre 2007}
Pour chacune des affirmations suivantes, recopier la proposition qui vous semble exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

Barême : \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $F :  x \longmapsto  \ln (2x + 4)$ est une primitive sur $[0~ ;~ + \infty[$ de la fonction $f$ définie par :

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$f(x)=\dfrac{1}{x + 4}$ & $f(x) =	\dfrac{1}{2x + 4}$ & $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$\\
\end{tabular*}

\item  L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1  3x\e^{x^2}\:\dd x$ est égale à :

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$6(\e - 1)$ & $\dfrac{3}{2}(\e - 1)$ & $\dfrac{3}{2}\e$\\
\end{tabular*}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{1}{x} - \ln x+1$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonorrnal \Oij.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ passe par le point de coordonnées :

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$(2~ ;~ 0)$ & $(1 ~;~ -1)$ & $\left(2~;~\dfrac{3}{2} - \ln 2\right)$\\
\end{tabular*}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= 2x+ \ln \left( \dfrac{x + 1}{2x}\right)$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite d'équation :


\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$ y = 0$	& $ y = 2x - \ln 2$	& $y=2x$.
\end{tabular*}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Asie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2007 (1)}} 

 \index{Asie 2007}
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{notation :}}}} \emph{une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.-}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$. Son tableau de variations est donné ci-dessous. On nomme $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.


\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,2.8)(16.5,2.8)\psline(0,2)(16.5,2) 
\rput(1,3.2){$x$}\rput(2.5,3.2){$- \infty$} \rput(7,3.2){$2$} \rput(11.5,3.2){$2$}\rput(16,3.2){$+ \infty$}
\rput(1,2.4){$f'(x)$} \rput(4.75,2.4){$-$} \pnode(7,2.8){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.4){$+$} \pnode(11.5,2.8){n1}\pnode(11.5,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.75,2.4){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(2.5,1.7){\rnode{A}{$+\infty$}} \rput(7,.3){\rnode{B}{$-1$}} \rput(11.5,1.7){\rnode{C}{{$\e$}}} \rput(16,.3){\rnode{D}{$0$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

\setdefaultenum {1.}{\scshape \sffamily réponse a : }{}{}
\begin{enumerate}

	\item  On peut affirmer que :
	
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
	\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
	\item  $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.
\end{enumerate}

\item  La courbe $(\mathcal{C})$ admet :

\begin{enumerate}
\item la droite d'équation $x = 0$ pour asymptote.
\item la droite d'équation $x = 2$ pour asymptote.
\item  la droite d'équation $y = 0$  pour asymptote.
\end{enumerate}

\item  Dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$ admet :

\begin{enumerate}
\item une unique solution. 
\item deux solutions distinctes. 
\item trois solutions distinctes.
\end{enumerate}

\item  Dans $\R$ l'inéquation $f(x) > 3$

\begin{enumerate}
\item n'a pas de solution.
\item a toutes ses solutions positives.
\item a toutes ses solutions négatives.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}



 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine Juin 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine Juin 2007 (1)}} 

 \index{France Métropolitaine Juin 2007}
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\textsf{NOTATION :}\emph{ une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $a$ et pour tout nombre réel $b$, on peut affirmer que $\dfrac{\e^a}{\e^b}$ est égal à :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X@{}}}
\textsc{\textsf{réponse a :}} \:$\e^{\left(\frac{a}{b}\right)}$ & \textsc{\textsf{réponse bc :}} \:$\e^{(a - b)}$ & \textsc{\textsf{réponse c :}} \:$\e^{a} - \e^{b}$\\
\end{tabularx}

\item  On considère trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ telles que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) \leqslant  g(x) \leqslant  h(x)$.

Si l'on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$ alors on peut en déduire que :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X@{}}}
\textsc{\textsf{réponse a :}} \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ & \textsc{\textsf{réponse b :}} \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = -\infty$ & \textsc{\textsf{réponse c :}} \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = +\infty$ \\
\end{tabularx}

\item  On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$. On donne ci-dessous son	 tableau de variations.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,2.8)(16.5,2.8)\psline(0,2)(16.5,2) 
\rput(1,3.2){$x$}\rput(2.5,3.2){$- \infty$} \rput(7,3.2){$-1$} \rput(11.5,3.2){$1$}\rput(16,3.2){$+ \infty$}
\rput(1,2.4){$f'(x)$} \rput(4.75,2.4){$+$} \pnode(7,2.8){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.4){$-$} \pnode(11.5,2.8){n1}\pnode(11.5,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.75,2.4){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{$0$}} \rput(7,1.7){\rnode{B}{$\e$}} \rput(11.5,.3){\rnode{C}{{$\sqrt{2}$}}} \rput(16,1.7){\rnode{D}{$+ \infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item   L'équation $f(x) =1$ admet dans $\R$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X@{}}}
\textsc{\textsf{réponse a :}} \:trois solutions & \textsc{\textsf{réponse b :}} \:deux solutions & \textsc{\textsf{réponse c :}} \:une solution \\
\end{tabularx}

\item   On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère \Oij. La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ peut avoir pour équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X@{}}}
\textsc{\textsf{réponse a :}} \:$y=-3x+2$ & \textsc{\textsf{réponse b :}} \:$y = 3x+2$ & \textsc{\textsf{réponse c :}} \:$y= -4$ \\
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007 (1)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007}
Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.}

\medskip 
 
Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble $]-6~;~ -3[ \cup ] -3~ ;~ +\infty[$. Le tableau de variations de la fonction  $f$ est le suivant :

\medskip


 \begin{center}
	\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(17,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(17,3) \psline(2.5,0)(2.5,3) \psline(0,2.2)(17,2.2)\psline(9.65,0)(9.65,2.2) \psline(9.85,0)(9.85,2.2)
\rput(1.25,2.6){$x$} \rput(3,2.6){$- 6$}\rput(6.125,2.6){$-4$}  \rput(7.6875,2.6){$-3,5$} \rput(9.75,2.6){$-3$} \rput(13.375,2.6){$2$} \rput(16.5,2.6){$+ \infty$} 
\rput(1.25,1.5){Variations} \rput(1.25,0.7){de $f$}\rput(3,.4){\rnode{A}{$7$}} \rput(6.125,1.8){\rnode{B}{$8$}} \rput(9.25,.4){\rnode{C}{$- \infty$}} 
\rput(10.25,1.8){\rnode{D}{$+ \infty$}} \rput(13.375,.4){\rnode{E}{$3$}} \rput(16.5,1.8){\rnode{F}{$5$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncput*{0} \ncline{D}{E} \ncline{E}{F}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item  On peut affirmer que : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse a :}}}} $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = +\infty$.& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse b :}}}} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 5$\\
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse c :}}}} $\displaystyle\lim_{x \to -6} f(x) = - \infty$.& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse d :}}}} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to -3\\ x < -3}} f(x) = 0$.\\
\end{tabularx}
\item  La courbe représentative de $f$ admet pour asymptotes les droites d'équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse a :}}}} $x =5$ et $y = -3$ & \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse b :}}}} $x = -3$ et $y = 5$.\\
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse c :}}}} $y =  8$ et $y =3$	& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse d :}}}}: $x = -6$ et $y = 5$.\\
\end{tabularx}
\item  Dans l'ensemble $]-6~;~ -3[ \cup ] -3~ ;~ +\infty[$ l'équation $f(x) = 4$ admet

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse a :}}}} $0$ solution	& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse b :}}}} $1$ solution\\
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse c :}}}} $2$ solutions	& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse d :}}}} $3$ solutions\\
\end{tabularx}
\item  On considère le nombre réel $I = \displaystyle\int_{2}^4 f(x) \:\text{d}x$. On peut affirmer que :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse a :}}}} $0 \leqslant I \leqslant 3$ & \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse b :}}}} $6\leqslant I \leqslant 10$\\
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse c :}}}} $3 \leqslant I \leqslant 6$		& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse d :}}}} $I \geqslant 10$.\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsubsection[Liban 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2007 (1)}} 

 \index{Liban 2007}
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}


\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-3,-5)(7,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\psset{linewidth=1.5pt, linecolor=bleu}
\psbezier(-0.6,-5)(-.2,-3.5)(.5,-1)(1,0)
\psbezier(1,0)(1.5,1)(2.5,1)(3,1)
\psbezier(3,1)(3.8,1)(4.5,.6)(5,.6)
\psbezier(5,.6)(5.5,.6)(5.7,1)(6,4)
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline{<->}(2.25,1)(3.75,1)
\psline{<->}(4.25,.58)(5.75,.58)
\psline(-0.5,-3)(2.5,3)
\psline[linewidth=.75pt, linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](5.5,0)(5.5,1)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=.75](5.5,1)
\uput[ul](1,0){\bleu $A$}
\uput[r](6,4){\bleu $\mathcal{C}$}
\uput[d](5.5,0){\prune{\footnotesize{5,5}}}
\uput[d](2,3){\prune $T$}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie et dérivable sur $]- \infty~;~ 6]$.

La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. La droite $T$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est située sous cette tangente $T$ sur $]- \infty~;~ 6]$. 

On répondra au QCM ci-après en s'appuyant sur les informations données par le graphique.

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse apporte $0,5$ point, une mauvaise enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{3cm}|} \hline
\multicolumn {1}{|c|}{\textsf {\textbf{\textsc{questions}}}}& \\ \hline
\multirow{3}*{1.  L'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au	point $A$ d'abscisse 1 est} &$\Box \quad y = x - 1$\\ 
&$\Box \quad y=x - 2$\\ 
&$\Box \quad y = 2(x - 1)$\\ \hline
\multirow{3}*{2. L'équation $f'(x) = 0$ admet}&$\Box \quad 1$ solution\\ 
&$\Box \quad	2$ solutions\\
&$\Box\quad	0$ solution\\ \hline 
\multirow{3}*{3. La limite de $f(x)$ en $-\infty$ est}&$\Box \quad -\infty$\\ 
&$\Box \quad -5$\\ 
&$\Box \quad 6$\\ \hline 
\multirow{3}*{4. La fonction $\ln f$ est définie sur}&$\Box \quad [- \infty~ ;~ 6]$\\ 
&$\Box \quad ]0 ; 6]$\\ 
&$\Box \quad ]1 ; 6]$\\ \hline 
\multirow{3}*{5. La fonction $\ln f$ s'annule exactement}&$\Box \quad 1$ fois\\ 
&$\Box \quad 2$ fois\\ 
&$\Box \quad 0$ fois\\ \hline 
\end{tabularx}

\bigskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


Dans cette partie du QCM, on appelle $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~ 6]$ par son expression $g(x) = \mathrm{exp}\left[f(x)\right]$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{3cm}|} \hline
\multicolumn {1}{|c|}{\textsf {\textbf{\textsc{questions}}}}& \\ \hline
\multirow{3}*{6. La fonction $g$ est strictement croissante sur	}&$\Box \quad ]-\infty~;~3]$\\ 
&$\Box \quad ] 1 ; 6]$\\ 
&$\Box \quad ]- \infty~ ;~ 6]$\\ \hline
\multirow{3}*{7. $g'(1)$ est égal à}&$\Box \quad 2$\\ 
&$\Box \quad 0$\\ 
&$\Box \quad 2\e $\\ \hline
\multirow{3}*{8. La fonction $g$ s'annule exactement}&$\Box \quad 1$ fois\\ 
&$\Box \quad 2$ fois\\ 
&$\Box \quad 0$ fois\\ \hline 
\end{tabularx}



 \bigskip 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2007 (1)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2007}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X m{6.5cm}}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, strictement croissante sur l'intervalle $]0 ; 2]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
 
La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé est tracée ci-contre.

Elle passe par les points $A\left(\dfrac{1}{2}~;~-2\right)$, $B(1 ; 0)$, $C(2 ; 1)$ et $D\left(\dfrac{7}{2}~;~0\right)$. 
$E$ est le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.

La courbe $\Gamma$  admet au point $C$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La droite $(AE)$ est tangente à la courbe $\Gamma$  au point $A$.
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-4.5)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4*ln(x)-.156*x^2-1.3*x+1.45}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-4)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-0.5,-4)(6,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,2.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.27}{5.7}{\f}
\psdots[dotstyle=x,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](0.5,-2)(1,0)(2,1)(3.5,0)
\psdots[dotstyle=x,linewidth=1.5pt,linecolor=prune](1,1.5)
 \uput[ur](0.5,-2){\bleu $A$} \uput[ul](1,0){\bleu $B$} \uput[u](2,1){\bleu $C$} \uput[ur](3.5,0){\bleu $D$} \uput[ul](1,1.5){\prune $E$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1,1)(3,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](.2,-4.1)(1.2,2.9) \uput[ur](5,-2){\bleu $\Gamma$}
\end{pspicture}\\
 \end{tabularx}
\noindent Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'annexe, à rendre avec la copie. Les réponses ne seront pas justifiées.

NOTATION :  \emph{une réponse exacte rapporte $0,5$ point; une réponse inexacte retire $0,25$ point; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.} 

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{13.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf {\textbf{\textsc{affirmation}}}}&	\textsf {\textbf{\textsc{vraie}}} & \textsf {\textbf{\textsc{fausse}}} \\ \hline
a) \:L'équation $f(x)= -1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ &$\Box$ V& $\Box$ F\\ \hline
b) \:Le coefficient directeur de la droite $(AE)$ est égal à $\dfrac{1}{7}$.\rule[-2ex]{0pt}{2ex} & $\Box$ V& $\Box$ F \\ \hline
c) \:Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle $[1 ; 2]$.& $\Box$ V& $\Box$ F \\ \hline 
d) \:Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$.\rule[-3ex]{0pt}{3ex} & $\Box$ V& $\Box$ F \\ \hline
e) \:On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$. & $\Box$ V & $\Box$ F\\ \hline
f) \:La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) =  \e^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle.&$\Box$ V& $\Box$ F\\ \hline
 \end{tabularx}



 \bigskip 

\subsubsection[Polynésie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2007 (1)}} 

 \index{Polynésie 2007}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

\textbf{Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.}

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.}

\begin{enumerate}
\item  Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-0.5)(7,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-0.5)(7,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{(6-x)*(x^2-3*x+6)/9}
\end{pspicture} \end{center}
Sur l'intervalle $[0; 6[$, la fonction composée $x \longmapsto \ln [f(x)]$ : 
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  est strictement croissante.
\item  a les mêmes variations que $f$.
\item  a les variations contraires de celles de $f$.
 \end{itemize}
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = 4x -2 \ln x$.

Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est :
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  $y = 2x + 2$.
\item  $y= 4x - 2$.
\item  $y=2x+6$.
\end{itemize}
\item  L'ensemble des solutions de l'équation $2 \ln x = \ln (2x + 3)$ est :
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  l'ensemble vide.
\item  $\{-1~;~3\}$.
\item  $\{3\}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Polynésie Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie Septembre 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Polynésie Septembre 2007}
Pour chacune des cinq propositions ci-dessous, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

\begin{enumerate}
\item  La fonction $x \mapsto  \e + \dfrac{1}{5}$ est la fonction dérivée de la fonction $x \mapsto  \e x + \ln 5$.
\item  L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $\left(\e^x - 1\right)\left(\e^x + 4\right) = 0$ est  $S = \{0\}$.
\item 	Si $\left(1 - \dfrac{1}{100}\right)^n \leqslant  0,7$ alors  $n \geqslant \dfrac{\ln 0,7}{\ln 0,99}$.
\item 	L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $\ln \left(x^2 + 4x + 3\right) = \ln(5x+ 9)$ est $S = \{-2 ~;~ 3\}$.
\item 	La limite quand $x$ tend vers 1, $x < 1$, de la fonction $x \mapsto \ln \left(\dfrac{\sqrt{1 - x}}{2}\right)$	est 0.
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Pondichery 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichery 2007 (1)}} 

 \index{Pondichery 2007}
\emph{Dans cet exercice, on ne demande aucune justification.}

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie, pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et préciser en toutes lettres, sans justifier votre choix, VRAI ou FAUX ou ON NE PEUT PAS RéPONDRE.

\medskip

On connaît le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathcal{D}_{f} = ]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$  

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16,3) \psline(2,0)(2,3)\psline(0,2.2)(16,2.2)\psline(6.9,0)(6.9,2.2) \psline(7.1,0)(7.1,2.2) 
\rput(1,2.6){$x$}\rput(2.5,2.6){$- \infty$} \rput(7,2.6){1} \rput(11.5,2.6){3}\rput(15.5,2.6){$+ \infty$}
\rput(1,1.1){$f(x)$} \rput(2.5,0.4){\rnode{A}{$-2$}} \rput(6.5,1.8){\rnode{B}{$+ \infty$}}\rput(7.5,0.4){\rnode{C}{$- \infty$}}  \rput(11.5,1.8){\rnode{D}{5}} \rput(15.5,.4){\rnode{E}{1}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{C}{D}\ncline{D}{E}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La droite d'équation $x =  -2$ est asymptote à la représentation graphique de $f$.
\item  L'équation $f(x) =  2$ admet exactement deux solutions dans $\mathcal{D}_{f}$.
\item  Pour tout $x$ appartenant à $]1 ; 3 [$, $ f'(x) > 0$  ($f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$).
\item  Toute primitive de $f$ sur [3 ; 8] est décroissante.
\item  La fonction $x \mapsto  \dfrac{1}{f(x)}$		est décroissante sur $[3~;~ + \infty[$
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie, pour chaque question, trois propositions sont formulées. Une seule d'entre elles convient. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la proposition qui vous semble exacte, sans justifier votre choix.

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{2\e^x}{\e^x - 1}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item  L'ensemble de définition $D_{g}$ de $g$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
a)\quad  $]0~ ;~+\infty[$ & b)\quad  $\R- \{0\}$ & c)\quad  $\R- \{1\}$\\
\end{tabularx}

\item L'équation $g(x) = 3$ admet pour solution :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
a)\quad  $\e^3$ & b)\quad  $\ln 3$ & c)\quad  Aucune solution\\
\end{tabularx}

\item La limite de $g$ en $+\infty $ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
a)\quad  $- 1$ & b)\quad  $+ \infty$ & c)\quad  $2$\\
\end{tabularx}
 
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \section{Q.C.M DIVERS} 

 \subsection{Q.C.M ANALYSE ET PROBABILIT\'ES} 

 \subsubsection[Centres étrangers 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2007 (1)}} 

 \index{Centres étrangers 2007}
\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification Une bonne réponse apporte $0,5$ point, une mauvaise enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$.}



\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{12.5cm}|@{\hspace{.25cm}\psframe(0.25cm,0.25cm)\hspace{.5cm}}X|}\hline
\multirow{3}{12.5cm}{\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\e^{-x^2 + 3}\right)$ est égale à :}	&$+ \infty$ \\ 
	&$0$\\ 
 	&$\e^3$\\ \hline
\multirow{3}*{\textbf{2.} $\e^{\ln (2)} +\e - 4$ est égal à :}&$\e - 2$\\ 
	& $\ln (2) +\e - 4$\\ 
	&$2$\\ \hline
\multirow{3}*{\textbf{3.} $\ln (1 - x) \geqslant 1$ est équivalente à :}	&$x \leqslant 1 - \e$\\ 
				&$x < 0$\\ 
				&$x  > -\e$\\ \hline
\multirow{3}{12.5cm}{\textbf{4.}  La fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)+2$ a pour primitive la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :}&$F(x) = x \ln (x)$\\
	&$F(x) = x \ln (x) - x$\\ 
 	&$F(x) =  x\ln (x) + x$\\ \hline
 \end{tabularx}
 

\bigskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. A et B sont deux évènements associés à une expérience aléatoire. On sait que 
$P(\text{A}) = a^2$, $P(\text{B}) =  b^2$ et $P(\text{A} \cap \text{B}) = 2ab$. Alors,

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{12.5cm}|@{\hspace{.25cm}\psframe(0.25cm,0.25cm)\hspace{.5cm}}X|}\hline
\multirow{3}{12.5cm}{\textbf{5.}  $P\left(\overline{\text{A}}\right)$ est égale à :}	&  $(1 - a)(1 + a)$\\
	&  $a^2 - 1$\\
	&  $b^2 - a^2$\\ \hline
\multirow{3}{12.5cm}{\textbf{6.} $P(\text{A} \cup \text{B})$ est égale à :}	&  $(a+b)^2$\\	
				& $(a - b)^2$\\	
				& $a^2 + b^2$\\ \hline
\multirow{3}{12.5cm}{\textbf{7.} $P_{\text{B}}(\text{A})$ est égale à:}	&  $\dfrac{a}{2b}$ \rule[-2.5ex]{0pt}{6ex}\\
		&  $\dfrac{2b}{a}$\rule[-2.5ex]{0pt}{6ex}\\
		&  $\dfrac{2a}{b}$\rule[-2.5ex]{0pt}{6ex}\\ \hline
 \end{tabularx}
 

\bigskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie c}}}}

\medskip

Soit $\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 0}$,  la suite géométrique de premier terme $U_{0} =  2$ et de raison $ \dfrac{1}{2}$. Alors,\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{12.5cm}|@{\hspace{.25cm}\psframe(0.25cm,0.25cm)\hspace{.5cm}}X|}\hline
\multirow{3}{12.5cm}{\textbf{8.} $U_{n+1}$  est égale à :}&\rule[-2.5ex]{0pt}{6ex} $U_{n} + \dfrac{1}{2}$ \\	
& $\dfrac{1}{2}U_{n}$\\
& $\left(U_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$\\ \hline
\multirow{3}{12.5cm}{\textbf{9.} $U_{n}$ est égale à :}&\rule[-2.5ex]{0pt}{6ex}$ 2 + \dfrac{1}{2}n$\\
& $2^{(1 - n)}$\\
& $2^{(n+1)}$ \\ \hline
\multirow{3}{12.5cm}{\textbf{10.} $U_{0} + U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4}$ est égale à:}&\rule[-2.5ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{31}{8}$\\
&  15\\
&  $ \dfrac{15}{8}$\rule[-2.5ex]{0pt}{6ex} \\ \hline
 \end{tabularx}



 \bigskip 

\subsubsection[La Réunion 2007]{\Numexo  \hfill \emph{La Réunion 2007 (3 obligatoire)}} 

 \index{La Réunion 2007}
Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

\emph{Pour chaque question, une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le nombre d'habitants d'une ville était : 157~500 en 2002 et 139~860 en 2006. Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :
\begin{enumerate}
\item 11,2\:\% ;
\item $-12,6$\:\% ;
\item $-11,2$\:\%.
\end{enumerate}

\item  Effectuer une augmentation de 15\:\% suivie d'une baisse de 15\:\% revient à :
\begin{enumerate}
\item ne procéder à aucune modification ;
\item effectuer une augmentation de 2,25\:\% ;
\item effectuer une diminution de 2,25\:\%.
\end{enumerate}

\item On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2\:\% par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près, de :
\begin{enumerate}
\item 32\:\% ;
\item 29\:\% ;	
\item 37\:\%.
\end{enumerate}

\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \text{e}^{- n \ln 2}$.
\begin{enumerate}
\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $-\ln 2$ ;
\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ ;
\item $\left(u_{n}\right)$ n'est pas une suite géométrique.
\end{enumerate}

\item On a représenté un nuage de points $M_{i}\left(x_{i}  ; \ln v_{i}\right)$ et effectué un ajustement affine : 

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-0.5)(8,4)
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=4.5,Dy=.5, comma=true]{->}(0,0)(8,2)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](1,.52)(2,.7)(3,.8)(4,1.12)(5,1.24)(6,1.36)
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](-0.5,0.25)(8,1.78)
\uput[d](7.8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[r](0,1.82){\footnotesize{$y = \ln v$}}
\end{pspicture}
 \end{center}
 
Selon cet ajustement, lorsque $x$ prendra la valeur 7, $y$ vaudra environ :
\begin{enumerate}
\item 1,8 ;
\item 6,1 ;
\item 445.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \section{PROBABILIT\'ES} 

 \subsection{G\'EN\'ERALIT\'ES} 

 \subsubsection[Antilles-Guyane 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles-Guyane 2007 (1)}} 

 \index{Antilles-Guyane 2007}
Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers légumes frais contenant 2~kg de légumes ou des paniers contenant 5~kg de légumes.

35~\% des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant.

Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40~\% choisissent les paniers de 5~kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2~kg de légumes.

On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.

On note $E$ l'événement \og le client interrogé a au moins un enfant\fg ;

on note $C$ l'événement \og le client interrogé a choisi un panier de 5~kg de légumes\fg.

\medskip

Pour tout événement $A$, on note $\overline{A}$ l'événement contraire.

\medskip

\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant~?
\item Sachant que le client interrogé n'a pas d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5~kg de légumes~?
\item Décrire l'événement $\overline{E}\cap C$, et montrer que $p\left(\overline{E}\cap C\right)=0,26$.
\item On sait de plus que 30~\% des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5~kg.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(E\cap C)$.
\item En déduire la probabilité conditionnelle de $C$ sachant que $E$ est réalisé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Asie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2007 (3)}} 

 \index{Asie 2007}
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Sur son trajet habituel pour aller travailler, un automobiliste rencontre deux feux tricolores successifs dont les fonctionnements sont supposés indépendants.

Ces feux sont réglés de telle sorte que la probabilité pour un automobiliste de rencontrer le feu au vert est $\dfrac{5}{12}$ \`a l'orange $\dfrac{1}{12}$ et au rouge $\dfrac{1}{2}$.

On note :
 
$R_{1}$ l'év\`enement le premier feu rencontré est au rouge
  
$V_{1}$ l'év\`enement: le premier feu rencontré est au vert
  
$O_{1}$ l'év\`enement : le premier feu rencontré est à l'orange

et on définit de même $R_{2}$, $V_{2}$, $O_{2}$ pour le deuxième feu rencontré.
   
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert?
\item  Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert
 \end{enumerate}
 

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

On règle le deuxième feu afin de rendre la circulation des véhicules plus fluide.

L'arbre suivant modélise la nouvelle situation dans laquelle les fonctionnements des deux feux ne sont plus indépendants.
\medskip
 
 \psset{unit=1cm}
 \begin{center}
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
 \pstree[levelsep=3,treesep=.7,linecolor=bleu,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V_{1}$}\taput{$\frac{5}{12}$}}
	  { 
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{1}{4}$}
		  \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$R_{1}$}\tbput{$\frac{1}{2}$}}
	  {
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{7}{8}$}
		  \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{8}$} 
	  }
	\pstree{\TR{$O_{1}$}\tbput{$\frac{1}{12}$}}
	  {
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{3}{4}$}
		   \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	  }	
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ? 
\item Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert ?
\end{enumerate}




 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine Juin 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine Juin 2007 (3)}} 

 \index{France Métropolitaine Juin 2007}
Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet. 

40\:\% des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30\:\% sont de niveau moyen et 30\:\% de niveau difficile.

Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95\:\% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60\:\% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40\:\% des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les évènements suivants :
 \begin{itemize}
\item[] F : \og la grille est de niveau facile \fg
\item[] M : \og la grille est de niveau moyen \fg
\item[] D : \og la grille est de niveau difficile \fg
\item[] R : \og Pierre réussit la grille \fg ~et $\overline{\text{R}}$ son évènement contraire. 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item 	\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse. 
\item Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas. 
\item Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
 \end{enumerate}
\item	Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?
\item Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite s{\oe}ur affirme: \og Je pense que ta grille était facile \fg.

Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007 (4)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007}
\medskip

Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but.

Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que :

\begin{itemize}
\item  la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égal à $0,8$ ;
\item  s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,7$ ;
\item  s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,5$.
\end{itemize}

\medskip
   
On note $R_{1}$ l'évènement: \og le premier tir au but est réussi \fg{} et $\overline{R}_1$ son évènement contraire, $R_{2}$ l'évènement: \og le second tir au but est réussi \fg{} et $\overline{R}_2$ son évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item  Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis.
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que le second tir au but soit réussi.
\item Les évènements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
 \end{enumerate}
\item On note $A$ l'évènement : \og Jean a réussi exactement un tir au but \fg.  Montrer que $p (A) = 0,34$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{LOI BINOIMIALE} 

 \subsubsection[Centres étrangers 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2007 (3)}} 

 \index{Centres étrangers 2007}
On suppose que, pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{4}$.

S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{1}{3}$.

S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{5}{6}$.

\begin{enumerate}
\item Représenter par un arbre de probabilité la situation ci-dessus.
\item 	Quelle est la probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail ?
\item 	Montrer que la probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{17}{24}$.

\item 	Un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail.

Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour là ?
\item 	Sur une période de 4 jours de septembre, quelle est la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois ? \emph{On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.}
\end{enumerate}




 \bigskip 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2007 (3)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2007}
Une étude réalisée auprès des élèves d'un lycée a permis d'établir que 55\:\%  des élèves possèdent un ordinateur. Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98\:\% possèdent un téléphone portable. De plus, parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60\:\% possèdent un ordinateur.

\medskip

Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au centième donc les pourcentages à l'unité.

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}}} 

\medskip

On choisit au hasard un élève de ce lycée. On note :
\begin{itemize}
\item  M l'évènement : \og L'élève possède un ordinateur \fg{};
\item  T l'évènement: \og L'élève possède un téléphone portable \fg{};
\item 	$\overline{\mathrm{M}}$ l'évènement contraire de M ;
\item  $\overline{\mathrm{T}}$ l'évènement contraire de T.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable.
\item  En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  On prend $0,90$ comme valeur de la probabilité de l'évènement T.

Calculer la probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable.
\item  En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}}} 

\medskip

On choisit trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres.

On note E l'évènement : \og Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement E.



 \bigskip 

\subsubsection[Polynésie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Polynésie 2007}
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.

150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :
\begin{itemize}
\item  la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20\:\% des adultes
\item  27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10\:\% des enfants.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn {1}{c|}	{}&Magie&	Théâtre	&Photo numérique&	Total\\ \hline
Adultes \rule[-3mm]{0pt}{8mm} &&&& \\  \hline	
Enfants \rule[-3mm]{0pt}{8mm} &&&&  \\ \hline	
Total \rule[-3mm]{0pt}{8mm} &&&&	150\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :

\begin{itemize}
\item  A l'évènement \og la personne appelée est un adulte \fg{};
\item  M l'évènement \og la personne appelée a choisi la magie \fg{};
\item  T l'évènement \og la personne appelée a choisi le théâtre \fg{};
\item  N l'évènement \og la personne appelée a choisi la photo numérique \fg{}.
\end{itemize}
\item  \begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ? 
\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ? 
\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre
\end{enumerate}
\item  Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est $0,32$.
\item 	Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
\item  On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie (\emph{on donnera une valeur arrondie au centième}) ?
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Pondichery 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichery 2007 (3)}} 

 \index{Pondichery 2007}
Madame Boulard fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et des Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Boulard a mis une annonce pour signaler qu'elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre.

On sait que :
\begin{itemize}
\item 32\:\% des chatons sont des Siamois, 54\:\% des chatons sont des Abyssins et le reste est
constitué de Birmans.
\item Parmi les Siamois, 54\:\% sont des mâles.
\item 66\:\% des Abyssins sont des femelles.
\item Il y a au total 40,96\:\% de chatons mâles.
 \end{itemize}
 
\medskip

Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu'il n'arrive pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard.
On désigne par S, B, A, M et F les évènements suivants :
\begin{itemize}
	\item [] S : \og Pierre achète un chaton Siamois \fg ;
	 \item [] B : \og Pierre achète un chaton Birman \fg ;
 \item [] A : \og Pierre achète un chaton Abyssin \fg ;
 \item [] M : \og Pierre achète un chaton mâle \fg ;
 \item [] F : \og Pierre achète un chaton femelle \fg .
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Traduire les données de l'énoncé en langage de probabilités.
\item 	Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités données dans l'énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois,
\item 	Calculer $p(\mathrm{M} \cap \mathrm{A})$ et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
\item 	En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton m\^{a}le Birman est égale à 0,0532.
\item 	Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ?
\end{enumerate}
\item Finalement, Pierre est tellement séduit par ces chatons qu'il décide d'en acheter trois
toujours au hasard. On assimilera ces achats à des tirages successifs avec remise.

Quelle est la probabilité qu'il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans (\emph{le résultat sera arrondi à} $10^{-3}$)?
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{VARIABLE NUM\'ERIQUE} 

 \subsubsection[Amérique du Sud 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Amérique du Sud 2007}
Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s'abonner à une seule des deux éditions ou de s'abonner à l'édition papier et à l'édition électronique.

 L' éditeur de la revue a chargé un centre d'appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels.
 
On admet que lorsqu'un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d'appel, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition papier est égale à $0,2$ ; s'il s'abonne à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne aussi à l'édition électronique est égale à $0,4$ ; s'il ne s'abonne pas à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition électronique est égale à $0,1$.

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i}}}}

\medskip

Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d'appel.

 On note :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  A l'évènement \og la personne s'abonne à l'édition papier \fg,
\item[$\bullet~$] B l'évènement \og la personne s'abonne à l'édition électronique \fg,
\item[$\bullet~$] $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de A, $\overline{\text{B}}$ l'évènement contraire de B.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter l'arbre suivant :

\medskip

\begin{center}
\pstree[levelsep=3,treesep=.7,linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{B}
		  \TR{$\overline{\text{B}}$}  
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{}}
	  {
		  \TR{B}
		  \TR{$\overline{\text{B}}$} 
	  }
	
}
\end{center}

\item Donner la probabilité de $\overline{\text{B}}$ sachant A et la probabilité de $\overline{\text{B}}$ sachant $\overline{\text{A}}$.
 \end{enumerate}
\item   
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que la personne contactée s'abonne à l'édition papier et à l'édition électronique.
\item  Justifier que la probabilité de l'évènement B est égale à $0,16$.
\item  Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
 \end{enumerate}
\item 	 On suppose que la personne contactée s'est abonnée à l'édition électronique. Quelle est alors la probabilité qu'elle soit aussi abonnée à l'édition papier ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii}}}}

\medskip

Pour chacune des personnes contactée, le centre d'appel reçoit de l'éditeur de la revue
\begin{itemize}
\item 2 \euro{} si la personne ne s'abonne à aucune des deux éditions ;
\item 10 \euro{} si la personne s'abonne uniquement à l'édition électronique ;
\item 15 \euro{} si la personne s'abonne uniquement à l'édition papier;
\item 20 \euro{} si la personne s'abonne aux deux éditions.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme re\c{c}ue par le centre d'appel pour une personne contactée.

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Somme reçue en \euro{}&2&	10&	15&20\\   \hline
Probabilité&&&&\\   \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item  Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d'appel recevra de l'éditeur s'il parvient à contacter 5000 lecteurs potentiels.
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Antilles Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Septembre 2007 (4)}} 

 \index{Antilles Septembre 2007}
Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. 

Si, lorsqu'il parvient à leur niveau, le signal est vert, il passe, si le signal est orange ou rouge, il s'arrête.

On note : 

\begin{itemize}
\item $A_{1}$ l'évènement : \og l'automobiliste s'arrête au premier feu \fg.
\item  $A_{2}$ l'évènement: \og l'automobiliste s'arrête au deuxième feu \fg.
\end{itemize}
On note $\overline{A_{1}}$  et $\overline{A_{2}}$ les évènements contraires des évènements $A_{1}$ et $A_{2}$.
\begin{enumerate}
\item Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est $\dfrac{1}{6}$, la probabilité qu'il soit rouge est $\dfrac{1}{3}$.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ? 
\item  Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ?
 \end{enumerate}
\item  Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est $\dfrac{1}{2}$ ;	s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est $\dfrac{1}{3}$.
\begin{enumerate}
\item  Illustrer cette situation par un arbre pondéré. 
\item   Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est $\dfrac{1}{3}$.
\item  	Calculer $P\left(A_{1} \cap  A_{2}\right)$ et $P\left(\overline{A_{1}} \cap  A_{2}\right)$ ;  en déduire $P\left(A_{2}\right)$.
\item  	L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ?
 \end{enumerate}
\item  	Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet.
\item  Déterminer la durée moyenne du trajet.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[La Réunion 2007]{\Numexo  \hfill \emph{La Réunion 2007 (2)}} 

 \index{La Réunion 2007}
Les deux parties sont totalement indépendantes.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soient A, B, C et T quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note $\overline{\mathrm{T}}$  l'évènement contraire de l'évènement T.

On donne l'arbre de probabilités suivant.

\begin{center}

 \psset{unit=1cm}
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
 \pstree[levelsep=3,treesep=.75,linecolor=bleu,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{\: A\:}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{T}\taput{0,4}
		  \TR{$\overline{\mathrm{T}}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{\: B\:}}
	  {
		  \TR{T}
		  \TR{$\overline{\mathrm{T}}$}
	  }
	\pstree{\TR{\: C\:}\tbput{0,7}}
	  {
		  \TR{T}\taput{0,2}
		   \TR{$\overline{\mathrm{T}}$}
	  }	
}


\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Donner la probabilité $p_{\mathrm{A}}(\mathrm{T})$ de l'évènement \og T sachant que A est réalisé \fg.
\item  Calculer : 
\begin{enumerate}
\item  la probabilité $p(\mathrm{B})$ de l'évènement B ; 
\item  la probabilité $p_{\mathrm{A}}\left(\overline{\mathrm{T}}\right)$ de l'évènement \og non T sachant que A est réalisé \fg ;
\item  la probabilité $p(\mathrm{A} \cap \mathrm{T})$ de l'évènement \og A et T \fg.
\end{enumerate}
\item  On sait que la probabilité $p(\mathrm{T})$ de l'évènement T est : $p(\mathrm{T})= 0,3$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité $p_{\mathrm{T}}(\mathrm{A})$.
\item  Calculer la probabilité $p_{\mathrm{B}}(\mathrm{T})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X m{2.5cm}}
Un domino est une petite plaque partagée en deux parties.

Sur chacune des parties figure une série de points.

Il peut y avoir de zéro à six points dans une série.

Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents. 

Lors d'une f\^ete, on propose le jeu suivant :

\begin{itemize}
\item  le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu, 
\item  il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré.
 \end{itemize}
 
On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés
& \psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(3,2.5) 
 %\psgrid
 \psframe[linewidth=1pt,framearc=.3](0,0)(2,1) \psframe[linewidth=1pt,framearc=.3](0,1.5)(2,2.5) \psline[linewidth=.5pt](1,0)(1,1) \psline[linewidth=.5pt](1,1.5)(1,2.5)
 \qdisk(0.2,2.3){3pt} \qdisk(0.8,1.7){3pt} \qdisk(1.2,2.3){3pt} \qdisk(1.8,1.7){3pt}
  \qdisk(0.2,0.8){3pt} \qdisk(0.2,0.2){3pt} \qdisk(0.8,0.8){3pt} \qdisk(0.8,0.2){3pt}
 \end{pspicture}\\ 
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item \'Etablir la loi de probabilité des gains possibles.
\item Le joueur doit miser 7~\euro{} avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Liban 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Liban 2007}
\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

Les places d'une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d'une comédie à grand succès. 

Dans cette salle, les hommes représentent 25\:\%  des spectateurs, les femmes $\dfrac{2}{5}$ des spectateurs et les autres spectateurs sont des enfants. 

$\dfrac{1}{5}$	des hommes et 30\:\%   des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois.

\`A la fin de la projection, on interroge au hasard une personne sortant de la salle.

On appelle :
\begin{itemize}
	\item [] H l'évènement: \og la personne interrogée est un homme \fg
	\item [] F l'évènement: \og  la personne interrogée est une femme \fg
	\item [] E l'évènement: \og  la personne interrogée est un enfant \fg
	\item [] V l'évènement: \og  la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection \fg
	\item [] $\overline{\mathrm{V}}$ l'évènement: \og  la personne interrogée n'avait jamais vu le film avant cette projection \fg.
\end{itemize}

La notation $p(\mathrm{A})$ désigne la probabilité de l'évènement A.

La notation $p_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})$ désigne la probabilité de l'évènement A sachant que B est réalisé.
   
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item à l'aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l'arbre pondéré dont le départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure.

\medskip

\begin{center}

\psset{arrows=-,treesep=1cm,levelsep=2.5cm,nodesep=0pt}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\pstree[linecolor=bleu,treemode=R]{\Tp}
{  \pstree{\TR{\bleu H}\taput{\bleu 0,25}}{
  \TR{}  \TR{}}
\TR{\bleu F}
\TR{\bleu E}
}

\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement  $\mathrm{H}\cap \mathrm{V}$. 
\item  Donner $p_{\mathrm{H}}(\mathrm{V})$ et en déduire $p(\mathrm{H}\cap \mathrm{V})$.
\end{enumerate}
\item  La probabilité que l'évènement V soit réalisé est égale à $0,345$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $p\left(\overline{ \mathrm{V}}\right)$.
\item 	Déterminer la probabilité que si l'on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette projection.
\end{enumerate}
\item  On interroge au hasard et successivement quatre personnes sortant de la salle. On suppose que le nombre de spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard d'un spectateur à un tirage avec remise. 

Quelle est la probabilité arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\`A la fin de l'année, une étude nationale a été réalisée sur le nombre de fois qu'un spectateur sortant de la salle est allé voir ce film. 

Le tableau ci-dessous, pour lequel il manque une valeur notée $q$ représente la loi de probabilité du nombre de fois que le spectateur est allé voir ce film.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de fois&	1&	2& 	3&	 4& 	 5 &	6\\ \hline
probabilité&	0,55	&0,15&	0,15	&0,05&	$q$& 	0,05\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $q$.
\item En déduire l'espérance mathématique, arrondie à l'unité de cette loi de probabilité et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Polynésie Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie Septembre 2007 (1)}} 

 \index{Polynésie Septembre 2007}
Une buvette, située en bordure de plage, est ouverte de 12 heures à 18 heures. Elle propose des cr\^epes salées et des crêpes sucrées.

 Chaque client achète une seule crêpe.
 
60\:\% des clients se présentent à l'heure du déjeuner (entre 12 heures et 14 heures).

Parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi (à partir de 14 heures), 80\:\% choisissent une crêpe sucrée.

On appelle :
\begin{itemize}
	\item[] D l'évènement : \og le client est venu à l'heure du déjeuner \fg. 
	\item[]  A l'évènement : \og le client achète une crêpe salée \fg.
\end{itemize}

On sait que la probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à 0,62.

\medskip

\emph{On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés.}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les probabilités des évènements D et $\overline{\mathrm{D}}$.
\item  \begin{enumerate}
\item Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée?
\item 	Calculer $P\left(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{D}}\right)$.
\item 	En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P\left(\mathrm{A} \cap  \mathrm{D}\right)$.
\item 	Un client vient à l'heure du déjeuner ; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à $0,9$.
\end{enumerate}
\item 	Un client a acheté une crêpe salée ; quelle est la probabilité, à $0,01$ près, qu'il soit venu l'après-midi ?
\item 	On vend 3 euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit 250 clients par jour. 

Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes ?
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{Q.C.M} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2007 (1)}} 

 \index{Amérique du Nord 2007}
\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste àa cocher la réponse exacte sans justification.}
 
 \emph{Une bonne réponse apporte $1$ point, une mauvaise enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$.}
 
\begin{center}\textbf{\textsc{\textsf{compléter le document réponse}}}\end{center}
 
\textbf{Rappel : } La notation $P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$ désigne la probabilité de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{13cm}|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c}{\textsc{\textsf{Questions}}}  \rule[-2ex]{0pt}{5ex}& \\ \hline
\textbf{1.} A et B sont deux évènements indépendants tels que $p(A)=0,7$ et $p(B) = 0,2$. &  \rule[-2ex]{0pt}{2ex}

\psframe(.25,.25) \quad $p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,14$ 

	\psframe(.25,.25) \quad $p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,9$
		 
\psframe(.25,.25) \quad $p_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) =  0,5$ 	

 \\ \hline
\textbf{2.} Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à $\dfrac{1}{3}$. On lance $4$ fois de	suite cette pièce.

Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ? &

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{18}{81}$

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{72}{81}$

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex}$\dfrac{65}{81}$  \\ \hline

 \textbf{3.}  On considère l'arbre pondéré ci-dessous. 

\begin{center}
\pstree[levelsep=3,treesep=.7,linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{E}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{G}\taput{0,6}
		  \TR{H}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{F}\tbput{}}
	  {
		  \TR{G}\taput{0,3}
		  \TR{H}\tbput{}	  
	  }
}
\end{center}

Quelle est la probabilité de $P_{\text{H}}(\text{F})$ ? &

\psframe(.25,.25) \quad $P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,7$

\psframe(.25,.25) \quad $P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,56$

\psframe(.25,.25) \quad $P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,875$ \\\hline

\textbf{4.} Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules	noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n> 1$). 

Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ?& 

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $1 - \dfrac{1}{2^n}$

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $1 - \dfrac{1}{2^{2n}}$\\ \hline
\end{tabularx} 



 \bigskip 

\pagebreak 

 \section{STATISTIQUES} 

 \subsection{AJUSTEMENT AFFINE D'UN NUAGE DE POINTS} 

 \subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007}
Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année en France :\\


\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années												&	2000&	2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang de l'année, $x_{i}$							&	0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
Nombres de PACS en milliers, $y_{i}$	&	22,1	&19,4&	25&	31,1&	39,6\\ \hline
 \multicolumn {6}{r}{\scriptsize{\textsf{Source INSEE.}}} \\
\end{tabularx}


\begin{enumerate}
\item Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité entre 2000 et 2004.
\item  	\textsf{\textsc{on envisage un ajustement affine}}
\begin{enumerate}
\item à l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Par la suite, on pose $f(x) = ax + b$.
\item 	En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007.
\end{enumerate}
\item  \textsf{\textsc{on envisage un autre type d'ajustement}}

On modélise le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés durant l'année $2000+x$ 	($x$ entier) à l'aide de la fonction $g$ définie par 	$g(x) = 1,6x^2 -1,8x+ 21,4$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007.
\item 	On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèlejusqu'en 2015.
	Le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100~000 ? Justifier.
\end{enumerate}
\item  	\textsf{\textsc{comparaison des deux ajustements}}

	Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les 	valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&	0&1&2&	3&4\\  \hline
$\left[(y_{i} - f(x_{i})\right]^2$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 16 & 11,36 & 5,95 & 1,02 & 7,95\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0&1&2&	3&4\\  \hline
$\left[(y_{i} - g(x_{i})\right]^2$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 0,49 & & & & \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
 \begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième. 
\item Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2007}
Un club sportif a été créé au début de l'année 2000 et, au cours de cette année-là, 140 adhérents s'y sont inscrits.

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'adhérents de 2000 à 2005.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année		& 2000		&2001&	2002&	2003&	2004&	2005\\ \hline
rang de l'année $x_{i}$	& 0		& 	1&	2 &	3&	4&	5\\ \hline
nombre	d'adhérents $y_{i}$& 140	&165	&220&	240	& 260&	310\\ \hline
\end{tabularx}
	
\medskip

\emph{Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter dans un repère orthogonal $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$ le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé à cette série statistique.

On prendra comme unités graphiques 2~cm pour 1 année en abscisse et 1~cm pour 10 adhérents en ordonnées. Sur l'axe des ordonnées, on commencera la graduation à 120.

\item 	Un premier ajustement du nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $G_{1}$, le point moyen des trois points $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ du nuage et par $G_{2}$ le point moyen des trois points $M_{4}$, $M_{5}$ et $M_{6}$ du nuage. 

Calculer les coordonnées respectives de $G_{1}$ et de $G_{2}$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$.
\item  Déterminer l'équation réduite $y = Ax +B$ de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$.

Les coefficients $A$ et $B$ seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.

Tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sur le graphique.
\item  En utilisant la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ comme droite d'ajustement du nuage, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.
 \end{enumerate}
\item Dans cette question, on utilise la droite des moindres carrés,
\begin{enumerate}
\item  Soit $\Delta$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\Delta$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$.
\item  En utilisant la droite $\Delta$, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Si le taux d'augmentation du nombre d'adhérents d'une année à l'autre était fixe et égal à $t$\:\%,
 quelle serait la valeur de $t$ arrondie au centième qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 ?
\item  Avec ce même taux d'augmentation $t$, quel serait le nombre d'adhérents, arrondi à l'unité, pour l'année 2007 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 

 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{AJUSTEMENT EXPONENTIEL D'UN NUAGE DE POINTS}

 \subsubsection[Amérique du Nord 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2007 (3)}} 

 \index{Amérique du Nord 2007}
\emph{Dans tout l'exercice, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé.}

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.}

\emph{On rappelle que l'image d'un réel $x$ par la fonction exponentielle peut être notée  $\mathrm{exp}(x) = \e^x$.}

 \medskip
 
On veut étudier l'évolution des records de l'épreuve d'athlétisme du 100 mètres masculin. Pour cela, on cherche un ajustement des records pour en prévoir l'évolution.

On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis 1900.

 \medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 1900&1912&1921&1930&1964&1983&1991&1999\\ \hline
Rang de l'année, $x_{i}$&0&12&21&30&64&83&91&99\\ \hline
Temps en secondes, $y_{i}$&10,80&10,60&10,40&10,30&10,06&9,93&9,86&9,79\\ \hline
 \end{tabularx}
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \textbf{\'Etude d'un modèle affine} 

\begin{enumerate}
\item  Construire le nuage de points $M_{i}(x_{i}~ ;~ y_{i})$, avec $i$ compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1~cm pour dix ans en abscisse et 1~cm pour un dixième de seconde en ordonnées. On commencera les graduations au point de coordonnées $(0 ; 9)$.
\item  Peut-on envisager un ajustement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ?
 \end{enumerate}
\item  \textbf{\'Etude d'un modèle exponentiel}

  Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe. On effectue les changements de variables suivants :
  \[ X =  \e^{-0,00924x}~ \text{et}~ Y= \ln y.\]
On obtient le tableau suivant :

  \medskip
  \renewcommand*\arraystretch{1.25} 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
 $X_{i} =  \e^{-0,00924x_{i}}$ &	1	&0,895 	&0,824 	&0,758 	&0,554 	&0,464 	&0,431&	0,401\\ \hline
$Y_{i} = \ln y_{i}$& 	2,380& 	2,361& 	2,342&	2,332&	2,309&	2,296&	2,288&	2,281\\ \hline
 \end{tabularx}
   \renewcommand*\arraystretch{1} 
 \medskip
\begin{enumerate}
\item  Donner une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
\item  En déduire que l'on peut modéliser une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme suivante : 

$y = \mathrm{exp} \left(a \e^{- 0,00924x} + b \right)$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
\item  à l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ?
\item  Calculer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression suivante:
\[f(t) = \mathrm{exp}\left(0,154 \e^{-0,00924x} + 2,221\right).\]
\item  Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux records du cent mètres masculin, à très long terme?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Amérique du Sud 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2007 (3)}} 

 \index{Amérique du Sud 2007}
Une banque propose à ses clients de s'abonner au service \og bank.net \fg{} qui permet de consulter son compte et d'effectuer des transactions via une connexion internet.

 Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de clients de la banque et du nombre de clients abonnés à \og bank.net \fg{} de l'année 2001 à l'année 2006.
 
$y_{i}$ est le nombre de milliers de clients de la banque au 1\up{er} janvier de l'année de rang $x_{i}$, $q_{i}$ est le nombre de milliers de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier de l'année de rang $x_{i}$.
 
 \medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&	2001&	2002&	2003&	2004&	2005&	2006\\  \hline
Rang de l'année : $x_{i}$&	1&	2&	3&	4&	5&	6\\ \hline
Nombre de clients : $y_{i}$ (en milliers)&	298	&310&	321&	330&	339&	348\\ \hline
Nombre d'abonnés à \og bank.net \fg{} : $q_{i}$ (en milliers)&	45&	53&	63&	74&	87&	103\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

Les séries statistiques $(x_{i}~ ;~ y_{i})$ et $(x_{i}~;~ q_{i})$ sont représentées sur la figure de l'annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer le pourcentage de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier de l'année 2001 (donner le résultat arrondi à l'unité).
\item  	Calculer le taux d'accroissement du nombre de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} entre le 1\up{er}~janvier 2001 et le 1\up{er}~janvier 2006 (ce taux sera exprimé en pourcentage et arrondi à l'unité).
\end{enumerate}
\item  Modélisation de l'évolution du nombre de clients de la banque par un ajustement affine.
\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Le coefficient directeur sera arrondi au dixième et l'ordonnée à l'origine sera arrondie à l'unité.
\item En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients de la banque au premier janvier 2010.
\end{enumerate}
\item La forme du nuage de points de coordonnées $(x_{i}~;~ q_{i})$ permet d'envisager un ajustement exponentiel.

En effectuant le changement de variable $z_{i} = \ln \left(q_{i}\right)$, on obtient la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode	des moindres carrés d'équation  $z = 0, 165x + 3,642$.
\begin{enumerate}
\item  En déduire une expression de $q$ en fonction de $x$ de la forme $q = k A^x$ et donner les valeurs approchées arrondies au centième des constantes $k$ et $A$.
\item  On admet que l'évolution du nombre de clients abonnés à \og bank.net \fg{} entre les années 2001 et 2006 peut être modélisée par la relation  $q = 38,17 \times (1,18)^x$. 

En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier 2010.
\item 	Quel serait, selon l'estimation obtenue à la question 2. b. et l'estimation précédente, le pourcentage de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier 2010 ?
\end{enumerate}

\item  On suppose que, jusqu'au 1\up{er} janvier 2016, le nombre de clients de la banque évolue selon le modèle obtenu à la question 2. a. et le nombre de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} évolue selon le modèle donné à la question 3.b.

\`A l'aide de ces deux modèles, quelles prévisions obtient-on pour 2016 ? Qu'en pensez-vous ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm} 
\begin{pspicture*}(-2,-.5)(10,9)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(4,8.7){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe}}}}}
\rput(4,8.3){Représentation graphique des séries statistiques $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et $\left(x_{i}~;~q_{i}\right)$}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=1,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(8,8)
 \psset{xunit=1cm,yunit=0.03cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05,Dy=50]{->}(0,0)(8,400)
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.5,linecolor=bleu](1,45)(2,53)(3,63)(4,74)(5,87)(6,103)
\psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=1.5,linecolor=prune](1,298)(2,310)(3,321)(4,330)(5,339)(6,348)
\end{pspicture*}
\end{center}



 \bigskip 

\subsubsection[Asie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Asie 2007}
Le tableau ci-dessous rend compte de l'évolution du prix (en euros) du $\mathrm{m}^3$ d'eau, dans une ville, entre 2002 et 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années&	2002 &	2003 &	2004 &	2005 &	2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$ &	0 &	1 &	2 &	3 &	4\\ \hline
Prix en euros du $\mathrm{m}^3$ d'eau $y_{i}$ &	2,64	& 2,76 &	2,81 &	2,95 &	3,39\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\setdefaultenum {\bfseries I.}{1.}{a)}{}
\begin{enumerate}
 \item Calculer le pourcentage d'augmentation du prix entre 2002 et 2006. Donner le résultat arrondi à 0,1\:\%.
 
 \item Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté ci-dessous :
 
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,tickwidth=.1pt,xticksize=-.05 .05, yticksize=-.025 5,Dy=.5,comma=true](0,0)(5,4)
\psdots[linecolor=bleu](0,2.64)(1,2.76)(2,2.81)(3,2.95)(4,3.39) 
\rput(2,4.75){\textbf{\textsf{\'Evolution du prix du m\up{3} d'eau d'une ville}}}
\rput{90}(-.8,2){\textbf{$y_i$ \textsf{: prix du m\up{3} d'eau}}}
\rput{90}(-0.6,2){\textbf{\textsf{(en euros)}}}
\rput(2.5,-.75){$x_{i}$\textbf{\textsf{ : rang de l'année}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'allure du nuage suggère deux types d'ajustement :
\begin{enumerate}
\item  \textbf{\textsf{Ajustement affine}}
\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis au centième.
\item 	Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m$^3$ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?
\end{enumerate}
\item  \textbf{\textsf{Ajustement exponentiel}}

On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.

On prend $z = 0,06x + 0,95$ pour équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, avec $z =\ln y$.

\begin{enumerate}
\item En déduire qu'une relation entre $y$ et $x$ s'écrit alors sous la forme $y = \e^{0,95} \times \e^{0,06x}$.
\item 	Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m$^3$ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}



 \bigskip 

\subsubsection[Liban 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2007 (4)}} 

 \index{Liban 2007}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le nombre de ménages (en milliers) équipés d'un ordinateur entre les années 1986 et 1996.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&	1986 & 1987 & 1988 & 1989 & 1990 & 1991 & 1992 & 1993 & 1994 & 1995 & 1996\\ \hline
Rang $x_{i}$&0&1&	2&	3&	4&5&	6&	7& 	 8&	9&	10\\ \hline
Nombre de  ménages $y_{i}$& 160 &	235 &	345 & 510 & 760 & 1160 & 1780 & 2600 & 3850 & 5400 & 7300 \\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le pourcentage d'évolution du nombre de ménages équipés d'un ordinateur entre les années 1986 et 1987.
\item  Si ce pourcentage était resté le même d'année en année jusqu'en 1996, quel aurait été le nombre de ménages équipés en 1996 ? (on arrondira en millier).
\item  On pose $z = \ln y$.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau donné en ANNEXE 2 (arrondir les valeurs au centième).
\item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ z_{i}\right)$ pour $i$ allant de $0$ à $10$ dans le repère donnée en ANNEXE 2.
\item Donner une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). 

Tracer cette droite dans le repère précédent.
\item 	Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = a \e^ {bx}$, $a$ étant un réel arrondi à l'entier le plus proche et $b$ un réel arrondi au centième.

En déduire dans ce cas, une estimation arrondie au millier du nombre des ménages qui auraient dû être équipés en 2000.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

En fait le nombre de ménages équipés en 2000 est de 15~400~000.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par $f(t) = 	\dfrac{20}{1 + 2000 \e^{-0,44t}}$.

On estime alors que sur la période de 1980 à 2015 l'équipement des ménages en ordinateur peut être modélisé par la fonction $f$ définie ci-dessus. 

Ainsi, le nombre de ménages équipés en $1980 + n$, exprimé en millions, est donné par $f(n)$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer une estimation arrondie au millier du nombre des ménages équipés en 2002 puis en 2003.
\item Prouver que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ + \infty[$.
\begin{enumerate}
\item En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint 18 millions selon l'estimation ?
\item Déterminer la limite de $f$  en $+ \infty$. Interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}

\textsf {\textbf{\textsc{annexe 2 à rendre avec la copie}}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&	1986 &1987& 1988& 1989& 1990& 1991&1992 &1993&1994 & 1995&1996\\ \hline
Rang $x_{i}$&0	&1	&	2	&	3&	4	&5	&	6&	7& 	 8&	9&	10\\ \hline
{\small Nombre de  ménages :} $z_{i} = \ln y_{i}$  &	&	&	&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,11)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-1)(11,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](10.8,0){$x$} \uput[l](0,10.8){$y$}
\end{pspicture}
 \end{center}



 \bigskip 

\subsubsection[Polynésie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2007 (3)}} 

 \index{Polynésie 2007}
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&	1999&	2000&	 2001&	2002&	2003&	2004\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&1&	2&	3&	4&	5&	6\\ \hline
Montant des ventes $y_{i}$&179&	332&	584& 1092 &	2675 & 4164 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.

Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001 ? Justifier.
\item  La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose : $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  Présenter la série statistique $\left(x_{i}~ ;~ z_{i}\right)$ dans un tableau en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au centième.
\item  Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.
\item  En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.
 \end{enumerate}
\item 	Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de 5027 milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10\:\%  en 2006.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.
\item  En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10\:\%
par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d'euros)
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Pondichery 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichery 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Pondichery 2007}
Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années.

Le rang $x_{1} = 	1$ est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros.

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	Année&	1998&	2000&	2001&	2002&	2004\\ \hline
	Rang de l'année $x_{i}$&	1&	3	&4	&5 	&7\\ \hline
Consommation en milliers d'euros $y_{i}$	&28,5&	35&	52	&70,5 &	100,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Représenter le nuage de points $P_{i}(x_{i}~;~  y_{i})$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1~cm comme unité en abscisses et 1~cm pour 10~000~\euro{} en ordonnées).
\item 	Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage; le placer dans le repère précédent.

\item 	On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite $D$ d'équation $y = 12,5x+b$ qui passe par le point $G$. 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la valeur de $b$. 
\item  Tracer la droite $D$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\item 	Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.
\item 	En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de $y_{8} =  140\,000$ \euro.

Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi).
\item  Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant sachant que $z = \ln y$. Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&1&	3	& 4	&5	& 7 &	8\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &	3,35& \ldots& \ldots & \ldots & \ldots &4,94\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme $z =  cx + d$ ; on donnera les arrondis des coefficients $c$ et $d$  à $10^{-2}$.
\item   En déduire que : $y =  20,49\e^{0,23x}$.
\item 	Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 \euro{} près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{AJUSTEMENT D'UN NUAGE DE POINTS}

 \subsubsection[Antilles Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Septembre 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{Antilles Septembre 2007}
On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année $a_{i}$			&	1980&	1985&	1990&	1995	&	2000	& 2003\\ \hline
Proportion $y_{i}$	&	11,4	&	19,6	&	30,1	&	37,6	&42,6		& 45,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\noindent On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Construire le nuage de points de coordonnées $(a_{i},~ y_{i})$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant
\begin{itemize}
\item  sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité 0,5~cm,
\item  sur l'axe des ordonnées, on placera $10$ à l'origine et on prendra comme unité 0,5~cm. 
 \end{itemize}
\item  Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
\end{enumerate}
\item  On note $a$ l'année et $y$ la proportion, on pose $x = a -1950$ et $t = \ln x$.
\begin{enumerate}
\item  Compléter sur la feuille annexe le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $a_{i}$	 & 1980	& 1985 & 1990	& 1995	& 2000 & 2003\\ \hline
$x_{i} = a_{i} - 1950$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 30		&		&		&		&		&\\ \hline
$t_{i}  = \ln x_{i}$	\rule[-4mm]{0pt}{1cm}	& 3,401 &		&		&		&		&\\ \hline
$y_{i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 11,4	&		&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\noindent On donnera pour $t$ des valeurs arrondies au millième.
\item  Exprimer $y$ en fonction de $t$ par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.
\item  En déduire la relation : $y = 61,3 \ln x - 197$.
\item  Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à 1~\%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ?
\item  À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à 60~\% ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Antilles-Guyane 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles-Guyane 2007 (3)}} 

 \index{Antilles-Guyane 2007}
Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d'euros, de 1998 à 2004.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004\\
\hline
Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2&3&4&5&6\\
\hline
Montant en millions d'euros $y_{i}$ &75&260&820&1650&2300&4000&5300\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer  l'augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant des achats.
\item Représenter par un nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}~;~ y_{i})$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques: 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2~cm pour 1000 millions d'euros sur l'axe des ordonnées).
\item \emph{Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l'unité}.

Donner une équation des la droite d'ajustement affine $D$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représenter cette droite dans le repère précédent.

\item On propose  un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction $f$ définie, pour tout réel positif $x$, par: 
$f(x)=130x^2+100x+68$.

Recopier et compléter le tableau suivant:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline

$x$&0&1&2&3&4&5&6\\
\hline
$f(x)$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & &  & & & & & \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.
\item Le montant des achats en ligne en 2005 a été de 7~700~millions d'euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît-il le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine Juin 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine Juin 2007 (2 obligatoire)}} 

 \index{France Métropolitaine Juin 2007}
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimé en millions d'euros, est donné dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	& 2000 &	2001 &	2002 &	2003 &	2004 &	2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$ &	0 &	1 &	2 &	3 &	4 &	5\\ \hline
Montant des recettes touristiques $y_{i} $ en millions d'euros & 24495 &	26500 &	29401 &	33299 &	33675 &	34190 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.\\
 Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième.
\item  En supposant que cet ajustement est valable jusqu'en 2007, calculer le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007, arrondi au million d'euros.
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre entier $n$ par  $f(n) = \e^{10,13 + 0,07n}$.

On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen. 

Ainsi, $f(n)$ représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année $2000+n$.
\begin{enumerate}
\item Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année 2007. Arrondir le résultat au million d'euros.
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer le nombre entier $n$ à partir duquel $f(n) >  45000 $. 
\item  En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait  {45~000} millions d'euros.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \section{SP\'ECIALIT\'E} 

\subsection{FONCTIONS DE DEUX VARIABLES} 

 \subsubsection[Amérique du Sud 2007]{\Numexo  \hfill emph{Amérique du Sud 2007 (2)}} 

 \index{Amérique du Sud 2007}
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 7]$ et tout réel $y$ de l'intervalle $[0 ; 5]$ par :
\[f(x ; y) = 4x + 3y + xy.\]

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On appelle $\mathcal{S}$ la surface représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal de l'espace.

La figure ci-après, à rendre avec la copie, donne une vue de la surface $\mathcal{S}$.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(9,9)
\definecolor{C1} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C2} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.95 .89 .98}
\definecolor{C5} {rgb}{1 1 0.8}
\definecolor{C6} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C8} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C0} {rgb}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .85}
\psset{linewidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,linecolor=darkgray,Alpha=150,Beta=27}
\psset{xsubticks=7,ysubticks=5}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(7,5)
\psset{xsubticks=7,ysubticks=8}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=5](0,0)(7,8)
\psset{xsubticks=5,ysubticks=8}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(5,8)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=7,yMax=5,zMax=8,drawing=false] 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=black}
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,8)
\pstThreeDLine(0,0,0)(7,0,0)
\pstThreeDLine(7,0,0)(7,5,0)
\psset{linewidth=0.25pt,linecolor=black}
\multido{\n=0+1}{8}{%\pstThreeDLine(\n,-.1,0)(\n,0,0)
\pstThreeDPut(\n,-.2,-0.2){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{6}{%\pstThreeDLine(7,\n,0)(7.1,\n,0)
\pstThreeDPut(7.2,\n,-0.1){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1,\i=0+10}{9}{%\pstThreeDLine(-.1,0,\n)(0,0,\n)
\pstThreeDPut(-.2,-.2,\n){\footnotesize{\i}}}
\pstThreeDPut(3.5,-.8,-.3){$x$}
\pstThreeDPut(7.8,2.5,-.3){$y$}
\pstThreeDPut(-.8,-.3,4){$z$}
%surface
\psset{linewidth=0.1pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,linecolor=C8]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){t 0 4 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,5){7 t t 10 mul 28 add  10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](7,0){t 5 t 9 mul 15 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0 t t 3 mul 10 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,linecolor=C7]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){t 0 4 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,4.2){7 t t 10 mul 28 add  10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=8](4.2,5){82 t 4 add div 3 sub t 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6.1111,0){t 5 t 9 mul 15 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0 t t 3 mul 10 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){t 0 4 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,3.2){7 t t 10 mul 28 add  10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=18](3.2,5){72 t 4 add div 3 sub t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){t 5 t 9 mul 15 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0 t t 3 mul 10 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){t 0 4 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,2.2){7 t t 10 mul 28 add  10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=28](2.2,5){62 t 4 add div 3 sub t 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](3.8889,0){t 5 t 9 mul 15 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0 t t 3 mul 10 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){t 0 4 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,1.2){7 t t 10 mul 28 add  10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=38](1.2,5){52 t 4 add div 3 sub t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](2.7778,0){t 5 t 9 mul 15 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0 t t 3 mul 10 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,7){t 0 4 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,.2){7 t t 10 mul 28 add  10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=48](.2,5){42 t 4 add div 3 sub t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](1.6667,0){t 5 t 9 mul 15 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0 t t 3 mul 10 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,5){t 0 4 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,5){32 t 4 add div 3 sub t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](.5557,0){t 5 t 9 mul 15 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](5,0){0 t t 3 mul 10 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,2.5){t 0 4 t mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,3.3333){22 t 4 add div 3 sub t 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](3.333,0){0 t t 3 mul 10 div}
}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=C0}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](4.2,5){82 t 4 add div 3 sub t 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=30](3.2,5){72 t 4 add div 3 sub t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=40](2.2,5){62 t 4 add div 3 sub t 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=40](1.2,5){52 t 4 add div 3 sub t 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](.2,5){42 t 4 add div 3 sub t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,5){32 t 4 add div 3 sub t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,3.3333){22 t 4 add div 3 sub t 1}
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=14,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,7)(0,5){x y  mul  4 x mul add  3 y mul add 10 div}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $A$ est le point de $\mathcal{S}$ d'abscisse 3 et d'ordonnée 4, $B$ est le point de $\mathcal{S}$ d'ordonnée 2 et de cote 40.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points $A$ et $B$ sur la figure.
		\item Déterminer la valeur exacte de la cote du point $A$ et la valeur exacte de l'abscisse du point $B$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{L}$ l'intersection de la surface $\mathcal{S}$ et du plan d'équation $y = 4$.
	
Déterminer la nature de l'ensemble $\mathcal{L}$ et surligner en couleur cet ensemble
sur la figure.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Les activités d'une grosse entreprise sont réparties entre deux secteurs : le secteur P (production) et le secteur C (commercialisation).

Cette entreprise envisage d'investir au cours de l'année 2008 jusqu'à 7~millions d'euros dans le secteur P et jusqu'à 5~millions d'euros dans le
secteur C. 

Le service chargé d'évaluer l'effet de ces investissements sur le chiffre d'affaire 2009 de l'entreprise, propose le modèle suivant :

Pour $0 \leqslant x \leqslant 7$ et $0 \leqslant y \leqslant 5$, si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, $x$ millions d'euros dans le secteur P et $y$ millions d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à $f(x~;~y)$ millions d'euros.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la hausse du chiffre d'affaire 2009 prévue par ce modèle
dans chacun des cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $x = 3$ et $y = 5$ ;
		\item $x = 7$ et $y = 1$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que l'entreprise décide de fixer à 8 millions d'euros le montant
total des investissements prévus au cours de l'année 2008.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer $f(x~;~y)$ en fonction de $x$ seulement. 
		
		On note $g(x)$ l'expression ainsi obtenue. Vérifier que $g(x) = - x^2 + 9x + 24$.		
		\item Selon le modèle proposé, comment faudra-t-il répartir entre les secteurs P et C les 8 millions euros à investir au cours de l'année 2008 pour obtenir une hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 ? 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 

 \subsubsection[Antilles Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Septembre 2007 (2)}} 

 \index{Antilles Septembre 2007}
Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur 5~dm (décimètres).

Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels $x$ et $y$ tels que $x \in ]0~ ;~ 20[$ et $y \in ]0~  ;~  20[$.

La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux 12 arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de 0,8~euro le dm.

Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.


\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On décide d'investir exactement 80~euros pour la construction du bâti métallique.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour cet investissement, les dimensions $x$ et $y$ sont liées par la contrainte $x + y =  20$.
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer en fonction de $x$ et $y$ le volume $V$, exprimé en $\mathrm{dm}^3$, de cet aquarium.
\item 	En déduire le volume $V$ en fonction de $x$  sous la contrainte précédente.
 \end{enumerate}
\item  On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ 20[$ par $f(x) = V$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0 ~;~ 20[$.
\item En déduire les dimensions de l'aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in ]0 ~;~ 20[$  et tout $y \in ]0 ~;~ 20[$ par $g(x,~y)= xy + 10(x+y)$.

On donne en annexe la représentation graphique de la surface d'équation $z =g(x,~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation $x = 12$, parallèle
au plan $\left(\text{O}~ ;~ \vec j,~ \vec{k}\right)$ ? Justifier la réponse.
\item  Montrer que $g(x,~y)$ représente en fonction des dimensions $x$ et $y$ l'aire $S$, exprimée en $\mathrm{dm}^2$, de la surface vitrée de l'aquarium.
\item  On suppose pour cette question que $x =12.$
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
\item 	Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $y$ pour lesquelles l'aire est comprise entre 400 et 500~$\mathrm{dm}^2$.
\item 	Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(14.5,11)
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.55cm}
\definecolor{C1} {rgb}{1 0.44 1}
\definecolor{C2} {rgb}{.8 .6 1}
\definecolor{C3} {rgb}{1 1 0.8}
\definecolor{C4} {rgb}{.8 1 0.8}
\definecolor{C5} {rgb}{0 1 0}
\definecolor{C6} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C8} {rgb}{0 0 1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,linecolor=gray,Beta=12,Alpha=165}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=22,yMax=22,zMax=800,drawing=false]
%à noter : le repère du sujet original (Excel like ?) n'est pas direct. Il faut donc inverser les x et les y
\pstThreeDPut(10,0,-1.5){$y$} \pstThreeDPut(22,10,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(-2.5,0,8){$z$}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,0 ,-0.5){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+4}{6}{\pstThreeDPut(21,\n ,0){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\footnotesize{\z}}}
\multido{\n=0+2}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,20,\n)(20,20,\n)}
\multido{\n=0+1}{21}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,20,0)(\n,20,16)}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,16)}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(20,0,0)
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](20,0,0)(20,20,0)
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,16)
%courbes de niveaux 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
%z=0-100
\parametricplotThreeD(0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){t 0 t 5 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){0 t t 5 div}}
%z>=100
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{ 
\pstThreeDLine(10,0,2)(20,0,4)
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)
\pstThreeDLine(20,20,16)(0,20,4)
\pstThreeDLine(0,20,4)(0,10,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
}
%z>=200
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{ 
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)(0,20,4)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,20){t 200 t 10 mul sub t 10 add div 4}
}
%z>=300
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{ 
\pstThreeDLine(20,3.3333,6)(20,20,16)(3.3333,20,6)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,60){t 3 div 900 t 10 mul sub t 30 add div 6}
}
%z>=400
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{ 
\pstThreeDLine(20,6.66667,8)(20,20,16)(6.66667,20,8)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](20,60){t 3 div 1200 t 10 mul sub t 30 add div 8}
}
%z>=500
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{ 
\pstThreeDLine(20,10,10)(20,20,16)(10,20,10)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,20){t  500 t 10 mul sub t 10 add div 10}
}
%z>=600
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7]{ 
\pstThreeDLine(20,13.33333,12)(20,20,16)(13.33333,20,12)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](40,60){t 3 div 1800 t 10 mul sub t 30 add div 12}
}
%z>=700
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8]{ 
\pstThreeDLine(20,16.66667,14)(20,20,16)(16.66667,20,14)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](50,60){t 3 div 2100 t 10 mul sub t 30 add div 14}
}
%surface
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt](0,20)(0,20){x y mul  x y add 10 mul add 50 div} %50div pour que cela rentre 
%la légende
\psset{unit=0.45cm}
\psframe[linewidth=0.25pt,linecolor=black](27.5,7)(32,15.5)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=bleu}
\psframe[ fillcolor=C1](28,7.4)(28.6,8)  \rput[l](29.2 ,7.7){\small{\textsf{0-100}}}
\psframe[ fillcolor=C2](28,8.4)(28.6,9)  \rput[l](29.2,8.7){\small{\textsf{100-200}}}
\psframe[ fillcolor=C3](28,9.4)(28.6,10)  \rput[l](29.2,9.7){\small{\textsf{200-300}}}
\psframe[ fillcolor=C4](28,10.4)(28.6,11)  \rput[l](29.2,10.7){\small{\textsf{300-400}}}
\psframe[ fillcolor=C5](28,11.4)(28.6,12)  \rput[l](29.2,11.7){\small{\textsf{400-500}}}
\psframe[ fillcolor=C6](28,12.4)(28.6,13)  \rput[l](29.2,12.7){\small{\textsf{500-600}}}
\psframe[ fillcolor=C7](28,13.4)(28.6,14)  \rput[l](29.2,13.7){\small{\textsf{600-700}}}
\psframe[ fillcolor=C8](28,14.4)(28.6,15)  \rput[l](29.2,14.7){\small{\textsf{700-800}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine Juin 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine Juin 2007 (2)}} 

 \index{France Métropolitaine Juin 2007}
La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs
: le travail de la main d'{\oe}uvre et l'utilisation des machines. On
désigne :

\begin{itemize}
\item par $x$ la durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre, exprimée
en heure; $x$ appartient à l'intervalle $]0~;~10]$
\item par $y$ la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée
en heures; $y$ appartient à l'intervalle $]0~;~12]$.
\end{itemize}
La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation
:\[
f\left(x;y\right)=\frac{3xy}{x+y}\mbox{ avec }0<x\leqslant10\mbox{ et }0<y\leqslant12.\]


La figure ci-dessous représente la surface $\left(\mathcal{S}\right)$
d'équation : $z=f\left(x;y\right)$ pour $0<x\leqslant10$ et $0<y\leqslant12$.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.25)(16.5,12)
\psset{Beta=10,Alpha=172}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C3}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.28 1 0.6}
\newrgbcolor{C7}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C8}{1 1 .8}
\newrgbcolor{C9}{.8 .6 .5}
\newrgbcolor{C11}{.6 .7 .6}
\newrgbcolor{C10}{.9 .8 0.98}
\newrgbcolor{C12}{.05 0.25 .05}
\psset{linecolor=gray}
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,9)(0,12,9)(10,12,9)(10,12,0)(10,0,0)(0,0,0)
 \pstThreeDPut(-0.25,0,2){\footnotesize 4}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,4){\footnotesize 8}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,6){\footnotesize 12}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,1){\footnotesize 2}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,3){\footnotesize 6}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,5){\footnotesize 10}  
 \pstThreeDPut(-0.25,0,0){\footnotesize 0}
\pstThreeDPut(-0.25,0,7){\footnotesize 14}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,8){\footnotesize 16}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,9){\footnotesize 18}
\pstThreeDPut(5,0,-1){\footnotesize{$x$ : durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre}}
\pstThreeDPut(12.5,6,0){\footnotesize{$y$: durée journalière}}
\pstThreeDPut(12.5,5.5,-0.5){\footnotesize{d'utilisation des machines}}
\rput{90}(-1,5){\footnotesize{$z$ : quantité journalière produite}}
\rput(7.5,11.5){\bf{surface $(\mathcal{S})$  d'équation $z=\dfrac{3xy}{x + y}$}}
\pstThreeDLine(0,12,0)(0,12,9)
\psset{linewidth=0.5pt}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDPut(10.2,\n,-.25){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,12,\n)(10,12,\n)}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,12,0)(\n,12,9)}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(10,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,9)}
%z est divisé par 2
%z est divisé par 2
\psset{linecolor=C0,linewidth=0.75pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C12]{ 
\pstThreeDLine(0,0,0)(10,0,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0,12){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,0){ t 12 18 t mul 12 t add div}
\pstThreeDLine(10,0,0)(0,0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0.70588,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0.7142857,0){10 t 15 t mul 10 t add div}
\pstThreeDLine(10,0,0)(0,0,0)(0,12,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,0.70588){t 12 18 t mul t 12 add div}
}
%z=2-4
\pscustom[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C2,hatchcolor=C3,hatchsep=4pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,0.70588){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0.70588,1.5){t 12 18 t mul t 12 add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](1.5,10){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](1.53846,0.7142857){10 t 15 t mul 10 t add div}
}
%z=4-6
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.5,1.53846){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,1.5){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](1.5,2.4){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=6-8
\pscustom[fillstyle=vlines*,fillcolor=C5,hatchcolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.5,3.6364){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,3.42857){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.4,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=8-10
\newgray{gris}{0.30}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](3.42857,10){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](3.6364,5){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,4.61538){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.61538,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=10-12
\pscustom[fillstyle=hlines*,fillcolor=C8,hatchcolor=C9]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](4.61538,10){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](5,6.6667){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6,4.61538){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=12-14
\newgray{gris}{0.60}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6.6666,8.75){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,7.63636){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=500](7.63636,6){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=14-16
\pscustom[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C11,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.6364,10){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.75,11.42857){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,9.6){t 16 t mul 3 t mul 16 sub div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.6,7.6364){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%surface
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=bleu}
\psplotThreeD[xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,drawStyle=xyLines,plotstyle=curve](0.001,10)(0.001,12){%
3 x y mul mul x y add div 2 div}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=C0](0,10){t 12 t 36 mul t 12 add div 2 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=C0](0,12){10 t t 15 mul t 10 add div}
%le point A
\pstThreeDDot[dotstyle=x,dotscale=2,linewidth=2pt](6,1.7142857,2)
\pstThreeDPut(5.8,1.5,2.55){\large{\bf{$A$}}}
%la légende
\psset{linewidth=0.5pt, linecolor=C0}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C1](13,3.5)(13.5,4)  \rput[l](14,3.75){$0\leqslant z\leqslant 2$}
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C2,hatchcolor=C3,hatchsep=4pt](13,4.25)(13.5,4.75)  \rput[l](14,4.5){$2\leqslant z\leqslant 4$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C4](13,5)(13.5,5.5)  \rput[l](14,5.25){$4\leqslant z\leqslant 6$}
\psframe[fillstyle=vlines*,fillcolor=C5,hatchcolor=C6](13,5.75)(13.5,6.25)  \rput[l](14,6){$6\leqslant z\leqslant 8$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C7](13,6.5)(13.5,7)  \rput[l](14,6.75){$8\leqslant z\leqslant 10$}
\psframe[fillstyle=hlines*,fillcolor=C8,hatchcolor=C9](13,7.25)(13.5,7.75)  \rput[l](14,7.5){$10\leqslant z\leqslant 12$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C10](13,8)(13.5,8.5)  \rput[l](14,8.25){$12\leqslant z\leqslant 14$}
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C11,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt](13,8.75)(13.5,9.25)  \rput[l](14,9){$14\leqslant z\leqslant 16$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C12](13,9.5)(13.5,10)  \rput[l](14,9.75){$16\leqslant z\leqslant 18$}
\end{pspicture*}
\par\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{ Partie 1 :}}} Le point $A$ représenté par une croix est un point de la surface $\left(\mathcal{S}\right)$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote du point $A$. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
\item  Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{ Partie 2 :}}} Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.

L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors $4x+y=36$.

La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~10]$ par $g(x)={\displaystyle \frac{4x^{2}-36x}{x-12}}$.

\begin{enumerate}
\item  On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~10]$, calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x)={\displaystyle\frac{4\left(x-6\right)\left(x-18\right)}{\left(x-12\right)^{2}}}$.
\item   étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
\end{enumerate}
\item   
\begin{enumerate}
\item  En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros.
\item  Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsubsection[Polynésie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2007 (2)}} 

 \index{Polynésie 2007}
Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes.

Le coût total de production $z$, exprimé en milliers d'euros, est donné par la relation $z=2x^{2}-8x+y^{2}-6y+18$ avec $x\in\left[0~;~6\right]$ et $y\in\left[0~;~8\right]$.


\begin{enumerate}
\item  La surface $\mathcal{S}$ représentant le coût en fonction de $x$ et $y$ dans un repère orthogonal $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$ est donnée sur la feuille annexe 1, figure 1.

\begin{center}
\textbf{\textsl{L'annexe $1$ sera rendue complétée avec la copie.}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le point $A(3 ; 2 ; 3)$ appartient-il à la surface $\mathcal{S}$ ? Justifier. 
\item  Placer sur la figure 1 le point $B$ d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à $\mathcal{S}$.
\item  Soit $y=2$. Exprimer alors $z$ sous la forme $z=f\left(x\right)$ puis donner la nature de la section
de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y=2$ en justifiant.
\end{enumerate}

\item  La fabrication de $x$ tonnes de savons et de $y$ tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte $x + y = 5$.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient $x+y=5$ ?
\item  Vérifier que, sous la contrainte $x+y=5$, $z$ peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$ avec $g(x)=3x^{2}-12x+13$.
\item  Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g$ admet un minimum puis la valeur de $y$ et le coût de production $z$
qui correspondent. On note $C$ le point de la surface $\mathcal{S}$ qui correspond à ce coût minimum.
\item  On donne, sur la feuille annexe 1, figure 2, la projection orthogonale de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan
$\left(x\mathrm{O}y\right)$ (\og vue de dessus de la surface $\mathcal{S}$ \fg{}).

Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$ des points dont les coordonnées vérifient $x+y=5$.

Placer sur cette figure 2 le point $C_{1}$, projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(12.5,9)
\rput(5,8.25){\textsf {\textbf{\textsc{figure 1}}}}
\rput(5,8.75){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\psset{Beta=30,Alpha=170}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.8 .6 1}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,linecolor=gray,Alpha=110,Beta=-30}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=6,yMax=8,zMax=6,drawing=false]
%plans de base
\psset{xsubticks=6,ysubticks=8}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(6,8)
\psset{xsubticks=6,ysubticks=6}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(6,6)
\psset{xsubticks=8,ysubticks=6}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=6](0,0)(8,6)
% Axes
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,8,0)(6,8,0)
\rput[l](9,-.5){\textbf{\small{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,8,0)
\rput[l](3.5,-1.5){\textbf{\small{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,6)
\rput[l](-1,3){\textbf{\small{$z$}}}
% coordonnées
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](\n,8,0)(\n,8,-.1)\pstThreeDPut(\n,8.1,-.2){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,\n,0)(0,\n,-.1)\pstThreeDPut(-.1,\n,-0.2){\footnotesize{\n}}}
%z divisé par 10
\psset{unit=.1cm}
\multido{\n=0+10}{7}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,\n)(0,-1,\n)\pstThreeDPut(-1,-3 ,\n){\footnotesize{\n}}}
\psset{unit=1cm,linewidth=.75pt,linecolor=C0}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0, 6){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](6,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](4.64575,5.4641){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.4641, 6){t 41 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.12311,5.64575){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,4.64575){t 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.87298,6){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](0,.354249){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,5.87298){t 3 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt  sub 4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.58258,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,4.64575){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](4.64575,6){t 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.64575,.354249){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,5.87298){t 3 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt  sub 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](5.87298,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.58258,8){2 20 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt sub  t  3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0.585786,3.41421){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){20 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt 2 add t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](5.16228,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=70](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6.31631,7.35889){2 10 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt sub  t  2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](7.35889,0){10 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt 2 add t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.23607,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=40](4,6){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt sub  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](6,0){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt add  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt sub  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2,4){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\psplotThreeD[xPlotpoints=6,yPlotpoints=8,drawStyle=xyLines,linecolor=C0,plotstyle=curve](0,6)(0,8){%
x 2 exp 2 mul y 2 exp add x 8 mul sub y 6 mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0, 6){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](6,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C6](11,1.5)(11.4,1.9) \rput[l](11.6,1.7){\footnotesize{0 - 10}}
\psframe[fillcolor=C5](11,2.2)(11.4,2.6) \rput[l](11.6,2.4){\footnotesize{10 - 20}}
\psframe[fillcolor=C4](11,2.9)(11.4,3.3) \rput[l](11.6,3.1){\footnotesize{20 - 30}}
\psframe[fillcolor=C3](11,3.6)(11.4,4) \rput[l](11.6,3.8){\footnotesize{30 - 40}}
\psframe[fillcolor=C2](11,4.3)(11.4,4.7) \rput[l](11.6,4.5){\footnotesize{40 - 50}}
\psframe[fillcolor=C1](11,5)(11.4,5.4) \rput[l](11.6,5.2){\footnotesize{50 - 60}}
\end{pspicture*}
\medskip
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-1)(10.5,7.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.8 .6 1}
\rput(5,7){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\rput(5,6.4){\textsf {\textbf{\textsc{figure 2}}}}

\psset{linewidth=0.75pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](0,0)(8,6)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{8}{7.12311}{2+(.5*(40+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(7.12311,6)(0,6)(0,0)(8,0)(8,5.4641)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{8}{5.64575}{2+(.5*(30+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(5.64575,6)(.354249,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{.354249}{0}{2+(.5*(30+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(8,0)(8,4.64575)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{7.58258}{8}{2-(.5*(20+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(8,.585786)(8,3.41421)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{8}{0}{2+(.5*(20+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(7.58258,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{6.31631}{7.35889}{2-(.5*(10+6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{7.35889}{0}{2+(.5*(10+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(6.31631,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{4}{6}{2-(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{6}{0}{2+(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{0}{2}{2-(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(2,0)(4,0)
}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=C0,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yAxis=false]{-}(0,0)(8.1,0)
\psaxes[labelsep=-3.6mm,linewidth=.75pt,yticksize=-2pt 2pt,xAxis=false]{-}(8,0)(8,6)
\uput[d](4,-.25){$y$} \uput[r](8.25,3){$x$}
\psset{unit=1cm}

% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C6](11,1.5)(11.4,1.9) \rput[l](11.6,1.7){\footnotesize{0 - 10}}
\psframe[fillcolor=C5](11,2.2)(11.4,2.6) \rput[l](11.6,2.4){\footnotesize{10 - 20}}
\psframe[fillcolor=C4](11,2.9)(11.4,3.3) \rput[l](11.6,3.1){\footnotesize{20 - 30}}
\psframe[fillcolor=C3](11,3.6)(11.4,4) \rput[l](11.6,3.8){\footnotesize{30 - 40}}
\psframe[fillcolor=C2](11,4.3)(11.4,4.7) \rput[l](11.6,4.5){\footnotesize{40 - 50}}
\psframe[fillcolor=C1](11,5)(11.4,5.4) \rput[l](11.6,5.2){\footnotesize{50 - 60}}
\end{pspicture*}
\end{center}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{GRAPHES} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2007 (2)}} 

 \index{Amérique du Nord 2007}
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{première partie :} \'Etude d'un graphe}}}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.25,-.5)(6.25,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu}
\Cnode(0,.5){Y}
\Cnode(0,2){Z}  \Cnode(1,2.5){A}  
\Cnode(3,4){B}  \Cnode(2.5,1.8){C}  
\Cnode(4,2){D}  \Cnode(3.5,0.5){G}  \Cnode(6,3){F}  
\Cnode(5.5,1.5){E}  \Cnode(5,0){H}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\ncline{Z}{A} \ncline{A}{B} \ncline{B}{F} \ncline{F}{E} 
\ncline{E}{H} \ncline{E}{D} \ncline{E}{B} \ncline{H}{G} 
\ncline{G}{D} \ncline{G}{C} \ncline{C}{D} \ncline{A}{C} 
\ncline{Y}{C} \ncline{B}{D} \ncline{A}{Y} \ncline{Y}{G}
\uput[l](0,0.5){\textsf{\small{\bleu {Y}}}}  \uput[l](0,2){\textsf{\small{\bleu {Z}}}}  \uput[u](1,2.5){\textsf{\small{\bleu {A}}}}    \uput[u](3,4){\textsf{\small{\bleu {B}}}}  \uput[d](2.5,1.8){\textsf{\small{\bleu {C}}}}   \uput[dr](3.9,2){\textsf{\small{\bleu {D}}}}  \uput[d](3.5,0.5){\textsf{\small{\bleu {G}}}}  \uput[r](6,3){\textsf{\small{\bleu {F}}}}  \uput[r](5.5,1.5){\textsf{\small{\bleu {E}}}}  \uput[d](5,0){\textsf{\small{\bleu {H}}}}  
\end{pspicture*}
\end{center}

On considère le graphe ci-dessus.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Ce graphe est-il connexe ?
\item  Déterminer le degré de chacun des sommets.

On pourra donner le résultat sous forme de tableau.

\item  Justifier l'existence d'une chaîne eulérienne.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.
\item  Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{deuxième partie :} Visite d'un musée}}}

\medskip

\noindent
\psset{unit=1cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture*}(-.25,-.25)(13.75,4.75)
\psset{linewidth=1pt}
\psframe(0,0)(11.5,3)%accueil
\psline(11.5,0)(13.5,0)(13.5,4.5)(2,4.5)(2,3)
\psline(2,4.2)(0,4.2)(0,3)
\psline(6.75,4.5)(6.75,3)
\psline(11.5,4.5)(11.5,3)
\psline(3.5,1.5)(11.5,1.5)
\psline(3.5,3)(3.5,0)
\psline(5.5,3)(5.5,1.5)
\psline(9.5,3)(9.5,1.5)
\psline(7.5,1.5)(7.5,0)
\psset{linewidth=3pt,linecolor=gray}
\psline(0,1)(0,2)
\psline(0,3.2)(0,4)
\psline(3.5,0.45)(3.5,1.05)
\psline(7.5,0.45)(7.5,1.05)
\psline(3.5,1.95)(3.5,2.55)
\psline(5.5,1.95)(5.5,2.55)
\psline(9.5,1.95)(9.5,2.55)
\psline(11.5,1.95)(11.5,2.55)
\psline(11.5,3.45)(11.5,4.05)
\psline(6.75,3.45)(6.75,4.05)
\psline(2,3.3)(2,3.9)
\psline(2.45,3)(3.05,3)
\psline(4.2,3)(4.8,3)
\psline(7.825,3)(8.425,3)
\psline(10.2,3)(10.8,3)
\psline(4.2,1.5)(4.8,1.5)
\psline(6.2,1.5)(6.8,1.5)
\psline(10.2,1.5)(10.8,1.5)
\rput(1,3.6){\textsf{\small{Boutique}}} \rput(1.75,1.5){\textsf{\small{Accueil}}}
\rput(4.375,3.6){\textsf{\small{A}}}  \rput(9.125,3.6){\textsf{\small{B}}}  \rput(4.5,2.25){\textsf{\small{C}}}  \rput(7.5,2.25){\textsf{\small{D}}}  \rput(10.5,2.25){\textsf{\small{E}}}  \rput(12.5,2.25){\textsf{\small{F}}}  \rput(5.5,0.75){\textsf{\small{G}}}  \rput(9.5,0.75){\textsf{\small{H}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

Voici le plan d'un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l'accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite à la boutique.

\begin{enumerate}
\item  Représenter la situation à l'aide d'un graphe en précisant ce que représentent ar\^etes et sommets.
\item  \begin{enumerate}
\item  Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes ? 
\item  Donner un exemple d'un tel circuit.
 \end{enumerate}
\item  Comment colorier les salles y compris l'accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que deux salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ?
\end{enumerate}




 \bigskip 

\subsubsection[Asie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2007 (2)}} 

 \index{Asie 2007}
Une île imaginaire dont la carte est représentée ci-dessous; est composée de six provinces, notées A, B, C, D, E et F.
 
 \medskip

\begin{center}
 \psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture*}(-.1,-.1)(10.1,4.6)
 \psccurve(0,2.5)(3,4.5)(6,3.5)(8,3)(10,1)(6,0)(2,1.5)
 \pscurve(3,4.5)(2.75,4)(3.25,2)(2,1.5)
 \pscurve(3.25,2)(4.5,1.9)(5,1.48)(5.5,1.5)
  \pscurve(6,3.5)(5.7,2.2)(5.8,2.1)
   \pscurve(7.8,2.3)(7,2.1)(5.8,2.1)(5.5,1.5)(6.5,1)
    \pscurve(8,3)(7.8,2.3)(7,1.5)(6.5,1)(6,0)
 \rput(8.3,1.3){A}  \rput(4.2,3.25){B}  \rput(1.5,2.9){C} 
  \rput(6.3,1.7){D}  \rput(4.4,1.1){E}  \rput(6.8,2.8){F} 
 \end{pspicture*}
\end{center}

On s'intéresse aux frontières séparant ces provinces. On traduit cette situation par un graphe dont les sommets sont les provinces et où chaque ar\^ete représente une frontière entre deux provinces.\\
  
On admet que le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous représente cette situation :
  


\begin{center}
 \psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.25,-.5)(5.4,4.5)
\psline(0,3)(1,4)(3,0)(0,3)(4,3.5)(5,2)(1,0)(3,0)(4,3.5)%FADFBCEDB
\psline(1,4)(1,0)(4,3.5)%AEB
\uput[u](1,4){A} \uput[u](4,3.5){B} \uput[r](5,2){C} 
\uput[d](3,0){D} \uput[dl](1,0){E} \uput[l](0,3){F} 
\end{pspicture*}
 \end{center}  

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Donner l'ordre du graphe $\mathcal{G}$, puis le degré de chacun de ses sommets
\item  Peut-on visiter cette \^{\i}le en franchissant une et une seule fois chacune des dix frontières ? Justifier Si oui, proposer un parcours possible.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Le graphe $\mathcal{G}$ possède-t-il un sous-graphe complet d'ordre 3 ? Si oui, en citer un.\\
Préciser, sans justification, si le graphe $\mathcal{G}$ possède un sous graphe complet d'ordre 4.\\
Quelle consequence cela a-t-il sur le nombre chromatique $c$ du graphe $\mathcal{G}$ ?
\item  Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deux provinces qui ont une frontière commune aient des couleurs différentes (on peut remplacer les couleurs par différents hachurages).
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Centres étrangers 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2007 (2)}} 

 \index{Centres étrangers 2007}
\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes}

L'objet d'étude est le réseau des égouts d'une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous: les sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\psline(0,1.5)(1.75,3)(5.2,3)(7.3,0.5)(5.2,0)(1.75,0)(5.2,3)(7.3,0.5)(7.5,2.5)%EADGCBDGS
\psline(0,1.5)(1.75,0)%EB
\psline(1.75,3)(5.2,0)(7.5,2.5)(5.2,3)%ACSD
\psline(1.75,3)(1.75,0)%AB
\psline(5.2,3)(5.2,0)%DC
\uput[u](1.75,3){\textsf{\small{\bleu {A}}}} \uput[d](1.75,0){\textsf{\small{\bleu {B}}}} \uput[d](5.2,0){\textsf{\small{\bleu {C}}}} \uput[u](5.2,3){\textsf{\small{\bleu {D}}}} 
\uput[l](0,1.5){\textsf{\small{\bleu {E}}}} \uput[r](7.3,0.5){\textsf{\small{\bleu {G}}}} \uput[r](7.5,2.5){\textsf{\small{\bleu {S}}}}\end{pspicture*}
 \end{center}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne?
\item 	Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6.
\end{enumerate}	
	
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\pnode(1.75,3){A}\pnode(1.75,0){B}\pnode(5.2,0){C}\pnode(5.2,3){D}\pnode(0,1.5){E}\pnode(7.3,0.5){G} \pnode(7.5,2.5){S}
\ncline{E}{A}\ncput*{\prune \bf \sf 4}
\ncline{E}{B}\ncput*{\prune \bf \sf 7}
\ncline{A}{B}\ncput*{\prune \bf \sf 2}
\ncline{A}{C}\ncput*[npos=.6]{\prune \bf \sf 8}
\ncline{A}{D}\ncput*{\prune \bf \sf 9}
\ncline{B}{C}\ncput*{\prune \bf \sf 5}
\ncline{B}{D}\ncput*[npos=.4]{\prune \bf \sf 6}
\ncline{C}{D}\ncput*{\prune \bf \sf 3}
\ncline{C}{G}\ncput*{\prune \bf \sf 4}
\ncline{C}{S}\ncput*[npos=.4]{\prune \bf \sf 8}
\ncline{D}{G}\ncput*[npos=.4]{\prune \bf \sf 5}
\ncline{D}{S}\ncput*{\prune \bf \sf 8}
\ncline{G}{S}\ncput*{\prune \bf \sf 5}

\uput[u](1.75,3){\textsf{\small{\bleu {A}}}} \uput[d](1.75,0){\textsf{\small{\bleu {B}}}} \uput[d](5.2,0){\textsf{\small{\bleu {C}}}} \uput[u](5.2,3){\textsf{\small{\bleu {D}}}} 
\uput[l](0,1.5){\textsf{\small{\bleu {E}}}} \uput[r](7.3,0.5){\textsf{\small{\bleu {G}}}} \uput[r](7.5,2.5){\textsf{\small{\bleu {S}}}}
  
\end{pspicture}
 \end{center}
Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts.

\begin{enumerate}
\item Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée.
\item 	Ayant choisi le trajet le plus rapide, l'ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu'il ne peut les utiliser.
\begin{enumerate}
\item Comment peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu'à S ? Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas ?
\item 	S'il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l'ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S ? Combien de temps ce trajet aurait-il pris ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007 (2)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007}
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i}}}}

\medskip

Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les ar\^etes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE
\psline(1.6,1.2)(0,0)%ED
\psline(3.9,2.9)(3.9,1.2)(8,0)%BCF
\uput[u](1.6,2.9){\textsf{\small{\bleu {A}}}} \uput[u](3.9,2.9){\textsf{\small{\bleu {B}}}} \uput[d](3.9,1.2){\textsf{\small{\bleu {C}}}} \uput[d](1.6,1.2){\textsf{\small{\bleu {D}}}} \uput[dl](0,0){\textsf{\small{\bleu {E}}}} \uput[dr](8,0){\textsf{\small{\bleu {F}}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.
\item Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii}}}}

\medskip

Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.

\begin{center}

\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\psset{arrowsize=2pt 3}
\pnode(1.6,2.9){A} \pnode(3.9,2.9){B} \pnode(3.9,1.2){C} 
\pnode(1.6,1.2){D} \pnode(0,0){E} \pnode(8,0){F}
\pnode(2.75,2.9){G}\ncline{->}{A}{G}\ncline{G}{B}
\pnode(5.95,1.45){H}\ncline{->}{B}{H}\ncline{H}{F}
\pnode(5.95,0.6){I}\ncline{->}{F}{I}\ncline{I}{C}
\pnode(3.9,2.05){J} \ncline{->}{C}{J}\ncline{J}{B}
\pnode(2.75,2.05){K}\ncline{->}{C}{K}\ncline{K}{A}
\pnode(1.6,2.05){L}\ncline{->}{D}{L}\ncline{L}{A}
\pnode(2.75,1.2){M}\ncline{->}{D}{M}\ncline{M}{C}
\pnode(0.8,0.6){N}\ncline{->}{E}{N}  \ncline{N}{D}
\pnode(0.8,1.45){O}\ncline{->}{A}{O}\ncline{O}{E}
\pnode(4,0){P}\ncline{->}{F}{P}\ncline{P}{E}
\uput[u](1.6,2.9){\textsf{\small{\bleu {A}}}} \uput[u](3.9,2.9){\textsf{\small{\bleu {B}}}} \uput[d](3.9,1.2){\textsf{\small{\bleu {C}}}} \uput[d](1.6,1.2){\textsf{\small{\bleu {D}}}} \uput[dl](0,0){\textsf{\small{\bleu {E}}}} \uput[dr](8,0){\textsf{\small{\bleu {F}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe. (On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).
\item \begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ?
\item  Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice $M$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Liban 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2007 (2)}} 

 \index{Liban 2007}
Une grande ville a créé un jardin pédagogique sur le thème de l'écologie, jardin qui doit être visité par la suite par la majorité des classes de cette ville.
Ce jardin comporte six zones distinctes correspondant aux thèmes :

\medskip


\begin{tabular*}{\linewidth}{*{3}{l}}
A : Eau&	B : économie d'énergies&	C : Plantations et cultures locales\\
D : Développement durable & E : Biotechnologies & 		F : Contes d'ici (et d'ailleurs)\\
\end{tabular*}

\medskip

Ces zones sont reliées par des passages (portes) où sont proposés des questionnaires.

Le jardin et les portes sont représentés par le graphe ci-dessous (chaque porte et donc chaque questionnaire est représenté par une arête).

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(8,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\uput[d](2,0){\bleu C} \uput[l](0,2){\bleu B} \uput[u](1.5,5){\bleu A}
\uput[d](5,.5){\bleu D} \uput[r](7.5,3){\bleu E} \uput[r](6.5,5.5){\bleu F}
\psline(1.5,5)(0,2)(6.5,5.5)(1.5,5)(5,.5)(7.5,3)(0,2)(2,0)(5,.5)%ABFADEBCD
\psline(0,2)(5,.5)%BD
\psline(1.5,5)(2,0)%AC
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Question préliminaire :}

Si un visiteur répond à tous les questionnaires, à combien de questionnaires aura-t-il répondu ?

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner la matrice G associée à ce graphe.
\item Le graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier. 
\item Peut-on parcourir le jardin en répondant à tous les questionnaires et sans repasser deux fois devant le même questionnaire :
\begin{enumerate}
\item en commençant la visite par n'importe quelle zone ?
\item	en commençant la visite par la zone C (plantations et cultures) ? Dans ce cas, si la réponse est positive, quelle sera la dernière zone visitée.
\end{enumerate}
(Dans les deux cas, \textbf{a} et \textbf{b}, justifiez votre réponse.)
 \end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour illustrer chaque zone et présenter légendes et commentaires, les enfants ont décidé d'utiliser des supports de couleurs différentes. Pour limiter le nombre de couleurs, on utilise des couleurs différentes seulement si les zones sont limitrophes (avec un passage entre les deux).
\begin{enumerate}
\item  Donner et justifier un encadrement du nombre chromatique de ce graphe. 
\item  Déterminer alors en utilisant un algorithme adapté le nombre chromatique de ce graphe et proposer une répartition des couleurs.
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2007 (2)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2007}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X m{7cm}@{}} 
Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B, C, D, E, F et G correspondent à sept villes. 

\medskip

Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une liaison entre les deux villes correspondantes.
&
\psset{xunit=1.4cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(4.5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\pnode(0.5,3){A}\uput[l](0.5,3){\textsf{\small{\bleu {A}}}}
\pnode(2.5,4.5){B}\uput[u](2.5,4.5){\textsf{\small{\bleu {B}}}} \pnode(4,3){C}\uput[r](4,3){\textsf{\small{\bleu {C}}}} \pnode(4,1.5){D}\uput[r](4,1.5){\textsf{\small{\bleu {D}}}}
\pnode(3,0){E}\uput[d](3,0){\textsf{\small{\bleu {E}}}} \pnode(1,0){F} \uput[l](1,0){\textsf{\small{\bleu {F}}}} \pnode(0,1.5){G}\uput[l](0,1.5){\textsf{\small{\bleu {G}}}}
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\ncline{A}{B} \ncline{A}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} \ncline{B}{G} \ncline{C}{D} \ncline{C}{E} \ncline{D}{F} \ncline{D}{G} \ncline{E}{F}
\end{pspicture*}\\
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d'une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ?
\item  On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l'ordre alphabétique.

On donne $M^3 =\begin{pmatrix*}[r]
0	& 7 &	6& 	1 &	0 &	4 &	2\\
7 	&2 &	1& 	10& 	9& 	1 &	5\\
6	&1	&0&9&8&0&3\\
 1	& 10& 	9& 	2& 	1& 	7& 	5\\
0&9&8&1&0&6&3\\
4&1&0&7&6&0&2\\
2 &	5& 	3 &	5& 	3 &	2& 	2\\
 \end{pmatrix*}$
 
Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F.

Les citer tous. Aucune justification n'est demandée.

\item \parbox{\linewidth}{\hfill}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X  m{7cm}@{}}
On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances exprimées en centaines de kilomètres entre
deux villes pour lesquelles il existe une liaison :

\medskip

\begin{itemize}
	\item []AB : 5 ; AC : 7 ;
	\item []BD : 8 ; BE: 15 ;
\item []BG : 6 ;CD : 10 ;		
\item []CE : 15 ; DF : 20 ;		
\item []DG : 10 ; EF : 5;
\end{itemize}		
&
{\psset{xunit=1.4cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(4.5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pnode(0.5,3){A}\uput[l](0.5,3){\textsf{\small{\bleu {A}}}}
\pnode(2.5,4.5){B}\uput[u](2.5,4.5){\textsf{\small{\bleu {B}}}} \pnode(4,3){C}\uput[r](4,3){\textsf{\small{\bleu {C}}}} \pnode(4,1.5){D}\uput[r](4,1.5){\textsf{\small{\bleu {D}}}}
\pnode(3,0){E}\uput[d](3,0){\textsf{\small{\bleu {E}}}} \pnode(1,0){F} \uput[l](1,0){\textsf{\small{\bleu {F}}}} \pnode(0,1.5){G}\uput[l](0,1.5){\textsf{\small{\bleu {G}}}}
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\ncline{A}{B} \ncput*{\prune \bf \sf 5}\ncline{A}{C} \ncput*{\prune \bf \sf 7} \ncline{B}{D} \ncput*[npos=.65]{\prune \bf \sf 8} \ncline{B}{E} \ncput*{\prune \bf \sf 15} \ncline{B}{G} \ncput*[npos=.75]{\prune \bf \sf 6} \ncline{C}{D} \ncput*{\prune \bf \sf 10} \ncline{C}{E} \ncput*[npos=.8]{\prune \bf \sf 15}\ncline{D}{F} \ncput*{\prune \bf \sf 20} \ncline{D}{G} \ncput*{\prune \bf \sf 10} \ncline{E}{F}\ncput*{\prune \bf \sf 5} 
\end{pspicture*}}\\
\end{tabularx}

Un représentant de commerce souhaite aller de la ville A à la ville F.
	
En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu'il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance.

\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{SUITES} 

 \subsubsection[Antilles-Guyane 2007]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles-Guyane 2007 (2)}} 

 \index{Antilles-Guyane 2007}
Dans un pays,  un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.

De plus, chaque année, 12~000 personnes arrivent dans ce pays et 5~000 personnes le quittent. 

En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.

On note $P_{n}$ la population de l'année $2005+n$ exprimée en milliers d'habitants.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_{0}$, $P_{1}$ et $P_{2}$. La suite de terme général $P_{n}$ est-elle arithmétique~? géométrique~? Justifier la réponse.
\item Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=1,014 P_{n}+7.$
\item Démontrer que la suite $(U_{n})$ définie par $U_{n}=P_{n}+500$ pour tout entier naturel $n$ est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.
\item Exprimer $U_{n}$ puis $P_{n}$ en fonction de $n$.
\item\begin{enumerate}
\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010~?
\item Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\pagebreak 

 \subsection{Q.C.M} 

 \subsubsection[La Réunion 2007]{\Numexo  \hfill \emph{La Réunion 2007 (3)}} 

 \index{La Réunion 2007}
Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

\emph{Pour chaque question, une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : pour tout entier naturel $n$,  $u_{n} = 1 - \dfrac{6}{n - 10,5}$. 
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
\item La suite $\left(u_{n}\right)$  est décroissante. 
\item La suite $\left(u_{n}\right)$  n'est pas monotone.
\end{enumerate}

\item  La suite $\left(u_{n}\right)$  est définie par :
$u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, ${u_{n+1}-u_{n}=-0,1u_{n}}$.
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique.
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.
\end{enumerate}

\item  Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
\begin{itemize}
\item   le plan $(P)$ d'équation $x + y + z - 2 = 0$,
\item la droite $(D)$ d'équations cartésiennes $y =1$ et $z =1 - x$.
 \end{itemize}
  \begin{enumerate}
\item  La droite $(D)$ est sécante au plan $(P)$.
\item  La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$. 
\item  La droite $(D)$ est strictement parallèle au plan $(P)$.
\end{enumerate}

\item  La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est : $\begin{pmatrix}
0&0&1&0&1\\
 0&0& 1& 1&1\\
  1&1&0&1&0\\
   0&1& 1& 0&0\\
    1& 1& 0&0&0\\
    \end{pmatrix}$
\begin{enumerate}
\item Le graphe G comporte 12 arêtes.
\item Le graphe G admet une chaîne eulérienne.
\item Le graphe G est complet.
\end{enumerate}

\item Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2\:\%  chaque semaine depuis sa parution. 

Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires.

Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est :
\begin{enumerate}
\item  23~900
\item 718~927
\item 743~306
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\setdefaultenum {I - }{}{}{}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT 2007}}

\bigskip

{\Large \textsc{série es : index des différents sujets}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.5cm}{2.5cm}
\vspace{\stretch{1}}
\hrulefill

  \begin{itemize}
\item[] Amérique du Nord 2007 \dotfill  \hyperpage{2}, \hyperpage{9}, \hyperpage{42}, \hyperpage{45}, \hyperpage{60}
  \item[] Amérique du Sud 2007 \dotfill   \hyperpage{2}, \hyperpage{20},  \hyperpage{37}, \hyperpage{46}, \hyperpage{54}
  \item[] Antilles Septembre 2007 \dotfill   \hyperpage{9}, \hyperpage{21}, \hyperpage{38}, \hyperpage{52}, \hyperpage{55}
  \item[] Antilles-Guyane 2007 \dotfill   \hyperpage{3}, \hyperpage{10}, \hyperpage{31}, \hyperpage{52}, \hyperpage{66}
  \item[] Asie 2007 \dotfill   \hyperpage{4}, \hyperpage{21}, \hyperpage{31}, \hyperpage{47}, \hyperpage{61}
  \item[] Centres étrangers 2007 \dotfill   \hyperpage{1}, \hyperpage{16}, \hyperpage{28}, \hyperpage{34}, \hyperpage{61}
	\item[] France Métropolitaine Juin 2007 \dotfill   \hyperpage{4}, \hyperpage{22}, \hyperpage{32}, \hyperpage{53}, \hyperpage{56}
  \item[] France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007 \dotfill  \hyperpage{11}, \hyperpage{23}, \hyperpage{32}, \hyperpage{43}, \hyperpage{62}
  \item[] La Réunion 2007 \dotfill   \hyperpage{12}, \hyperpage{17}, \hyperpage{29}, \hyperpage{38}, \hyperpage{67}
  \item[] Liban 2007 \dotfill   \hyperpage{6}, \hyperpage{24}, \hyperpage{39}, \hyperpage{48}, \hyperpage{63}
  \item[] Nouvelle Calédonie 2007 \dotfill   \hyperpage{13},  \hyperpage{25}, \hyperpage{34}, \hyperpage{44}, \hyperpage{64}
  \item[] Polynésie 2007 \dotfill   \hyperpage{6}, \hyperpage{26}, \hyperpage{35}, \hyperpage{50}, \hyperpage{57}
  \item[] Polynésie Septembre 2007 \dotfill   \hyperpage{14}, \hyperpage{26}, \hyperpage{41}
  \item[] Pondichery 2007 \dotfill   \hyperpage{8}, \hyperpage{27}, \hyperpage{35}, \hyperpage{51}
\end{itemize}

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